数学分析第一积分中值定理与微积分学基本定理

牡丹江师范学院教案学院系别：理学院 教师姓名：许宏文 授课时间:2014年5月29日课程名称

数学分析授课专业和班级 1301授课内容

第一积分中值定理与变上限积分函数的性质

授课学时

1学时理解积分第一中值定理，掌握被积函数连续状态下的积分第一中值定理。理解变上教学目的 限积分函数掌握变上限积分函数的性质能够熟练地对和变上限积分函数有关函数求导，同时培养学生具体问题具体分析的辨证逻辑思维能力。教学方法教

积分第一中值定理，变上限积分函数及其性质变上限积分函数及其性质PPT启发式几何直观讲练结合包括复习旧课引入新课重点难点讲授作业和习题布置、时间分问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 (45分钟)学 一复习换元积分法定积分的基本性质从乘积的可积性导出新课，4过 给出教学目的；程 8二、开门见山，给出积分第一中值定理，教师和学生一起来证明。在教师的引导和启发下，给出积分第一中值定理的两个推论。 6三、以解决问题2的需要，给出变上限积分函数的定义，并给出几何直观的意义，同时给出如下函数F(x)xet2dt 2．G(x)xsintdt 170 1 t四、几何直观地探究变上限积分函数的性质，给出证明；对变上限积分函数的求导做出说明，并求解上面给出的两个函数的导数；对 8可微性定理做出说明，强调其为微积分学基本定理。 2五、为深刻理解变上限积分函数及其导数求解，求解例题；作为变上限积分的应用，推广积分第一中值定理；六、做两个重要的总结9．4积分第一中值定理与微积分学基本定理板 定理1．积分第一中值定理 变上限积分函数 处理例题1书推论1 F(x)xet2dt 例题2设 0计 推论2 G(x)xsintdt1 t定理3微积分学基本定理 定理2 变上限积分函数的性质定理讲授新拓展内容 说明带有积分的不等式的证明在偏微分方程理论中总要进行以此来结积分第一中值定理与变上限积分函数的重要作用。课后总结

总结一、解决了本次课程的两个目的总结二、总结积分第一中值定理与变上限积分函数的类似的重要作用系主任 年 月 日教学过程全设计与教学内容教学内容 备注一、复习与引课，并说明本节课的教学内容。在定积分这一章前三次课程课程中我们共同研究了定积分的定义，判断函数可积的可积准则，并在概念与可积准则的基础上，研究了定积分的基本性质。现在大家和老师共同回忆下，定积分有哪些性质：学生回答，教师PPT两页演示。今天这节课程，利用定积分的基本性质来解决两个重要的问题：教师PPT演示

bf(x)g(x)dx与函数f,gR[a,b]之间的关系？a问题2 连续函数都必有原函数存在，为什么为解决这样两个问题，我们今天来学习9.4节：第一积分中值定理与微积分学基本定理（板书）二．积分第一中值定理首先，开门见山给出积分第一中值定理： 教师PPT演示；定理1若函数f,gR[a,b]，且函数g(x)在区间[a,b]上不变号，则存在一个[m,M]使得bf(x)g(x)dxbg(x)dxa a1（板书证明）因fR[a,b]，所以f在[a,b]上有界，令Msupf(x),minf f(x).自然有：a,b] x[a,b]mf(x)M，g(x)0,x[ab]，有mg(x)f(xg(x)Mg(x)取定积分有 mbg(x)dxbf(x)g(x)dxMbg(x)dx （1）I)若

a a abg(x)dx0，则有abm a

f(x)g(x)dxMbg(x)dxabf(x)g(x)dx记 abg(x)dx

[m,M] （2）a则有 ba

f(x)g(x)dxbg(x)dxa与积分区间[a,b和函数fgR[a,b]均有关。2）2)若

bg(x)dx0，则有根据不等式1有a a

f(x)g(x)dx0所以对任意的[,M]，均有bf(x)g(x)dxbg(x)dx0。a a总结并板书定理1教师引导学生研究定理1中fC[a,bg(x)1时的结论，学生探究，教师板书结论推论1：若函数fC[a,bgR[a,b]g(x在区间[a,b上不变号，则存在至少一个[a,b]使得bf(x)g(x)dxf)bg(x)dxa a2：存在[mM],[ab使(ba),fR[a,b]bf(x)dx a f( )(ba),fC[a,b]总结第一个问题：并说明我们所运用的教材上的积分第一中值定理恰好是我们今天讲解的两个推论。说明积分第一中值定理的作用。下面我们来解决本节课程要解决的第二个问题。大家和老师一起认识一类新的函数，并运用推论2来研究这类函数的微分学性质。三、变上限积分函数及其性质微积分学基本定理1、