2015年高考上海理科数学试题及答案解析

年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2015年上海，理1】设全集，若集合，则．【答案】【解析】根据题意，可得，故．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．（2）【2015年上海，理2】若复数满足，其中为虚数单位，则．【答案】【解析】设，根据题意，有，可把化简成，对于系数相等可得出，．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．（3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组把代入，可得，．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．（4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．（5）【2015年上海，理5】抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则．【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】【解析】设这个圆锥的母线长为，底面半径为，母线与轴的夹角为，所以，而过轴的截面是一个三角形，故，有，所以，，．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．（7）【2015年上海，理7】方程的解为．【答案】2【解析】由条件可得，，所以或，检验后只有符合．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．（8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为．（结果用数值表示）【答案】120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有．解法二：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．（9）【2015年上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．【答案】【解析】设点和的坐标为、，则有，又因为的渐近线方程为，故设的方程为，把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年上海，理10】设为的反函数，则的最大值为．【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数在定义域上是单调递增的，且值域为，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得的定义域为，值域为，又原函数与反函数的公共定义域为，故．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．（11）【2015年上海，理11】在的展开式中，项的系数为．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在中要得到项的系数，肯定不能含有项，故只有，，所以，即，结合题中的数据，可以计算出，，，，由此可以计算出，所以，所以，即，所以直线与平面所成角的大小为．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决．（20）【2015年上海，理20】（本小题满分14分）如图，、、三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度是5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时．乙到达地后原地等待，设时，乙到达地．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由．解：（Ⅰ）由题中条件可知小时，此时甲与点距离为千米，由余弦定理可知，所以．……6分（Ⅱ）易知，当时乙到达位置，所以①当时，；②当时，；综合①②，当时，单调递减，此时函数的值域为；当时，单调递增，此时函数的值域为；当时，单调递减，此时函数的值域为；由此，函数在上的值域为，而，即，所以在上的最大值没有超过3．……14分【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．（21）【2015年上海，理21】（本小题满分14分）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为．（Ⅰ）设，．用坐标表示点到直线的距离，并证明；（Ⅱ）设与的斜率之积为，求面积的值．解：（Ⅰ）由题易知两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：①当两点的横坐标有一个为零时，不妨设，不失一般性，此时与轴重合，到直线的距离为，平行四边形的面积为；②当两点的横坐标均不为0时，即和的斜率均存在时，设的方程为，其中可得，所以弦长点到直线的距离所以四边形的面积为综合①②点到直线的距离为，平行四边形的面积为．……6分（Ⅱ）解法一：易知两直线的斜率分别为：，，由与的斜率之积为可得：，又，，所以，即，化简得，所以平行四边形的面积为．……14分解法二：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，消去解得，根据对称性，设，则，同理可得，，所以．……14分【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．（22）【2015年上海，理22】（本小题满分16分）已知数列与满足．（Ⅰ）若，且，求的通项公式；（Ⅱ）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；（Ⅲ）设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且．解：（Ⅰ）由可得：，又，所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，即有．……4分（Ⅱ）由可得：将上述式子累加可得，当时，也成立，所以，由此可得，由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，即的第项是最大项．……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，即，结合可得，分三种情况进行讨论：①当时，则为偶数时，为奇数时，即有，，此时，由此，此情况不符合条件；②当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增大值减小，此时，，无最小值（无限靠近0）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值减小，结合，可知随着增大值增大，此时，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列的最大值，最小值，，又，所以，解之；③当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增大值增大，此时，，无最大值（无限靠近）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值增大，结合，可知随着增大值减小，此时，无最小值（无限靠近）；由此可知，在条件下，数列无最值，显然不符合条件；综上，符合条件的实数的取值范围为．……16分【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（Ⅲ）的求解运用了极限思想方法，是中档题．（23）【2015年上海，理23】（本小题满分18分）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，，．（Ⅰ）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设，证明对任意，存在，使得；（Ⅲ）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．解：（Ⅰ），所以是以为余弦周期的余弦周期函数．……4分（Ⅱ）当或者时，由于单调递增，所以存在或使得成立；当，构造函数，则，，从而，所以存在，使得，即存在，使得成立，证毕．……10分（Ⅲ）先证必要性：为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；再证充分性：为方程在上的解，即，由可得，由于函数是以为余弦周期的余弦周期函数，所以，即为方程在上的解；下证：