第二章信号与系统

信号与系统

(Signals&systems)教师：郑丹玲zhengdl@通信学院信号基础教研中心第二章LTI系统的时域分析法2.1LTI连续系统的经典时域分析法

2.3LTI连续系统的单位冲激响应

2.5卷积积分

2.2LTI离散系统的经典时域分析法

2.4LTI离散系统的单位序列响应

2.6卷和2023/5/1022.1LTI连续系统的经典时域分析法2.1.1微分方程的经典解描述LTI连续系统的数学模型是常系数线性微分方程，一般形式为1.齐次通解2023/5/1032.1LTI连续系统的经典时域分析法特征方程解得特征根按照P53页表2-1写出通解形式代入初始条件，确定待定系数，得到通解表达式2023/5/1042.3LTI连续系统的单位冲激响应单位冲激响应（Unitimpulseresponse）单位冲激函数(t)激励下系统的零状态响应，简称冲激响应，用h(t)表示。零状态系统h(t)2023/5/1052.3LTI连续系统的单位冲激响应利用阶跃响应与冲激响应的关系求解h(t)2023/5/1062.3LTI连续系统的单位冲激响应ucusC=2FR=2例：求图示电路的冲激响应h(t)。解：阶跃响应冲激响应2023/5/1072.3LTI连续系统的单位冲激响应利用微分方程的经典法求解ucusC=2FR=22023/5/1082.3LTI连续系统的单位冲激响应h(t)为有限值则2023/5/1092.3LTI连续系统的单位冲激响应

从而或可得2023/5/10102.3LTI连续系统的单位冲激响应(1)特征根利用微分方程的经典法求解从而2023/5/10112.3LTI连续系统的单位冲激响应又知所以2023/5/10122.3LTI连续系统的单位冲激响应(2)特征根从而(*)2023/5/10132.3LTI连续系统的单位冲激响应且不含冲激，为有限值知(**)根据式(*)和式(**)即可确定待定系数K1和K22023/5/10142.3LTI连续系统的单位冲激响应(3)设则说明：对高阶微分方程，方法同上。2023/5/10152.3LTI连续系统的单位冲激响应例：求如下系统的h(t)解：特征根从而设2023/5/10162.3LTI连续系统的单位冲激响应因知于是所以2023/5/10172.5零状态响应---卷积积分对线性时不变系统2023/5/10182.5LTI连续系统的零状态响应

---卷积积分法卷积积分h(t)(零状态响应)2023/5/10192.5零状态响应---卷积积分例：如图示电路，求零状态响应uC(t)。uC(t)x(t)=1VC=1FR=1解：(1)求h(t)单位阶跃响应从而有2023/5/10202.5零状态响应---卷积积分(2)求零状态响应2023/5/10212.5零状态响应---卷积积分时域卷积法将激励信号分解求h(t)求系统的零状态响应2023/5/10222.5.1卷积的图解按如下步骤进行：(1)改换变量：x(t)x()，h(t)h()(2)折叠：

h()h(-)(3)时移：

h(-)h(t-)(4)相乘：

x()h(t-)(5)积分：

x()h(t-)曲线下的面积2023/5/10232.5.1卷积的图解例：求y(t)=x(t)*h(t)x(t)t020.5-0.5

h(t)t00.512(1)x(t)x()，h(t)h()x()020.5-0.5

h()00.512(2)h()h(-)2023/5/10242.5.1卷积的图解(2)h()h(-)h(-)00.5-1-2(3)h(-)h(t-)h(t-)00.5t-1t-2(4)x()h(t-)00.5-0.5t-1t-2t-1<-0.5x()h(t-)2023/5/10252.5.1卷积的图解00.5-0.5-0.5<t-1<0.5x()h(t-)00.5-0.50.5<t-1<1.5x()h(t-)00.5-0.5t-2>0.5x()h(t-)2023/5/10262.5.1卷积的图解(5)x()h(t-)曲线下的面积t-1<-0.5或

t-2>0.5y(t)=0

-0.5<t-1<0.5y(t)=t-0.50.5<t-1<1.5y(t)=2.5-tx(t)t020.5-0.5

h(t)t00.512y(t)t02023/5/10272.5.1卷积的图解结论等宽方波卷积的结果是等腰三角波三角波的宽度是方波宽度的2倍三角波的高度是两方波完全重叠时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积不等宽方波卷积的结果是等腰梯形波梯形波上边的宽度是两方波宽度之差梯形波的高度是宽度较小的方波完全包含于宽度较大的方波时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积

y(t)=x(t)*h(t)的最小截止横坐标等于x(t)和h(t)的最小截止横坐标相加，y(t)的最大截止横坐标等于x(t)和h(t)的最大截止横坐标相加2023/5/10282.5.1卷积的图解

例：若y(t)=x(t)*h(t)，求y(1)x(t)t022h(t)t024解：依题意作右图示x()h(1-)t022-31y(1)=0.52023/5/10292.5.1卷积的图解对上例，完成y(t)=x(t)*h(t)。x()h(t-)022t<0或t>6y(t)=0

0<t<2y(t)=0.5t22<t<4y(t)=2t-24<t<6y(t)=2t-0.5t2+62023/5/10302.5.2卷积积分限的确定法(一)通过作图确定积分限，如上面的图解法法(二)利用阶跃信号确定积分限对上例：2023/5/10312.5.2卷积积分限的确定2023/5/10322.5.2卷积积分限的确定等式右端第一项t的定义域(上限大于下限)2023/5/10332.5.2卷积积分限的确定等式右端第二项2023/5/10342.5.2卷积积分限的确定等式右端第三项2023/5/10352.5.2卷积积分限的确定等式右端第四项2023/5/10362.5.2卷积积分限的确定从而注意：定义域的确定2023/5/10372.5.3卷积积分的性质2023/5/10382.5.3卷积的运算性质卷积代数交换律y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)分配律y(t)=x(t)*[h1(t)+h2(t)]=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)结合律y(t)=x(t)*[h1(t)*h2(t)]=[x(t)*h1(t)]*h2(t)并联级联2023/5/10392.5.3卷积的运算性质卷积微分与积分设y(t)=x(t)*h(t)则y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(t)

y(-1)(t)=x(-1)(t)*h(t)=x(t)*h(-1)(t)y(t)=x(t)*h(t)=x(t)*h(-1)(t)=x(-1)(t)*h(t)=x(t)*h(-2)(t)=x(-2)(t)*h(t)…2023/5/10402.5.3卷积的运算性质注意：上述性质应用的条件x(t)和h(t)均为可积函数。一般而言2023/5/10412.5.3卷积的运算性质y(t)=x(t)*h(t)

卷积积分卷积积分的物理含义：把任意信号分解为连续的冲激信号之和，分别求其响应后再叠加杜阿密尔积分的物理含义：把任意信号分解为连续的阶跃信号之和，分别求其响应后再叠加y(t)=x(t)*h(-1)(t)=x(t)*s(t)

杜阿密尔积分2023/5/10422.5.3卷积的运算性质例：求y(t)=x(t)*h(t)x(t)t020.5-0.5h(t)t00.5122023/5/10432.5.3卷积的运算性质x(t)t00.5-0.5(2)(2)h(-1)(t)t00.512y(t)t010.51.5-12.52023/5/10442.5.3零状态响应例：如图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为，。求总的系统的冲激响应x

(t)y(t)h1(t)h2(t)_

(t)h(t)2023/5/10452.5.3零状态响应解:根据题意，可得2023/5/1046

零输入响应法一：递推法（迭代法）

2.2LTI离散系统的经典时域分析法2023/5/1047

2.2LTI离散系统的经典时域分析法法二：一般方法特征方程特征根若已知，则有因此2023/5/10482.2LTI离散系统的经典时域分析法n阶差分方程法一：递推法若已知，则难以得到的一般表达式2023/5/10492.2LTI离散系统的经典时域分析法法二：一般方法特征方程特征根（1）单根2023/5/10502.2LTI离散系统的经典时域分析法若已知，则由上式即可确定待定系数注：在未知零输入响应的初始值时，应想法求出。2023/5/10512.2LTI离散系统的经典时域分析法例：已知，，求如下系统的零输入响应特征方程特征根解：2023/5/10522.2LTI离散系统的经典时域分析法由初始条件有：因此2023/5/10532.2LTI离散系统的经典时域分析法说明：若存在复根2023/5/10542.2LTI离散系统的经典时域分析法例：已知，，求如下系统的零输入响应特征方程特征根解：2023/5/10552.2LTI离散系统的经典时域分析法由初始条件有因此2023/5/10562.2LTI离散系统的经典时域分析法例：已知，，，求如下系统的零输入响应特征方程特征根解：2023/5/10572.2LTI离散系统的经典时域分析法对差分方程，令k=-1，有由此知，y(-1)，y(0)，y(1)均与x(k)无关，于是对差分方程，再令k=0，有得从而，可确定待定系数（略）。2023/5/10582.2LTI离散系统的经典时域分析法（2）重根若i为m次重根，则解中将有例：已知，，，求如下系统的零输入响应特征方程特征根解：2023/5/10592.2LTI离散系统的经典时域分析法据初始条件得因此2023/5/10602.4LTI离散系统的单位序列响应单位函数响应单位函数(k)激励下系统的零状态响应，称为单位函数响应，记为h(k)。计算例：

，求h(k)解：2023/5/10612.4LTI离散系统的单位序列响应差分方程右边仅有x(k)项2023/5/1062

2.4LTI离散系统的单位序列响应k>0时按前述求解零输入响应的方法，便可求出h(k)。2023/5/1063

2.4LTI离散系统的单位序列响应例：求的h(k)解：k>0时2023/5/1064

2.4LTI离散系统的单位序列响应因此2023/5/1065

2.4LTI离散系统的单位序列响应一般形式的差分方程引入h0(k)2023/5/10662.4LTI离散系统的单位序列响应例：求如下系统的h(k)解：引入h0(k)2023/5/1067

2.4LTI离散系统的单位序列响应2023/5/1068

2.4LTI离散系统的单位序列响应全响应的求取求零输入响应yzi(k)求单位函数响应h(k)求零状态响应yzs(k)=x(k)*h(k)求全响应y

(k)=yzi(k)+yzs(k)2023/5/1069

2.4LTI离散系统的单位序列响应例：已知，，,求如下系统的全响应解：（1）零输入响应特征方程特征根2023/5/1070

2.4LTI离散系统的单位序列响应由初始条件从而2023/5/1071

2.4LTI离散系统的单位序列响应（2）单位函数响应引入h0(k)2023/5/1072

2.4LTI离散系统的单位序列响应于是（3）零状态响应2023/5/1073

2.4LTI离散系统的单位序列响应（4）全响应2023/5/1074

2.6卷和离散时间系统的零状态响应可以通过直接求解非齐次的差分方程得到。但如果激励信号较为复杂，而差分方程的阶数又较高时，直接求解就会十分困难。本节讨论一种与连续时间系统类似的分析法—卷积和。2023/5/1075

2.6卷和任意信号的分解上式表明：任意信号均可分解为多个单位函数之和，即任意信号均可用单位函数来表示。2023/5/1076

2.6卷和离散时间系统的零状态响应对线性时不变系统卷积和2023/5/10772.6卷和h(k)2023/5/10782.6卷和卷积和的计算图解法(与卷积积分类似)改换变量：x(k)x(n)，h(k)h(n)折叠：h(n)h(-n)移序：h(-n)h(k-n