山东省烟台市高三三模数学试题-1

山东省烟台市2022届高三三模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数的共轭复数为A． B． C． D．3．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（

）A． B． C． D．5．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．6．若，则的值为（

）A． B． C． D．7．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．18．已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（

）C．平均数为2，众数为2 D．平均数为2，方差为310．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．满足的的取值范围为（）C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴D．函数与的图象关于直线对称11．二进制是计算中广泛采用的一种数制，由18世纪德国数理哲学家莱布尼兹发现，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.现采用类似于二进制数的方法构造数列：正整数，其中（），记.如，，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．12．某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（

）A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若为奇函数，则的表达式可以为___________.14．若展开式中第6项的系数为1792，则实数的值为___________.15．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.16．某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范围.18．当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：关卡123456平均过关时间（单位：秒）5078124121137352计算得到一些统计量的值为：，其中，.(1)若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；(2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束.甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望.参考公式：对于一组数据（），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19．已知数列的前项和为，，当时，.(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.20．如图，在平面五边形中，为正三角形，，且.将沿翻折成如图所示的四棱锥，使得.，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.21．已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.22．已知函数（）.(1)证明：当时，函数存在唯一的极值点；(2)若不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：1．B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得，所以，又，所以，所以；故选：B2．B【解析】【详解】试题分析：，故共轭复数为考点：复数运算3．A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答.【详解】若，则垂直内所有直线，因此，命题“若，则垂直内无数条直线”正确，垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线可以在平面内，即不能推出，所以“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件.故选：A4．C【解析】【分析】利用古典概型去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为故选：C5．D【解析】【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D6．D【解析】【分析】利用两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化简题给条件，得到三角函数齐次式，进而求得的值【详解】由，可得又，则故选：D7．A【解析】【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.8．B【解析】【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：作出函数的图象如图：依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，因为必过，且，若时，方程不可能有三个实数解，则必有，当直线与在时相切时，设切点坐标为，则，即，则切线方程为，即，切线方程为，且，则，所以，即当时与在上有且仅有一个交点，要使方程有且仅有三个的实数解，则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，所以，故选：B9．AD【解析】【分析】根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断A，D；举例说明判断B，C作答.【详解】对于A，因10个数的平均数为2，中位数为3，将10个数从小到大排列，设后面4个数从小到大依次为a，b，c，d，显然有，而，则d的最大值为5，A符合条件；对于B，平均数为1，方差大于0.5，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均数为1，方差大于0.5，B不符合；对于C，平均数为2，众数为2，可能存在大于7的数，如连续10天的数据为：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均数为2，众数为2，C不符合；对于D，设连续10天的数据为，因平均数为2，方差为3，则有，于是得，而，因此，D符合条件.故选：AD10．ABD【解析】【分析】根据图象求出的解析式，然后运用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】由图可得，，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故A正确；由可得，所以，解得，，故B正确；将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图象，直线不是其对称轴，故C错误；因为，所以函数与的图象关于直线对称，故D正确；故选：ABD11．BD【解析】【分析】求得否定选项A；求得并与比较判断选项B；求得并与比较判断选项C；分别求得、并进行比较判断选项D.【详解】选项A：，则.判断错误；选项B：，则，则.判断正确；选项C：，则，.判断错误；选项D：，则则，则.判断正确.故选：BD12．BCD【解析】【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.【详解】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，对于A，，，，，∴，，，所以，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；对于B，，，，∴，，∴，所以，即甲比乙劳累程度弱，故B正确.对于C，，，，∴，，则，∴，即甲比乙工作效率高，故C正确；对于D，，，，，∴，，则，∴，即甲比乙工作效率高，故D正确；故选：BCD.13．，，，，等（答案不唯一）【解析】【分析】利用为奇函数，可以得到为奇函数，进而求得的表达式.【详解】由为奇函数，则有即恒成立则，则为奇函数则的表达式可以为或或等故答案为：，，，，等14．【解析】【分析】由二项式展开公式直接计算即可.【详解】解：因为＝＝＝，所以有：＝-56=1792,所以=-32,解得a=-2,故答案为：-2.15．或1##1或【解析】【分析】先求得点的轨迹的方程，再利用的面积为2列出关于实数的方程，进而求得实数的值【详解】设，则有整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆点到直线的距离直线交于，两点，则则的面积解之得或故答案为：或116．

【解析】【分析】过侧棱的中点作正三棱柱的截面，即可得到球心为的中心，在正中求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值；【详解】解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，因为，所以内切圆的半径，即内切球的半径，所以内切球的表面积，又正三棱柱的高，所以，所以，所以到球面上的点的距离最小值为；故答案为：；17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得；(1)解：因为，由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以.因为，所以，所以，因为，所以.(2)解：由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，所以.18．(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）对两边取对数可得，即，再根据最小二乘法求出，，即可得解；（2）依题意的所有可能取值为5，7，9，12，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出数学期望；(1)解：因为两边取对数可得，即，令，所以，由，，.所以，又，即，所以，所以.所以关于的经验回归方程为.(2)解：由题知，甲获得的积分的所有可能取值为5，7，9，12，所以，，，，所以的分布列为56912所以19．(1)(2)【解析】【分析】（1）将代入化简可得为等差数列，进而可得结果；（2）利用错位相减法求出，再利用分离参数的思想即可得结果.(1)当时，，所以，，整理得：，即.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，即.(2)由（1）知，，所以，①所以，②①-②得，，所以，，所以，，所以，即，即，因为，当且仅当时，等号成立，所以.20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取的中点，连接，.可得面面，从而可证平面；(2)取的中点，连接，，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求解即可.(1)解：（1）证明：取的中点，连接，.则，.因为面，面，所以，面，面，因为，所以，面面，因为面，所以面.(2)（2）取的中点，连接，，因为为正三角形，，所以且，在直角梯形中，，，，所以，且，又因为，所以在中，，即，所以，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.因为，即，，所以，，所以，.设为平面的一个法向量，则，即，取.又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，.21．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出、、，即可得解；（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线、的方程，得到、的坐标，即可得到以为直径的圆的方程，再令，得到，即可得解；(1)解：因为椭圆的离心率为，所以.又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.又，所以，.所以椭圆的标准方程为.(2)解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，将直线代入椭圆的方程得：，由