《直线与平面的位置关系(1)》示范课教案【高中数学】

直线与平面的位置关系(1)教学目标教学目标1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面的位置关系，归纳出直线与平面平行的判定定理与性质定理，并加以证明；2.会应用直线与平面平行的判定定理、性质定理证明线面、线线平行；3.在归纳直线与平面的位置关系、发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理、性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．教学重难点教学重难点教学重点：掌握直线与平面平行的判定和性质定理．教学难点：会用直线与平面平行的判定和性质定理证明相关问题．教学过程教学过程一、新课导入情境：观察教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系，再观察你手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系．你发现了什么？答案：教室两墙面的交线与地面只有一个公共点，墙面和天花板的交线与地面没有公共点，手中的笔与作业本所在的平面可能没有公共点，也可能只有一个公共点，或者有无数个公共点．设计意图：通过观察生活中常见的物体，抽象出直线与平面，并提出问题，引发学生思考直线与平面的位置关系．二、新知探究问题1：直线与平面可能有哪几种位置关系呢？探究：如图，在长方体中，（1）棱A1B1所在的直线与平面AC有几个（2）体对角线A1C所在的直线与平面AC有几个公共（3）棱AD所在的直线与平面AC有几个公共点？答案：（1）棱A1B1所在的直线与平面AC（2）体对角线A1C所在的直线与平面AC有且（3）棱AD所在的直线与平面AC有无数个公共点．由此，我们可以根据直线与平面的公共点的个数得出直线与平面的位置关系：如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内．总结：一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a⊄思考：从定义上看，如何判断一条直线与一个平面平行？答案：直线与平面无交点．练一练：如图，在长方体中，用定义法证明直线A1B1与平面证明：在如图所示的长方体中，A1B1//AB，当直线AB沿直线BC平移时，就形成了平面AC，直线AB在平移过程中的每一个位置都与A1B1平行，因此直线问题2：从定义判断线面平行过于复杂，不太方便，那么有没有一种简单的、容易操作的方法来判定一条直线与一个平面平行呢？追问1：打开笔记本电脑时，显示屏上侧所在的直线与键盘所在的平面具有怎样的位置关系？答案：平行．追问2：显示屏上侧所在的直线与屏幕和键盘所在平面的交线有什么关系？为什么？答案：平行．因为电脑的显示屏为矩形，矩形的对边平行．追问3：教室的门的两边是平行的，当门绕着一边旋转时，另一边与门框所在的平面具有怎样的位置关系？答案：平行．追问4：如果平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，这两条直线共面吗？此时，直线a与平面α平行吗？答案：根据“两平行直线确定一个平面”可得，直线a与直线b共面；此时，直线a与平面α平行．说一说：结合前面的讨论，大家能总结出如何判定直线与平面平行吗？答案：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.接下来我们从运动的角度来理解．思考：如图，直线b⊂平面α，直线b与平面α有多少个公共点？答案：直线b上所有的点都是b与α的公共点.此时公共点有无数多个．追问1：向上平移b，使得b离开平面α至a，此时直线a与平面α有多少个公共点？答案：没有公共点．追问2：此时直线a与平面α是什么关系？答案：a//由此，我们总结出：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．符号语言：若a⊄α，b⊂α，a注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①一线面外，“a⊄α”；②一线面内，“b⊂α”；③两线平行，“作用：在空间中，常用此定理来由“线线平行”来证明“线面平行”，即“线线平行”是“线面平行”的充分条件．设计意图：让学生归纳出直线与平面平行的判定定理，并能用符号语言、图形语言准确表示，使学生明白要判定一条直线与一个平面平行只要在这个平面内找到一条直线与已知直线平行，即把证线面平行转化为证线线平行．【概念巩固】判断：下列命题是否正确？（1）若直线l与平面α内的一条直线平行，则l//α（2）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l//α（3）若直线l与平面α相交，则α内不存在直线与直线l平行；（4）若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线l与平面α不平行；答案：（1）错误.没有说明l⊄α，条件不足，线面平行的判定定理不成立．（2）错误.当l⊂α时，l也平行于平面α内的无数条直线（3）正确.若直线l与平面α相交，则α内的直线与直线l相交或异面．（4）错误，l∥α时，α中也有无数直线与l不平行（异面）；总结：空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．问题3：如果一条直线l与平面α平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行吗？答案：不是，直线l与平面α内的直线平行或者异面．追问1：如何确保平面内的直线与已知直线平行呢？答案：排除异面，只需平面内的直线与已知直线共面即可．追问2：怎么排除异面呢？答案：过平面外的直线l作平面β，使得平面α∩平面β=a，则l//a由此，我们猜想：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．下面我们证明此猜想是否成立．已知：l∥α，l⊂求证：l∥m．证明：∵l∥α，∴l∩α=∅．又∵m⊂α，∴l∩m=∅．又∵l，m⊂β，∴l直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．符号语言：若l∥α，l⊂β，α∩β=m，则注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①线面平行，“l∥α”；②线在面内，“l⊂β”；③面面相交，“α∩β=m作用：在空间中，常用此定理来由“线面平行”来得出“线线平行”，即“线线平行”是“线面平行”的必要条件．三、应用举例例1如图，已知E，F分别是三棱锥A−BCD的侧棱AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD分析：设法在平面BCD内找一条直线与EF平行．证明：∵AE=EB，AF=FD，∴EF∥又EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD∴EF∥平面BCD例2一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开分析：点P与直线BC确定平面α，根据题意，应画出平面α与长方体各面的交线．因为点P既在平面α内又在平面A1C1内，由基本事实3，平面α与平面A1C1必相交于经过点P的一条直线．设这条直线与A1由于BC∥B1C1，故BC∥平面A1C1，由直线与平面平行的性质定理得BC作法：在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于点E，例3证明：如果三个平面两两相交，并且三条交线中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．已知：平面α，β，γ，α∩β=l，α∩γ=m，求证：n∥l，证明：∵l∥m，l⊄γ，m又l⊂β，β∩同理，n∥思考：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系？已知：平面α，β，γ，α∩β=l，α∩γ=m，求证：n∩l=P证明：∵α∩β=l，α∩γ=m，l∩m又β∩γ=n，∴P∈同理，n∩设计意图：通过例题，掌握线面平行的判定和性质在解题中的应用，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．四、课堂练习1．已知a、b表示直线，α表示平面.则下列命题中正确的有个.①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α.2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E为AB的中点，F为CC′的中点.证明：EF∥平面AC′D．3.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF.参考答案：1.①平行的传递性仅限于直线之间②缺少a、b共面的条件③a也有可能在α内故正确个数为0个.2.取DC′中点G，连接FG、AG．∵F为CC′的中点，∴GF是△DCC′的中位线．∴GF∥DC，GF=12DC又∵DC∥AB，DC=AB，E为AB的中点，∴GF∥AE，GF=AE．∴四边形AEFG为平行四边形．∴EF∥AG．又∵EF⊄平面AC′D，AG⊂平面AC′D，∴EF∥平面AC′D．3.连接AC交BD于点Q，连接EQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴Q为AC中点．又∵E为PC的中点，∴QE是△PAC的中位线，∴PA∥EQ．又∵AP⊄平面BDE，平面APC∩平面BDE=QE，∴AP∥平面BDE（