连续小波变换

连续小波变换第1页，共62页，2023年，2月20日，星期四小波及连续小波变换设函数

，并且

，即，则称

为一个基本小波或母小波。

(连续)小波函数a和b的意义性质：线性性质平移不变性……….第2页，共62页，2023年，2月20日，星期四小波及连续小波变换设函数

则称

为一个允许小波。

,若允许条件与

几乎是等价条件.

第3页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

Haar小波第4页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

2.Daubechies小波D4尺度函数与小波

D6尺度函数与小波

第5页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

3、双正交小波双正交B样条小波（5-3）、（9-7）小波滤波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波滤波器:常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。第6页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函数;快速衰减但非紧支撑.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波第7页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

5.高斯小波这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。

特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴反对称。第8页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

6.Marr小波这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。

（也叫墨西哥草帽小波）特性：指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；关于0轴对称。第9页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

7.Meyer小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：第10页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

8.Shannon小波在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。第11页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的基本小波

9.Battle-Lemarie样条小波

Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形第12页，共62页，2023年，2月20日，星期四时频分析

1.Fourier分析简介

Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力。2.短时Fourier变换短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。

第13页，共62页，2023年，2月20日，星期四非平凡函数

称为窗函数，

如果

窗口Fourier变换

通常我们用作为窗函数的宽度的度量。

窗口Fourier变换：

大致反映了

在时刻b、频率为

的"信号成分"的相对含量。

第14页，共62页，2023年，2月20日，星期四窗口Fourier变换

给出了

在的时间窗内的局部化信息。

第15页，共62页，2023年，2月20日，星期四短时Fourier变换

若及其Fourier变换都是窗口函数

，则称

为短时Fourier变换。

同时给出了

在时间窗

内的局部化信息。

特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。和频率窗

时间-频率窗的特性：不变的宽度和固定的窗面积测不准原理：应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。

第16页，共62页，2023年，2月20日，星期四小波时频分析

小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。

假设

是任一基本小波，并且

与都是窗函数，

与半径分别为

它们的中心，，和。

不妨设和尺度

a都是正数。给出了

在时间窗

内的局部化信息。

给出了

在频域窗

内的局部化信息。

第17页，共62页，2023年，2月20日，星期四小波时频分析

内的局部化信息,

若用作为频率变量，则给出了信号在时间—频率平面（平面）中一个矩形的时间—频率窗

即小波变换具有时—频局部化特征。

窗宽:面积:的宽度是宽度的倍.检测信号的高频成分需用具有比较小的的分析小波变窄，并在高频区域对信号进行细节分析..这时时间窗会自动第18页，共62页，2023年，2月20日，星期四各种变换的比较

小波变换的特性分解种类：时间-尺度或时间-频率分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。小波函数的伸缩改变其窗口大小。变量：尺度，小波的位置信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率局部化，宽的小波提供好的频率局部化及差的时间局部化。适应场合：非平稳信号Fourier变换的特性

分解种类：频率

分析函数：正弦函数，余弦函数

变量：频率

信息：组成信号的频率适应场合：平稳信号

算法复杂度：短时Fourier变换的特性

分解种类：时间-频率分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波变量：频率，窗口的位置

信息：窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越大，频率局部化越好,此时时间局部化较差.适应场合：次稳定信号第19页，共62页，2023年，2月20日，星期四连续小波变换的计算

数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）

在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。

连续小波变换的结果的显示方式：灰度表示，三维表示第20页，共62页，2023年，2月20日，星期四第21页，共62页，2023年，2月20日，星期四连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点2,4,8,16,321，2，…,32第22页，共62页，2023年，2月20日，星期四小波变换的分类

中三个变量均为连续变量，

离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：

通过对它们施加不同的离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换只对a,b离散化：只对a离散化第23页，共62页，2023年，2月20日，星期四

离散小波及离散（参数）小波变换

令参数

，，其中

，则离散（参数）小波为：

在这种情况下，常用

记，即

相应于离散小波

的离散（参数）小波变换为：

重构问题：在满足什么条件下，可以由离散小波变换

重构原信号？

可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。

第24页，共62页，2023年，2月20日，星期四

离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论

尺度离散化：实际工作中最常见的情况是,将尺度a按照二进尺度离散化,此时a取值为位移离散化：当a=2-J(也就是j=J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样.b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率).每经过一次小波变换,其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.第25页，共62页，2023年，2月20日，星期四

离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论

变为,为简化书写,通常认为b0=1,以归一.并记即对于分辨率j,b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时,也就是把b轴用b0加问题:如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间?[2.7890625,2.828125]第26页，共62页，2023年，2月20日，星期四二进小波变换

连续二进小波变换二进小波的构造及一些常用的二进小波离散二进小波变换的快速算法二维二进小波变换及其快速算法第27页，共62页，2023年，2月20日，星期四二进小波及二进小波变换

在连续小波变换中，令参数

，，而参数b仍取连续值.

则有二进小波：

这时，

的二进小波变换定义为：

重构问题：在满足什么条件下，可以由二进小波变换

重构原信号？

第28页，共62页，2023年，2月20日，星期四二进小波及二进小波变换

卷积定义:假定小波函数为实函数,

尺度符号改用表示,相应于

的连续小波变换记为.当时，

连续二进小波变换为：

其中，

重构问题：在满足什么条件下，可以由二进小波变换

重构原信号？

注意与当前文献中各种定义的区别.第29页，共62页，2023年，2月20日，星期四二进小波及二进小波变换

设函数

，如果存在正常数与，且

，使得

则

且存在

满足

使得原信号可由二进小波变换得到重构：

二进小波及其稳定性条件

二进小波及其重构小波

二进小波变换的稳定性条件

二进小波变换具有平移不变性

二进小波是允许小波离散小波是二进小波第30页，共62页，2023年，2月20日，星期四二进小波的构造

目标:构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器.设

都是有限滤波器，是其频域表示;都是能量有限的函数，且满足

若则的一个重构小波。

是为二进小波

第31页，共62页，2023年，2月20日，星期四二进小波的构造

较简单的情况:是二进小波

=

且正交二进小波非正交二进小波二进对偶尺度函数与对偶小波问题讨论:

第32页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

例7.1非正交的二次样条二进小波[一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等]

令

为二次盒样条函数的Fourier变换:

取是一个二进小波(验证!).第33页，共62页，2023年，2月20日，星期四图7-1非正交二次二进样条小波一些常用的二进小波画图方法讨论：1）分析mallat著作中采用的方法；2）用upcoef画图的合理性。第34页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

例7.2正交的二次样条二进小波令

为二次盒样条函数的Fourier变换:

其中，当时问题:已知求解g(z)?第35页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

正交的二次二进样条小波第36页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

例7.2正交的三次样条二进小波令

为三次盒样条函数的Fourier变换:

类似地,可以求出h和g:;另一个解[扬福生著,P151]:问题:是否都正确?这同样涉及到上面提到的一般求解问题.能否给出任意m次样条二进小波的求解公式?第37页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

正交的三次二进样条小波(利用对称的数据)正交的三次二进样条小波(利用1/2对称的数据)相同?第38页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

例7.3零对称和反对称二进样条小波的构造阶中心B样条的定义。记称为阶中心B样条。与m+1阶中心B样条

m次盒样条

的区别与联系:

当m为奇数时，

当m为偶数时，

由

向右平移1/2得到。

以下分偶数阶和奇数阶中心B样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。

第39页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

例7.3零对称和反对称二进样条小波的构造(续)

以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波

n维实数组

零对称的二进样条小波

零反对称的二进样条小波

第40页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

零对称二进样条小波由构造的零反对称二进样条小波第41页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

例7.3零对称和反对称二进样条小波的构造(续)

以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波

零对称的二进样条小波

零反对称的二进样条小波

非周期解决方法:第42页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

零对称二进样条小波由

构造的

零反对称二进样条小波第43页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

Marr小波作为二进小波[注意:与教材上相差一个系数]利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波）[扬福生著,P148]:00.43170.711810.2864-0.230920.0450-0.11203-0.0393-0.02264-0.01320.006250.00320.0039问题:这些滤波器系数是如何计算得到的？更正:应该是关于零对称的系数?第44页，共62页，2023年，2月20日，星期四一些常用的二进小波

为什么不是关于零对称的?第45页，共62页，2023年，2月20日，星期四离散二进小波变换的快速算法

介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组进行快速计算。如何理解采样间距为1的离散信号的二进小波变换?由于s=2j,因此,相应的分辨率j为：为表述方便,令小波变换的尺度为:小波变换的尺度为:由于s=2j,因此,相应的分辨率j为：第46页，共62页，2023年，2月20日，星期四离散二进小波变换的快速算法

介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组进行快速计算。如何理解采样间距为1的离散信号是一个被平滑的连续函数的均匀采样?设是采样间距为1的离散信号，则存在使得第47页，共62页，2023年，2月20日，星期四离散二进小波变换的快速算法

离散二进小波变换的定义:对任意

，记对

，在整数格点上，二进小波系数由下式给出：

则对任意尺度

，离散信号序列

称为的离散二进小波变换。

快速算法的基本求解思想:将离散的问题转化为连续的问题处理,然后给出离散的处理结果.第48页，共62页，2023年，2月20日，星期四离散二进小波变换的快速算法

讨论:在Matlab中,二进小波变换没有对应的实现函数,需要自己编写.与第4章中的相应算法相比,推导过程不同.注意分解与重构滤波器的不同符号.第49页，共62页，2023年，2月20日，星期四离散二进小波变换的快速算法

a)b)第50页，共62页，2023年，2月20日，星期四二维二进小波变换的一般概念

通过两个小波

和

定义

，这里假设这两个小波都是实函数。则对任意的函数

，在尺度

和位置由两个分量来定义，即的小波变换我们称函数集合

为二进小波变换。

的二维第51页，共62页，2023年，2月20日，星期四二维二进小波变换的一般概念

若存在和,使得则存在重构小波

，其Fourier变换满足

使得称这两个小波

和为二维二进小波.

第52页，共62页，2023年，2月20日，星期四二维可分离二进小波变换构造的一般框架

周期和是

和重构小波。

周期问题:如何验证满足稳定性条件?第53页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的二维可分离二进小波变换

例7.4由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波取，则；当时，例7.5由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波取，则与以前的问题相似,这里的关键是如何求解l(z)?书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的{ln}.第54页，共62页，2023年，2月20日，星期四常用的二维可分离二进小波变换

例7.6由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波

取实数组则利用对称二进小波

及其重构小波

所构造的

是一个对称的二维二进小波。

相应地，利用反对称二进小波

及其重构小波

所构造的

是一个反对称的二维二进小波。

第55页，共62页，2023年，2月20日，星期四二维离散二进小波变换及其快速算法