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文档简介

概率论第八章--假设检验第一页,共27页。8.1假设检验的基本思想与步骤数理统计的主要任务是从样本出发,对总体的分布作出推断。作推断的方法,主要有两种,一种是上一章讲的参数估计,另一种是假设检验。例7.1某厂生产合金钢,其抗拉强度X(单位:kg/mm2)可以认为服从正态分布N(μ,σ2)。据厂方说,抗拉强度的平均值μ=48。现抽查5件样品,测得抗拉强度为46.845.048.345.144.7问厂方的说法是否可信?这相当于先提出了一个假设H0:μ=48,然后要求从样本观测值出发,检验它是否成立。第二页,共27页。例7.2为了研究饮酒对工作能力的影响,任选19名工人分成两组,一组工人工作前饮一杯酒,一组工人工作前不饮酒,让他们每人做一件同样的工作,测得他们的完工时间(单位:分钟)如下:饮酒者30465134484539615867未饮酒者282255453935423820问饮酒对工作能力是否由显著的影响?两组工人完成工作的时间,可以分别看作是两个服从正态分布的总体X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ2,σ22),如果饮酒对工作能力没有影响,两个总体的均值应该相等。所以问题相当于要求我们根据实际测得的样本数据,检验假设H0:μ1=μ2是否成立。第三页,共27页。例7.3某班学生的一次考试成绩为x1,x2,…,xn,问学生的考试成绩X是否服从正态分布?学生的考试成绩可以看作是总体X的样本观察值,该例题相当于提出这样一个问题H0:X~N(μ,σ2)然后要求从样本出发,检验它是否成立。例7.1-7.3有一个共同的特点,就是先提出一个假设,然后要求从样本出发检验它是否成立。我们称这样的问题为假设检验问题。在假设检验中,提出要求检验的假设,称为原假设或零假设,记为H0,原假设如果不成立,就要接受另一个假设,这另一个假设称为备择假设或对立假设,记为H1。第四页,共27页。例7.1中,原假设是H0:μ=48,备择假设H1:μ≠48,例7.2中,H0:μ1=μ2,H1:μ1≠

μ2例7.3中,H0:X~N(μ,σ2),H1:X不服从正态分布问题:设总体X~N(μ,σ2),已知其中σ=σ0,(x1,x2,…,xn)是X的样本,要检验H0:μ=μ0,(μ0是一个已知常数),H1:μ≠

μ0第五页,共27页。1、检验方法总体X~N(μ,σ2),要检验μ是否为μ0,而μ是未知的.我们知道μ的无偏估计是的大小在一定程度上反映了,样本均值μ的大小,因此,当H0为真时,即μ=μ0时,的观察值与μ0的偏差一般不应太大。如果我们就应怀疑假设H0的正确性并拒绝H0,而可归结为统计量的大小。当H0为真时,统计量过分大,的大小,由此,我们可选定一正数k,使得当时,就拒绝H0,时,则接受H0。第六页,共27页。称使成立的样本值(x1,x2,…,xn)为检验的拒绝域,记为W1。称使成立的样本值(x1,x2,…,xn)为检验的接受域,记为W0。第七页,共27页。2、检验的两类错误当H0为真时,作出拒绝H0的判断,称这类错误为第一类错误或弃真错误;当H0不真时,作出接受H0的判断,称这类错误为第二类错误或取伪错误。记α=P{拒绝H0|

H0真};β=P{接受H0|

H0假}对于给定的一对H0和H1,总可找出许多临界域W,人们自然希望找到这种临界域W,使得犯两类错误的概率都很小。奈曼—皮尔逊(Neyman—Pearson)提出了一个原则:“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,尽量使犯第二类错误小”,按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,称为显著性水平或检验水平。第八页,共27页。3、假设检验的步骤(1)提出原假设H0和备择假设H1;(2)选取合适的统计量,当H0为真时,其分布是确定的;(3)对给定的显著性水平α,查标准正态分布表,求出临界值,用它来划分拒绝域W1和接受域W0;(4)由样本观察值计算检验统计量的值;(5)由统计量的样本值,作出拒绝还是接受H0的判断。第九页,共27页。正态总体下参数的假设检验一、单个正态总体下参数的假设检验对于一个正态总体均值的检验,常见的有以下三种类型:(1)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0;(2)H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0;(3)H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0;双边假设检验单边假设检验第十页,共27页。1、总体方差σ2已知,正态总体的均值检验构造检验统计量当μ=μ0时,统计量U服从标准正态分布N(0,1)。对于给定的显著性水平α,有(1)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0;检验规则为当时,拒绝H0当时,接受H0第十一页,共27页。(2)H0:μ≤

μ0,H1:μ>μ0;检验规则为当时,拒绝H0当时,接受H0(3)H0:μ=≥μ0,H1:μ<μ0;检验规则为当时,拒绝H0当时,接受H0第十二页,共27页。例7.4设某产品的某项质量指标服从正态分布,已知它的标准差σ=150,现从一批产品中随机地抽取26个,测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(α=0.05)?解(1)提出原假设:H0:μ=1600,H1:μ≠1600;(2)选取统计量(3)对于给定的显著性水平α=0.05,查标准正态分布表(4)计算统计量观察值(5)结论接受原假设H0即不能否定这批产品该项指标为1600。

第十三页,共27页。例7.5完成生产线上某件工作的平均时间不少于15.5分钟,标准差为3分钟。对随机抽取的9名职工讲授一种新方法,训练期结束后,9名职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。这个结果是否说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短?设α=0.05,并假定完成这件工作的时间服从正态分布。解(单边检验问题)提出原假设H0:μ≥15.5,H1:μ<15.5;选取统计量查标准正态分布表对于给定的显著性水平α=0.05,已知n=9,σ=3,计算统计量观察值由于所以拒绝原假设H0,而接受H1,即说明用新方法所需时间比用老方法所需时间短。

第十四页,共27页。1、总体方差σ2未知,正态总体的均值检验由于总体方差σ2未知,故选取统计量当μ=μ0时,统计量T服从自由度为n-1的t分布。对于给定的显著性水平α,有(1)H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0;检验规则为当时,拒绝H0当时,接受H08.2单个正态总体下均值与方差的检验第十五页,共27页。(2)H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0;检验规则为当时,拒绝H0当时,接受H0(3)H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0;检验规则为当时,拒绝H0当时,接受H0第十六页,共27页。例7.6某地区青少年犯罪年龄构成服从正态分布,现随机抽取9名罪犯,其年龄如下:22,17,19,25,25,18,16,23,24试以95%的概率判断犯罪青少年的平均年龄是否为18岁。解提出原假设:H0:μ=18,H1:μ≠18;选取统计量对于给定的显著性水平α=0.05,查t分布表得由题意,计算得到样本均值和样本方差分别为计算统计量观察值由于所以拒绝原假设H0,而接受H1,即能以95%的把握推断该地区青少年犯罪的平均年龄不是18岁。

第十七页,共27页。例7.7食品罐头的细菌含量按规定标准必须小于62.0,现从一批罐头中抽取9个,检验其细菌含量,经计算得样本均值为62.5,样本标准差为0.3。问这批罐头的质量是否完全符合标准(α=0.05)?(设罐头的细菌含量服从正态分布)

解由题意建立假设:H0:μ=62.0,H1:μ>62.0;选取统计量对于给定的显著性水平α=0.05,查t分布表得由题意,计算统计量观察值由于所以拒绝原假设H0,而接受H1,即认为这批罐头细菌含量大于62.0,质量不符合标准。

第十八页,共27页。2、区间估计与假设检验的关系抽样估计与假设检验都是统计推断的重要内容。参数估计是根据样本统计量估计总体参数的真值;假设检验是根据样本统计量来检验对总体参数的先验假设是否成立。(1)区间估计与假设检验的主要区别①.区间估计通常求得的是以样本估计值为中心的双侧置信区间,而假设检验以假设总体参数值为基准,不仅有双侧检验也有单侧检验;②.区间估计立足于大概率,通常以较大的把握程度(置信水平)1-α去保证总体参数的置信区间。而假设检验立足于小概率,通常是给定很小的显著性水平α去检验对总体参数的先验假设是否成立。第十九页,共27页。(2)区间估计与假设检验的联系①.区间估计与假设检验都是根据样本信息对总体参数进行推断,都是以抽样分布为理论依据,都是建立在概率基础上的推断,推断结果都有一定的可信程度或风险。②.对同一问题的参数进行推断,二者使用同一样本、同一统计量、同一分布,因而二者可以相互转换。区间估计问题可以转换成假设问题,假设问题也可以转换成区间估计问题。区间估计中的置信区间对应于假设检验中的接受区域,置信区间以外的区域就是假设检验中的拒绝域。第二十页,共27页。(3)、用置信区间进行检验

均值双侧检验①.求出双侧检验均值的置信区间2已知时:2未知时:②.若样本统计量x的值落在置信区间外,则拒绝H0

第二十一页,共27页。用置信区间进行检验

(例题分析)【例】一种袋装食品每包的标准重量应为1000克。现从生产的一批产品中随机抽取16袋,测得其平均重量为991克。已知这种产品重量服从标准差为50克的正态分布。试确定这批产品的包装重量是否合格?(α=0.05)双侧检验!香脆蛋卷第二十二页,共27页。用置信区间进行检验(例题分析)解:提出假设:H0:

=1000H1:

1000已知:n=16,σ=50,=0.05双侧检验/2=0.025

临界值:Z0.025=±1.96置信区间为决策:结论:

在置信区间内,不拒绝H0可以认为这批产品的包装重量合格Z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025第二十三页,共27页。3、正态总体方差的检验常见的正态总体方差的假设检验有以下三种类型:(1)H0:σ2=σ02,H1:σ2≠σ02

;(2)H0:σ2≤σ02,H1:σ2>σ02;(3)H0:σ2≥σ02,H1:σ2<σ02。双边假设检验单边假设检验第二十四页,共27页。选取统计量当H0为真时,服从自由度为n-1的χ2分布。对于

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