高数多元函数的偏导数与全微分

高数多元函数的偏导数与全微分第1页，共46页，2023年，2月20日，星期四（1）邻域一、多元函数的概念第2页，共46页，2023年，2月20日，星期四（2）区域例如，即为开集．第3页，共46页，2023年，2月20日，星期四第4页，共46页，2023年，2月20日，星期四（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．第5页，共46页，2023年，2月20日，星期四例1求的定义域．解所求定义域为第6页，共46页，2023年，2月20日，星期四（6）二元函数的图形（如下页图）第7页，共46页，2023年，2月20日，星期四二元函数的图形通常是一张曲面.第8页，共46页，2023年，2月20日，星期四二、多元函数的极限第9页，共46页，2023年，2月20日，星期四说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第10页，共46页，2023年，2月20日，星期四例2求证证当时，原结论成立．第11页，共46页，2023年，2月20日，星期四例3求极限解其中第12页，共46页，2023年，2月20日，星期四例4证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第13页，共46页，2023年，2月20日，星期四确定极限不存在的方法：第14页，共46页，2023年，2月20日，星期四三、多元函数的连续性定义3第15页，共46页，2023年，2月20日，星期四例5讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第16页，共46页，2023年，2月20日，星期四例７解第17页，共46页，2023年，2月20日，星期四多元函数极限的概念多元函数连续的概念（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义第18页，共46页，2023年，2月20日，星期四2、偏导数的定义及其计算法第19页，共46页，2023年，2月20日，星期四第20页，共46页，2023年，2月20日，星期四第21页，共46页，2023年，2月20日，星期四偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处第22页，共46页，2023年，2月20日，星期四习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．第23页，共46页，2023年，2月20日，星期四多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导第24页，共46页，2023年，2月20日，星期四解第25页，共46页，2023年，2月20日，星期四证原结论成立．第26页，共46页，2023年，2月20日，星期四有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解第27页，共46页，2023年，2月20日，星期四３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，第28页，共46页，2023年，2月20日，星期四纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4、高阶偏导数第29页，共46页，2023年，2月20日，星期四解第30页，共46页，2023年，2月20日，星期四解第31页，共46页，2023年，2月20日，星期四问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？第32页，共46页，2023年，2月20日，星期四解第33页，共46页，2023年，2月20日，星期四偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）三、小结第34页，共46页，2023年，2月20日，星期四思考题第35页，共46页，2023年，2月20日，星期四思考题解答不能.例如,第36页，共46页，2023年，2月20日，星期四3、复合函数链式法则第37页，共46页，2023年，2月20日，星期四上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.第38页，共46页，2023年，2月20日，星期四上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：第39页，共46页，2023年，2月20日，星期四链式法则如图示第40页，共46页，2023年，2月20日，星期四第41页，共46页，2023年，2月20日，星期四解第42页，共46页，2023年，2月20日，星期四解第43页，共46页，2023年，2月20日，星期四1、链式法则（分三种情况）2、全微分形