2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二年级下册学期4月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市校高二下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知等差数列，，，，，……，则该数列的公差是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的定义直接可得解.【详解】由数列为等差数列，则，故选：C.2．假设，且与相互独立，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据独立事件的并事件的概率公式计算.【详解】由与相互独立，则.故选︰B．3．已知等差数列{an}满足a2﹣a5+a8＝4，则数列{an}的前9项和S9＝（

）A．9 B．18 C．36 D．72【答案】C【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a2﹣a5+a8＝a5＝4，又由，计算可得答案．【详解】根据题意，等差数列{an}中，a2+a8＝2a5，则a2﹣a5+a8＝a5＝4，数列{an}的前9项和，故选：C．4．成对样本数据和的一元线性回归模型是，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值.对于A选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故A错；对于C选项，残差与观测时间有线性关系，故C错；对于D选项，残差与观测时间有非线性关系，故D错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内.故B正确.故选：B.5．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（

）A．36 B．25 C．49 D．64【答案】A【分析】根据数列的前几项求出三角数列以及正方形数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，三角数列的通项为，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，所以在三角数列中，第二个正方形数是36.故选：A.6．已知数列满足：对任意的，都有，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对任意的，有，且，求得的值，即可得的值.【详解】对任意的，都有，且，所以，则，所以.故选：B.7．某大学毕业生为自主创业于年月初向银行贷款元，与银行约定按“等额本金还款法”分年进行还款，从年月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款，计划于上年月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（

）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：年按个月计算）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【分析】分析可知所少的部分为按原计划还款时后个月的利息，根据“等额本金还款法”，结合数列的知识计算可得后个月的利息，从而得到结果.【详解】截止年月，两种还款方式所还利息也相同，且两种还款方式最终所还本金相同，按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自年月起至原计划结束时所还的利息，即共计个月的利息；每月应还本金为，年月还完后本金还剩，年月应还利息为：；年月应还利息为：；年月应还利息为：；……，最后一次应还利息为：；后个月的利息合计为：.即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少元.故选：C.8．已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（

）A．当时，的值最小 B．当时，的值最大C．当时，的值最小 D．无最值【答案】C【分析】根据等差数列的定义可得，进而可得，再根据数列的单调性可判断各选项.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，或，即或，又数列为单调递增数列，则，所以，所以数列在和时分别单调递减，所以，当时，，当时，，且，所以当时，得值最大为，故B，D选项错误；当时，得值最小，A选项错误，C选项正确；故选：C.二、多选题9．设公比为的等比数列，若则（

）A． B．当时，C．和的等比中项为4 D．【答案】ABD【分析】对于ABC根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D结合基本不等式即可判断.【详解】由题意，，即，故A正确；当时，，所以，故B正确；因为，所以和的等比中项为4或，故C错误；由，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ABD.10．设等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用等差中项的性质以及等差数列的求和公式分别判断各选项.【详解】由，得，，所以，，即，所以A，B选项正确；所以，C选项正确；又，所以，D选项错误；故选：ABC.11．已知为数列前项和，则下列结论成立的有（

）A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列B．若数列为等差数列，若，则C．若数列为等差数列，其前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为D．若数列的通项公式为，则该数列的前项和【答案】ACD【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项ABC，再利用裂项相消法求和可判断选项D.【详解】A选项：依题意，设等比数列得公比为，，所以数列为等差数列，A选项正确；B选项：数列为等差数列，则，，又，即，化简可得，则，，所以，B选项错误；C选项：等差数列的前项中，偶数项的和为，奇数项的和为，又偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则，解得，所以，C选项正确；D选项：，则，，D选项正确；故选：ACD12．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如：，，则（

）A． B．n为素数时，C．数列是等比数列 D．【答案】ABC【分析】根据给定的欧拉函数定义，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A，，显然与15互素，即，则，A正确；对于B，当n为素数时，n与前个正整数都是互素的，即，B正确；对于C，所有偶数与不互素，所有奇数与互素，因此，即有，数列是等比数列，C正确；对于D，100是偶数，小于它的正奇数有50个，其中是5的倍数的奇数有10，它们与100不互素，因此，D错误.故选：ABC三、填空题13．已知数列的前n项和为，且，则_____________．【答案】9【分析】利用即可求解.【详解】，时，，两式相减得，.故答案为：9.14．已知等比数列的前项和为，若，，则_____________．【答案】【分析】根据等比数列通项公式及求和公式进行求值.【详解】由数列为等比数列，设其公比为，又，则，解得，所以，即，所以，，所以，，所以，故答案为：.15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）【答案】【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有种，由分步乘法计数原理可知共有种，故答案为：.16．已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有.若，则的值为__________.【答案】【分析】先根据得出周期为4，再根据，结合通项与前项和的关系可得，再结合二项式定理求得除以4的余数，进而求得即可【详解】因为，，，，…易得周期为4.又由，，两式相减，即，又当时，，解得，故数列是以为首项，3为公比的等比数列，故，.又，故除以4的余数为，故故答案为：四、解答题17．等比数列的公比为2，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用等差中项求出，再根据等比数列的通项公式求出；(2)根据条件求出的通项公式，再分组求和.【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，，，解得，；（2），.；综上，18．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，证明数列的前项和．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式及求和公式直接求解；（2）利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）由于是等差数列，设公差为，当选①②时：，解得，所以的通项公式，．选①③时，解得，所以的通项公式，．选②③时，解得，所以的通项公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，，.19．某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立．(1)设答对的题数为，求的分布列；(2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)选择同学，理由见解析【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；（2）由已知可得满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.【详解】（1）设答对的题数，则的可能取值有，，且，，则的分布列为：（2）设答对的题数，则，，，，，由（1）知：，，而，，所以，，故选择为参赛选手．20．已知数列满足．数列满足，且．(1)求数列，的通项公式；(2)求的前n项和．【答案】(1)，，；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用“”求出，利用等比数列定义求出作答.（2）由（1）的信息，利用错位相减法求和作答.【详解】（1）依题意，，当时，，两式相减得，即有，而当时，，有，满足上式，因此，因为，即有，则，即为等比数列，而，因此，所以数列，的通项公式分别为，，.（2）由（1）知，，则，于是，，所以.21．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求对所有的正整数都有成立的的范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，再由题意可得的递推公式，进而可得通项公式；（2）判断数列的单调性与最大项，可得恒成立，即，利用基本不等式可得的取值范围.【详解】（1）设等比数列的公比为，，，，成等差数列，，，化为：，，解得，又满足，，即，解得，，（），数列的前项之积为，，，即，是以为公差的等差数列，又，即，；（2）由（1）知，所以恒成立，所以数列单调递减，即，又因为对所有的正整数都有成立，所以，由可得，若恒成立，只需即可，又，当且仅当，即时成立，所以.22．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：消费金额（单位：百元）频数由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望；①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的