2022-2023学年皖豫名校联盟高二年级下册学期阶段性测试（三）数学试题【含答案】

2022-2023学年皖豫名校联盟高二下学期阶段性测试（三）数学试题一、单选题1．下列四组函数中，导数是同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据选项中的函数，求得和，结合同一函数的判定方法，即可求解.【详解】对于A中，由函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以A不符合题意；对于B中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以B不符合题意；对于C中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以C不符合题意；对于D中，函数，可得的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数，所以D符合题意.故选：D.2．函数的单调递增区间是（

）A．和 B． C． D．【答案】B【分析】求出导函数，由确定增区间．【详解】，的定义域为，由，得，∴的单调递增区间为．故选：B．3．函数在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的导函数，再利用导数的几何意义及点斜式求切线方程即可.【详解】由已知可得：，所以而，所以在处的切线方程为：，即.故选：C4．已知函数为的导函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.【详解】由可知，则，即为奇函数，故A，D错误；又，故C错误，B正确，故选：B5．若函数在上单週递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求导，再根据函数在上单週递减，由在上恒成立求解.【详解】解：因为函数，所以，因为函数在上单週递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，不恒为零，所以实数的取值范围是，故选：C6．若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求导，再根据函数在时取得极小值，利用极值点的定义求解.【详解】解：因为函数，所以，因为函数在时取得极小值，所以当或时，，当时，，则，即，所以实数的取值范围是，故选：A7．若定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，求导可得，从而得在R上单调递减，由此得解.【详解】令，则，所以在R上单调递减，又因为，所以等价于，即，所以，所以不等式的解集为.故选：C.8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数有两个零点的问题转化为函数的图象交点个数问题，结合导数的几何意义，数形结合，即可求解.【详解】由有两个零点，即有两个正根，即函数的图象有2个交点，直线可变为，令，则，即直线过定点，当该直线与相切时，设切点为，则，则，即，令，则在上单调递增，又，故有唯一零点，故，即与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1，要使函数的图象有2个交点，需满足，即，故选：A【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.二、多选题9．下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】求出函数的导数，继而求得处的切线的斜率，根据其正负，即可判断答案.【详解】由可得，则，故在处的切线倾斜角是钝角，A错误；由可得，则，故在处的切线倾斜角是锐角，B正确；由可得，则，故在处的切线倾斜角是锐角，C正确；由可得，则，故在处的切线倾斜角是钝角，D正确；故选：BC10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．有且仅有两个极值点B．在区间上单调递增C．可能有四个零点D．若在区间上单调递减，则的最大值为6【答案】AD【分析】根据的图象，得出函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解.【详解】由的图象知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数的在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；对于A中，根据极值点的概念，可得：当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确；对于B中，当，，单调递减；当时，，单调递增，所以B不正确；对于C中，根据函数的单调性，可得函数的图象最多与轴有三个交点，所以函数最多有三个零点，所以C不正确；对于D中，因为函数在区间上单调递减，要使得在区间上单调递减，可得的最大值为，所以D正确.故选：AD.11．已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】ABC【分析】由题意切点为，利用导数的几何意义可得求出切线方程，代入点，可得，故可构造函数，将原问题转化为函数图象的交点个数问题，利用导数求得函数最值，作出函数图象，数形结合，即可求解.【详解】由题意知，过点作直线与的图象相切，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，将点代入，即，即，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，作出其大致图象如图：由点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，可知，且有两个解，即的图像和有2个交点，故，则a的取值可以为，故选：ABC12．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】令，求得，得到在单调递减，结合，可判定A不正确；令，求得，求得在单调递增，结合，可判定B正确；令，求得，求得上单调递减，结合和，可判定C、D正确.【详解】对于A中，令，可得，当时，，单调递减，所以，即，所以，所以A不正确；对于B中，令，可得，当时，，单调递增，所以，可得，即，即，所以B正确；对于C中，令，可得，令，则，当时，，则单调递减，所以，则在恒成立，所以函数单调递减，所以，即，所以，所以C正确；又，即，可得，即，所以D正确.故选：BCD.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三、填空题13．已知函数的导函数为，则__________.【答案】##0.25【分析】先求得导函数，再代入求解.【详解】解：因为函数，所以，则，故答案为：14．若直线与函数的图象相切，则__________.【答案】1【分析】利用导数的几何意义即可求得答案.【详解】由题意，可得，因为直线与函数的图象相切，故设切点为，则，故，则，故，故答案为：115．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】求得函数的导数，判断单调性，确定函数极值，结合函数值情况，列出使得函数在区间上存在最大值的不等式，即可求得答案.【详解】由得,当或时,；当时,，即在上单调递增，在上单调递减，故为函数的极大值点，且，令，则或，故要使函数在区间上存在最大值，即时函数取最大值，需满足，故答案为：16．已知对，不等式恒成立，则实数的最小值是__________.【答案】##【分析】，令，求导后判断在上单调递增，从而问题转化为，恒成立.而，令，求导得到，进而可求解.【详解】令，则，恒成立.对求导得，所以在上单调递增.所以，恒成立.而令，则令，所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以.故，即实数的最小值是.故答案为：【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.四、解答题17．已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值.【答案】(1)；(2)的单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，极小值为.【分析】（1）先求得切点坐标，再利用导数几何意义求得切线的斜率，利用点斜式方程即可求解；（2）求导后判断导数的正负，从而得到单调区间，进而求得极值.【详解】（1）由，得，，又，函数在点处的切线方程是，即.（2）因为，，所以，令，则或，所以当或时，；当时，.所以在上递增，在上递减,在上递增，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值.故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值为，极小值为.18．已知函数在处取得极小值-2.(1)求实数的值；(2)若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据已知条件可得，求解即可.（2）问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解.【详解】（1），因为函数在处取得极小值-2，所以，即，解得．经检验，当，时，在处取到极小值，所以，.（2）由（1）可知，，则令，解得或，而，所以当，时，单调递增；当时，单调递减.又所以当时，.若，都有成立，只需，所以.故实数的取值范围为.19．已知函数.(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由函数在处的切线与直线垂直，列方程求出实数的值；（2）函数在定义域内是减函数，转化为在上恒成立，通过参变分离，构造新函数，求出函数的最大值，可得实数的取值范围．【详解】（1）由题意，在处的切线与直线垂直，则切线斜率，，，解得；（2）函数在定义域内是减函数，则在上恒成立，且函数不为常函数，分离参变量可得：，构造，，令，解得则在上单调递增，在上单调递减，所以，实数的取值范围是．20．已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数，由题意可知是即的两个正根，由此列出不等式组，即可求得答案；（2）化简可得，从而构造函数，判断其单调性，即可求得答案.【详解】（1）由可得，因为函数有两个极值点，故是即的两个正根，则故，即，即实数的取值范围为.（2）由（1）可知，，，由于，故，设，故在上单调递增，故由可得，即实数的取值范围为21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数知识分类讨论，判断导数正负，可得函数的单调性；（2）将不等式恒成立问题转化为函数图象问题，利用导数的几何意义，数形结合，即可求得答案.【详解】（1）由得，（i）当时，，故当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；(ii)当时，由于,故,此时,则当或时,,即在上单调递减；当时,，在上单调递增；(iii)当时，,则当或时,,即在上单调递增；当时,，在上单调递减；即当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时,在上单调递增；在上单调递减.（2）由对恒成立，即恒成立，即时，射线全都在函数的图象的下面，令，则，在单调递增，由于当时，，，故只需的斜率小于等于即可，即，即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：（1）判断函数的单调性时，因为导数涉及到含参数的二次函数问题，因此要结合二次函数的知识分类讨论，判断导数正负，进而判断函数单调性；（2）解决不等式恒成立问题时，可以参变分离转化为函数最值，也可以数形结合，利用导数的几何意义进行解决.22．已知函数.(1)求函数的零点个数；(2)若，且，求证：.【答案】(1)1个(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，结合零点存在定理，即可得出结论；（2）将化为，则要证明原不等式成立，只