高等数学核心考点与核心题型

2014年山东省一般高等教化专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学核心考点与核心题型归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年4月26日星期五曲天尧编写温馨提示：请全部考生在参与2014年山东省专升本考试之前妥当保管这份复习材料！这份材料涵盖了全部高等数学的考试要点，特殊留意划横线(加着重号)的部分，这些都将会成为命题点，而且这份材料总结了全部可能出现的题型，并且附带一份考试样题，请务必妥当保管！留意：“”表示命题的重点；“”表示命题的次重点；无任何标记的表示不在此处命题，仅仅只是相关学问点或相关命题点的协助、基础性工具；※表示重点章节，须要重点驾驭.<高等数学课程框架>：高等高等数学基础理论实践应用解析几何学函数极限连续函数的微分学函数的积分学无穷级数向量代数空间解析几何一元函数的微分学多元函数的微分学一元函数的积分学多元函数的积分学数项级数幂级数<纲内核心考点一览全>：第一篇：基础理论部分一、函数：(以选择题、推断题、填空题形式考查)1.理解函数的定义及其性质，会求复合函数的定义域；(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题1.下列是相同函数的为（）.A.B.C.D.例题2.函数的定义域是（）A.（-3，3）B.[-3，3]C.（）D.（0，3）例题3.下列函数中为奇函数的是（）A. B.C. D.例题4.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为()A.[1,4）B.[1,4]C.[1,5)D.[1,5]例题5.设，则=.2.会利用函数的对应法则求分段函数的复合函数.(以选择题、填空题形式考查)例题6.设函数则f[f(1)]=______.3.驾驭基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，理解初等函数的定义与性质.※二、极限：(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)1.理解数列极限的定义表达式，驾驭数列极限的性质，会求等差、等比数列的极限（公式法、裂项相消法）；(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)例题7.的极限为1和2，的极限是（）.A.1B.2C.3D.不存在例题8.=.例题9.已知，求limn→∞Sn.2.理解函数极限的定义表达式，会求定值函数的极限，驾驭函数极限的性质，驾驭求函数极限的五种方法；例题10.=()A.0B.1C.2D.不存在3.会求不定式函数的极限，娴熟驾驭不定式函数极限的求法（两个重要极限、等价无穷小和洛必达法则）.(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)例题11.()A.B.C.D.例题12.已知，则k=______.例题13.求极限例题14.求极限.4.理解无穷小量与无穷大量的定义、性质及其二者之间的关系，会对两个无穷小量进行阶的比较.(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题15.下列变量中（）是无穷小量A.B.C.D.例题16.当x→0时，下列变量为无穷小量的是()A. B.C. D.5.驾驭极限运用的技巧，娴熟驾驭已知一个函数极限反求未知参数的问题.(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题17.若.※三、连续：(以选择题、推断题、填空题、计算题、证明题形式考查)1.驾驭函数连续的充分必要条件（即函数连续的定义表达式）；例题18.函数在点处有定义是在点处连续的（）A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充分必要条件D、既非充分又非必要条件例题19.设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.2.驾驭分段函数在分界点处连续性推断的方法，会推断分段函数在分界点处的连续性；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题20.当时，函数在处连续.例题21.设在处连续，则_____．例题22.设函数在内连续，求和的值.3.理解函数间断的定义，会推断函数的间断点的类型；(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题23.设，则是的（）A.可去间断点B.跳动间断点C.无穷间断点D.振荡间断点4.驾驭连续函数在闭区间上的性质（尤其是介值性和零点定理），会利用零点定理进行简洁的函数证明；(以推断题、证明题形式考查)例题24.证明方程在（0，）内至少有一个实根.5.驾驭函数水平渐近线、铅垂渐近线的定义，会求函数的水平渐近线和铅垂渐近线.(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题25.曲线的渐近线的条数为()A.1 B.2C.3 D.4其次篇：实践应用部分※四、无穷级数：(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)1.理解无穷级数的定义；(以选择题、填空题形式考查)例题26.若级数的前n项和,则该级数的和S=______.2.会推断数项级数的敛散性，熟记几何级数（等比级数）、p级数、调和级数敛散性的相关结论；(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题27.设，，，则下列命题正确的是（）A.若条件收敛，则与都收敛.B.若肯定收敛，则与都收敛.C.若条件收敛，则与敛散性都不定.D.若肯定收敛，则与敛散性都不定.3.熟记推断正项级数敛散性的三种方法（比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法）及其适用状况；(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题28.判定下列正项级数的敛散性：(n:1→∞)(1).∑(1+n)/(1+n2);(2).∑1/(n+1)(n+4);(3).∑2n/[(2n-1)3n];(4).∑n2/3n;(5).∑1/[㏑(1+n)];(6).∑sin(π/2n);(7).∑n2sin(π/2n);(8).∑n/(2n+n);(9).∑cos2nπ/2n.4.熟记推断交织级数敛散性的方法—莱布尼兹判别法；(以选择题、填空题形式考查)例题29.判别下列级数的敛散性：(1).其中，an=(-1)n+1·n/(n+1);(2).其中，an=(-1)n-1·1/n1/2.5.会求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题30.求下列级数的收敛域：(1).，其中，an=2n/(n2+1)xn;(2).，其中，an=㏑(n+1)/(n+1)xn+1.6.驾驭幂级数的和函数的性质，会将所给函数绽开成幂级数的形式.(以填空题、计算题形式考查)例题31.将函数=1/x绽开成(x-1)的幂级数.例题32.将函数=1/(3-x)绽开成x的幂级数.※五、函数的微分学：(以选择题、推断题、填空题、计算题、证明题、应用题形式考查)（一）一元函数的微分学：(以选择题、推断题、填空题、计算题、证明题、应用题形式考查)1.驾驭一元函数的导数的三种定义表达式，会利用导数的定义进行简洁的计算、证明，理解高阶导数的定义；(以选择题、推断题、填空题形式考查)例题33.推断正误：(1).设函数在点处连续，则()(2).若为可导函数，则也为可导函数()例题34.下列函数在处可导的是（）A.B.C.D.例题35.设在点的领域内存在，且为极大值，则=()A.B.C.D.例题36.设存在，则极限_____．2.理解函数的极限存在与连续、可导、可微之间的关系；(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)例题37.设函数f(x)=则f(x)在点x=0处（）A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在C.左、右导数都存在 D.左、右导数都不存在例题38.确定常数a,b的值，使函数在点x=0处可导.3.驾驭基本初等函数的求导公式和导数的四则运算，会求分段函数的导数，驾驭一元复合函数求导的链式法则，会求一元函数的微分；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题39.设函数f(x)可微，则微分d[ef(x)]=______.例题40.设，则＝.例题41.设函数f(x)=arctanx-ln(x+)，求导数f′(1).例题42.设函数，求导数.4.驾驭一元隐函数的求导方法（干脆求导法、对数求导法、自然底数求导法）；(以选择题、计算题形式考查)例题43.设，则为（）A.B.C.D.例题44.设函数由方程所确定，求例题45.设函数由所确定，求.5.会求由参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数；(以计算题形式考查)例题46.已知参数方程，且，求.6.驾驭导数的几何意义，会利用导数的几何意义求曲线上某一点处的切线方程和法线方程；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题47.曲线y=在x=1处的切线方程为（）A.x-3y-4=0 B.x-3y+4=0C.x+3y-2=0 D.x+3y+2=0例题48.设函数f(x)可导，且，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为()A.1 B.0C.-1D.-2例题49.曲线在点处的切线方程为______.例题50.曲线在点（0，1）处的切线方程是.7.驾驭微分中值定理中的罗尔定理和拉格朗日定理，会利用罗尔定理、拉格朗日定理解决相关证明题和客观题；(以选择题、推断题、填空题、证明题形式考查)例题51.函数f(x)=x2+1在区间[1,2]上满意拉格朗日中值公式的中值=（）A.1 B.C. D.例题52.设，证明：.8.娴熟驾驭一阶导数的应用—推断函数的单调性，求函数的驻点、极值、最值，会解简洁的应用题；娴熟驾驭二阶导数的应用—求函数的拐点、凹凸区间，推断函数的极值；(以选择题、填空题、应用题、证明题形式考查)例题53.曲线y=3x5-5x4+4x-1的拐点是______.例题54.函数在闭区间[-1,1]上的最大值是______.例题55.求函数的微小值点与微小值.例题56.证明不等式：例题57.(1).设，求函数的单调区间和极值.(2).求的凹凸区间与拐点.例题58.设某产品的成本函数和收益函数分别为，，其中表示产量.求：（1）边际成本函数；（2）边际收益函数；（3）利润函数、边际利润函数及利润最大时的产量.（二）多元函数的微分学：(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)1.理解二元函数的导数定义，会求二元函数的定义域；(以选择题、填空题形式考查)例题59.函数z=㏑(y2-4x+8)的定义域为.2.会求二元函数的两个一阶偏导数和四个二阶偏导数，会求二元函数的全微分；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题60.设，则=()A.B.C.D.例题61.设函数，则偏导数______.例题62.设函数z=sin(xy2)，则全微分dz=_________.3.理解二元复合函数求导的连锁法则；例题63.设z=u2㏑v，而u=y/x，v=3x-2y，求，.例题64.设函数z=xy+f(u)，u=y2-x2，其中f是可微函数.证明：.4.驾驭二元隐函数求导的公式，能够娴熟地对二元隐函数进行求导；(以计算题形式考查)例题65.设z=z(x，y)是由方程xz+y2+ez=e所确定的隐函数，求偏导数.例题66.设由方程x/z=㏑z/y确定函数z=f(x,y)，求，，.5.理解二元函数极值的存在定理（存在条件），了解二元函数的无条件极值的求法，了解二元函数最值的求法.(以选择题、推断题、填空题、计算题形式考查)例题67.设可微函数f(x,y)在点取得微小值，则下列结论正确的是()A.在处的导数等于零.B.在处的导数大于零.C.在处的导数小于零.D.在处的导数不存在.例题68.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.※六、函数的积分学：(以选择题、推断题、填空题、计算题、证明题形式考查)（一）一元函数的积分学：(以选择题、推断题、填空题、计算题、证明题形式考查)1.理解原函数与被积函数的关系，驾驭不定积分的性质，理解不定积分的几何意义；(以选择题、填空题形式考查)例题69.设的一个原函数为,则（）.ABCD2.娴熟驾驭不定积分的基本公式；3.娴熟驾驭不定积分的求法（干脆积分法、第一换元法/凑微分法、其次换元法/变量替换法、分部积分法、待定系数法）；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题70.设，则（）.A.B.C.D.例题71．设，则（）.A.B.C.D.例题72.已知，且，则.例题73．计算下列不定积分：(1).;(2).;(3)..例题74.求不定积分.4.娴熟驾驭无理一次根式（干脆换元法）、无理二次根式（三角换元法）、三角函数（先结合微分后积分）、有理函数的不定积分；(以计算题形式考查)例题75.计算下列不定积分：(1).;(2).∫sin2xcosxdx;(3)..(4).∫(1/x2+4x+5)dx.例题76.已知,计算.5.理解定积分的概念，驾驭定积分的几何意义，驾驭定积分的基本性质；(以选择题、推断题、填空题形式考查)6.娴熟驾驭定积分的计算方法（干脆积分法、第一换元法/凑微分法、其次换元法/变量替换法、分部积分法、待定系数法），计算公式（牛顿—莱布尼兹公式）；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题77.推断正误：设在上连续，且，则()例题78.下列积分中可干脆用牛顿-莱布尼茨公式计算的是()A. B.C. D.例题79.定积分＝.例题80.计算定积分.例题81.计算定积分.7.理解变限积分的定义，理解变限积分与函数的关系，会求变限积分的微分/导数；(以选择题、推断题、填空题、证明题形式考查)例题82.推断正误：若，且在区间上连续，则是区间上的单调增函数()例题83.已知函数f(x)连续，若(x)=xf(t)dt，则′(x)=_________.例题84.已知，证明：.8.理解无穷区间广义积分的概念，了解广义积分的计算方法；(以选择题、填空题形式考查)例题85.无穷限反常积分=_________.例题86.计算无穷限反常积分.9.驾驭定积分的应用—直角坐标系下利用定积分求曲边图形的面积（X型区域和Y型区域）.(以计算题、应用题形式考查)例题87.设D是由曲线y=ex，y=e-x及直线x=l所围成的平面区域，如图所示.求D的面积S.例题88.设曲线与直线y=4x,x=2及x轴围成的区域为D，如图所示.求D的面积.例题89.求由曲线与所围成的平面图形的面积.例题90.求由曲线与直线，x=0所围成的平面图形的面积.（二）常微分方程：(以选择题、填空题、计算题形式考查)1.理解微分方程、常微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、微分方程的通解、微分方程的特解的概念；2.会利用分别变量法求简洁的一阶常系数微分方程及其满意一个初始条件下的特解；(以选择题、填空题形式考查)例题91.微分方程的通解为()A.B.C.D.例题92.微分方程xy′-2y=0的通解是_________.3.熟记一阶常系数线性微分方程的通解公式，会解一阶常系数线性微分方程及其满意一个初始条件下的特解；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题93.已知曲线过点A(0,1)，且在点M(x,y)处的斜率为x+y，求该曲线方程.4.了解二阶线性微分方程解的结构；5.驾驭二阶常系数齐次线性微分方程的解法.(以选择题、填空题形式考查)例题94.微分方程的通解为.例题95.微分方程的通解为.（三）多元函数的积分学：(以选择题、填空题、计算题、证明题形式考查)1.理解二重积分的概念及几何意义，驾驭二重积分的性质；(以选择题、填空题形式考查)例题96.设，则二重积分______.2.利用穿线法娴熟驾驭二重积分在直角坐标系下的计算方法（X型区域Y和型区域）；(以计算题、证明题形式考查)例题97.计算二重积分I=dxdy，其中D是由曲线y=x3，x=l及x轴所围成的区域，如图所示.3.驾驭二重积分在极坐标系下的计算方法，会利用极坐标系计算圆的面积；(以计算题形式考查)例题98.计算，其中为，及在第一象限所围成的图形.例题99.计算二重积分，其中积分区域D=4.娴熟驾驭如何变更二重积分的积分次序得到新的二重积分.(以选择题、填空题形式考查)例题100.将化成先对x后对y的累次积分为，其中D由围成.第三篇：解析几何学七、向量代数：1.理解向量的概念，驾驭向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影；(以选择题、填空题形式考查)例题101.已知一向量的终点在B(2，-1，7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4,和7，求此向量起点A的坐标.2.驾驭向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法；(以选择题、填空题形式考查)例题102.已知OA=i+3k，OB=j+3k，求三角形OAB的面积.3.驾驭两个向量平行、垂直的条件.(以选择题、填空题形式考查)例题103.已知M(1,-1,2)，N(3,3,1)，P(3,1,3)，求与MN，NP同时垂直的单位向量.八、空间解析几何：（一）平面：(以选择题、填空题形式考查)1.会依据一般式平面方程写出对应的法向量；(以选择题、填空题形式考查)例题104.已知平面x+2y+2z-10=0，则此平面的法向量为.2.会求平面的点法式方程、一般式方程，会判定两平面的垂直、平行；(以选择题、填空题形式考查)例题105.设空间三点为，试写出过点A，B，C的平面方程.例题106.求过点A(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.3.会求点到平面的距离.(以选择题、填空题形式考查)例题107.求点A(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离.（二）空间直线：(以选择题、填空题形式考查)1.了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程（点向式方程）、参数式方程，会判定两直线平行、垂直；例题108.设空间三点为，试求过中点的直线的方程.2.会依据直线方程写出对应直线的方向向量；(以选择题、填空题形式考查)例题109.已知直线方程为(x-4)/5=(y+3)/2=z，则此直线的方向向量为.3.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）.(以选择题、填空题形式考查)例题110.直线与平面的位置关系为（）A.垂直B.斜交C.平行D.例题111.直线-(x-1)=(y-2)/2=(z+1)/-2与下列平面()垂直A.4x+y-z+10=0B.x-2y+3z+5=0C.2x-4y+4z-6=0D.x+y+z-9=0例题112.直线(x-2)/3=-(y+2)=(z-1)/4与平面6x-2y+8z-7=0的关系是()A.平行但不共面B.直线垂直于平面C.直线在平面上D.两者相交<纲外内容一点通>：(依据个人状况而言，不要求全部驾驭！)一、重积分：(以选择题、填空题、计算题形式考查)1.了解三重积分的概念及几何意义；2.理解三重积分在空间直角坐标系下的计算，会求简洁立体几何的三重积分；(以选择题、填空题、计算题形式考查)例题113.在空间直角坐标系中，方程表示的曲面是()A.柱面B.球面C.锥面D.旋转抛物面例题114.计算，其中是三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的区域.3.了解利用柱面坐标计算三重积分的方法，简洁了解利用球面坐标计算三重积分的方法；4.简洁了解重积分的应用—求曲面的面积.二、曲线积分与曲面积分：(以选择题、填空题形式考查)1.了解第一型曲线积分的定义（对弧长的曲线积分），理解第一型曲线积分的计算方法；2.了解其次型曲线积分的定义（对坐标的曲线积分），理解其次型曲线积分的计算方法；3.理解格林公式及其应用，理解曲线积分与路径的无关性；(以选择题、计算题形式考查)例题115.格林公式建立了区域上二重积分与的边界曲线的其次型曲线积分之间的联系.设函数在闭区域上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为.例题116.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值.(1)(2).4.简洁了解第一型曲面积分的定义（对面积的曲面积分），简洁了解第一型曲面积分的计算方法；5.简洁了解其次型曲面积分的定义（对坐标的曲面积分），简洁了解其次型曲面积分的计算方法；6.简洁了解高斯公式与斯托克斯公式.参考教材：由同济高校数学系主编的《高等数学》第六版上下册.<核心题型大汇总>：一、选择题：一般有4—10个小题，每小题1—2分，总共8—10分.二、推断题：一般有5个小题，每小题1分，总共5分，出现的可能性较小.三、填空题：一般有4—10个小题，每小题1—2分，总共8—10分.四、计算题：最多不会超过5个题，分值不会超过20分.五、证明题：最多不会超过2个题，分值不会超过10分.六、综合应用题：可能会涉及到，分值不会超过5分.高等数学（经济数学）满分50分，在山东省专升本考试经管类（会计学、国际贸易与实务、电子商务、工商管理）专业中作为专业综合一两门考试科目的第一门，专业综合一的考试时间为8:30—11:30，总共180分钟，高等数学（经济数学）的答题时间一般为90分钟左右.<实战演习>：以下为2014年山东省专升本统一招生考试经管类专业（会计学、国际经济与贸易、电子商务、工商管理）高等数学（经济数学）科目的一份考试样题，请考生依据正规考试的要求在规定的时间内完成！绝密★启用前试卷类型：高职类2014年山东省一般高等学校专升本考试专业综合一试卷高等数学样题试卷说明：本套样题共分成两部分，选择题部分和非选择题部分，请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上，答在试卷上一律无效.第Ⅰ部分：选择题部分(共8分)留意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题1分，共8分，在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑.错涂、多涂或未涂均无分）1.函数的连续区间是（）Ａ.B.C.D.2.若则常数的值为（）A.B.C.D.3.已知点是曲线的拐点，则有（）A.B.C.D.4.假如是的一个原函数，则（）A.B.C.D.5.设，则（）A.B.C.D.6.设在存在二阶导数，且，当时有，，则当时有（）A..B..C..D..7.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（）A.B.C.D.8.设是微分方程的满意，的解，则=（）A.0. B.1. C.2. D.不存在.第Ⅱ部分：非选择题部分(共42分)留意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.二、填空题(本大题共7小题，每小题1分，共7分)9.设，假如在处可导，则，.10.曲线上某点的切线平行于直线，该点的坐标是.11.微分方程的通解为______.12.=.13.过点且与平面垂直的直线方程为______.14..15.设的一个原函数，且，则.三、计算题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)16.求极限.17.求所确定的函数的二阶导数.18.计算定积分.19.求幂级数的收敛域.20.求解微分方程.21.计算二重积分，其中D是由直线x+y=1及两个坐标轴围成的区域.22.计算其次型曲线积分：.四、证明题(本大题共1小题，共4分)23.证明方程在实数范围内恰有2个实根.五、综