2023年高考全国乙卷仿真卷数学（理）试题

2023年高考全国乙卷仿真卷数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知，，则，故选A.2．已知复数满足，则()．A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】试题分析：，选A.【解析】复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3．若集合，集合，则A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，选D.4．设向量a，b满足|+|=4，·=1，则|-|=（

）A．2 B．2 C．3 D．2【答案】B【分析】根据|+|2=2+2·+2，|-|2=2-2·+2两式相减可得4·=|+|2-|-|2代入已知条件即可得解.【详解】因为|+|2=2+2·+2，|-|2=2-2·+2，以上两式相减可得，4·=|+|2-|-|2，所以|-|2=|+|2-4·=16-4=12，即|-|=2，故选：B．5．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图象分段判断即可.【详解】由图可知，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；故的解集为，故选：A.6．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为A． B． C． D．【答案】A【解析】直接计算概率得到答案.【详解】共有种情况，满足条件的有种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【分析】根据空间线面、面面的平行，垂直关系，结合线面、面面的平行，垂直的判定定理、性质定理解决．【详解】∵α⊥γ，β⊥γ，α与β的位置关系是相交或平行，故A不正确；∵m∥α，m∥β，α与β的位置关系是相交或平行，故B不正确；∵m∥α，n∥α，m与n的位置关系是相交、平行或异面∴故C不正确；∵垂直于同一平面的两条直线平行，∴D正确；故答案D．【点睛】本题考查线面平行关系的判定，要注意直线、平面的不确定情况．8．若执行下图的程序框图，则输出的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依次写出每次循环得到的的值,当时,不满足条件,退出循环，输出的值为即可.【详解】第一次循环:，满足，继续循环;第二次循环:，满足，继续循环;第三次循环:满足，继续循环;第四次循环:，不满足，跳出循环，输出.故选:B【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题.9．已知数列{an}满足a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且an+1>an(n∈N)，则数列{an}的通项公式an=（

）A．2n B．n2 C．n+2 D．3n-2【答案】B【解析】化简得到，故为首项是，公差为的等差数列，得到答案.【详解】，故，即，即，，故为首项是，公差为的等差数列.故，.故选：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键.10．已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与的关系得到的范围，然后利用斜率公式表示出，进而求出其范围．【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．因椭圆C的焦点在x轴上，则．因为，所以，不妨设，，，，由题意知，则，即，．故选：A．11．已知函数的最大值、最小值分别为和，关于函数有如下四个结论：①，；

②函数的图象关于直线对称；③函数的图象关于点对称；

④函数在区间内是减函数．其中，正确的结论个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】计算得到，再根据函数的对称性和单调性判断每个选项得到答案.【详解】的最大值、最小值分别为和，故，解得，故，①正确；当时，，故②正确；函数的图象的中心对称点纵坐标为，故③错误；当时，，故④正确；故选：.【点睛】本题考查了三角函数的解析式，对称性和单调性，意在考查学生的综合应用能力.12．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出外接圆直径，结合锥体体积公式及球面的性质求出球半径即可计算作答.【详解】如图，设的中心为，连接，的延长线交球面于点D，连SD，显然CD是外接圆的直径，则，而平面ABC，则平面ABC，因正边长为3，则，，又，而，解得，在中，球O的直径，球O的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.故选：D二、填空题13．已知曲线在处的切线的斜率为2，则实数的取值是__________．【答案】【详解】f′（x）=3ax2+，则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，故答案为．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．14．已知数列的首项为－1，则数列的前10项之和等于________.【答案】31【分析】将中的n换为，两式相除可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，求得，由等比数列的前项和公式计算即可．【详解】因为，所以，两式相除可得2，所以的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，又，a2＝＝2，∴－31＋2×31＝31.故答案为：31.15．某统计调查组从两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况，并记录他们的调查结果，得到如图所示的茎叶图．已知市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82，市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77，则____．【答案】【分析】本题考查茎叶图的识别、平均数、中位数等知识，考查数据分析、数学运算等核心素养．先由平均数公式得出的值，由中位数的定义确定的值，再计算的值．【详解】由题意知，，可得，所以．故答案为：.16．已知双曲线：的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】把到右焦点的距离转化为到左焦点的距离，根据最小值可建立的等式，从而求得，得渐近线方程．【详解】设是双曲线的左焦点，如图，则，，显然，当且仅当三点共线时取等号，∴的最小值是，∴，，，，∴渐近线方程为．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18．如图，已知三棱锥中，，，为的中点，点在边上，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先在等腰三角形中证，然后在中根据勾股定理证，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】（1）连接，在中，因为，，为的中点，所以，且；在中，因为，为的中点，所以，且；在中，因为，，，所以，所以，又，平面，所以平面．（2）因为，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，由，得，则，设平面的法向量为，则，令，得，因为平面，所以为平面的一个法向量，设二面角为，则，因为，所以二面角的正弦值．19．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．；；．所以的分布列为（2）由（1）知，．若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．；；．所以．因为，所以小明应选择先回答类问题．20．已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用点在曲线上，椭圆的离心率，列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程；（2）要证明，等价于证明，设过点直线为，联立方程，利用韦达定理证明即可.【详解】（1）由题意知，，又因为解得，，所以椭圆方程为，（2）当过点的直线斜率为零时，显然满足题意；当斜率不为零时，设过点直线为，设，由得，且.则又因为，，

，所以.因为线段的中点为，所以.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．21．已知函数．(1)求的极值；(2)当时，总有，求实数a的取值范围．【答案】(1)时，无极值；时，的极大值为，无极小值.(2)【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的极值；（2）解法一：依题意，令，不等式的恒成立，即为在恒成立，利用导数分类讨论求解函数的单调性和最值，即可求解；解法二：依题意，令，不等式的恒成立，转化为在恒成立，求得，利用二次函数的性质，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】(1)的定义域为，，①时，，在上为增函数，所以无极值.②时，令，得.时，，为增函数，时，，为减函数，故的极大值为，无极小值.综上，时，无极值；时，的极大值为，无极小值.(2)解法一：依题意，当时，，即，即在恒成立令，即在恒成立，①时，，在上为增函数，时，不合题意，舍去.②时，令，则，所以时，，为减函数，所以，适合题意；③时，，方程有两个不等实根，因为，所以时，，为增函数，故不合题意，舍去综上，的取值范围为.解法二：依题意，在恒成立，令，即在恒成立，①时，因为，所以在上为增函数，故，适合题意；②时，令，，以为，所以时，为减函数且，所以，为减函数，所以时，不合题意，舍去③时，的对称轴为，因为，所以时，为减函数且，所以，故为减函数，所以时，不合题意，舍去综上，的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；（2）方法一：设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；(2)[方法一]【最优解】设，设，，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.[方法二]：设点的直角坐标为，，，因为，所以，，，由，即，解得，所以，，代入的方程得，化简得点的轨迹方程是，表示圆心为，，半径为2的圆；化为参数方程是，为参数；计算，所以圆与圆内含，没有公共点．【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出的参数坐标，再利用向量关系解出求解点的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点的坐标，再利用向量关系将的坐标用点的