千分考数学2012名校自主暑期

组合数学中的计数原理一 组合数学中的著名问二 排＝8，＝3，玩家一共可以填出的3匹马号的排列数为如果在个元素中取出个元素进行排列，这个元素可以重复出现，那么排列数则有如下83=三 组四 要点考注意:0!=1; =𝐴𝑘+ ;𝐴𝑘=

𝐴𝑘 (n−

𝐶𝑘 两个：①𝐶𝑘 ②𝐶𝑘+𝐶𝑘−1

𝑘!(n−五 典型例题140404组进行单循环赛，第二轮由各组的前两名再进行单3、（交大）2005!的末尾有连 个4、某公司欲在某一条街一侧的6个灯箱中任意布置5个不同的，中间包括一个特定的公益。如果要求其中有两个灯箱必须布置这个公益，则公司恰好将公益布置在两个相邻的灯箱中的方法种数为。79名翻译中，6名懂英语，453人担任英语翻译，2人担任日语①1,3,5,7,9,

数学归纳法②1,2,6,15,31,一 数学归纳法的一般形式（此章适合复旦班，华约班，名校班例1.1证明：在2n2n的正方形格子中，任意挖去一个格子，余下的部分均可用及其旋转的四种图形覆盖，1.2an,满足a3a3a3aaa)2,求a 第二归纳法的其他形式（第三归纳法例1.3若数列an满足：a15,a212，且对一切正整数n，均有an25an16an，求an的通 将质数从小到大编号,2算作第一个质数，3算作第二个，依次类推，求证:n个质数参加过一次比试，试求n所有可能的值（2012年华约自主招生试题）二 数学归纳法的其他形式（此讲义适合华约班、名校班例2.1设a,a,...a是n个整数，求证 a1a2...an(均值不等式的证明 例2.2数列Fn满足:F11,F21,Fn2Fn1Fn(n )，证明F2F2

n的非负整数解的组数为(nmn!(m函数f:NN具有如下性质:（1）f(2)2 (2)对任意的正整数m,n，f(mn)f(m)f(n) 正整数m,n，mn，有f(m)f(n) 证明:f(n)n数列ana

3l2,a2l

1l(4l23l2l

,S

1l(4l23l1)f(mn满足:f(mnf(mn1)f(m1,nmnmn2f(1,nf(m,1mnN，证明:f(mnk①an:a11,ak1ak

数列递归方法②an:a14,a27,an16an③aa2 an1 n 2an一、 №1.线性递归型数列（本讲适合复旦班，华约班）k阶线性递归数列:k阶齐次线性递归数列例1.1已知数列a满足：a2，a2 2,求a的通 3 不动点: 1.2已知数列ana12,a24，以及递推关系:an24an1一．求证an例1.3已知数列a满足ats,ats2,ats3，且有递推关系: qa,求证:at 1.4问什么样的等比数列xn，才能满足xn2pxn1qxn呢?(假设pq给定1.5求证:假设等比数列xnyn均满足递推xn2pxn1qxn，则数列an=xnyn也满足递推关系an2pan1qan特征方程：二阶线性递推数列an2pan1qan,以及给定a1a2的统一求法 (1)若特征方程有两个不同的根xxnyyna 例1.6若数列an满足：a15,a212，且对一切正整数n，均有an25an16an，求an的通 （2）若特征方程有两个相同的根anxny)xyaan 1.7.已知数列an满足:an26an19an,a16,a254,求an的通1.810n阶楼梯的不*高阶其次线性递推数列的求法例1.9设数列an满足通项 ：3an34an2an12an，且：a1a21,a32，求数列an的通项已知数列a满足递推关系:a1, 3a2n24n4(n=1,2...)，求数列a的通 a2已知数列an满足a1a21，an ，求数列an的通 已知数列a定义如下：a1， 1(14a )，求数列a的通 .并求出a的极 (2 3)n(22证(2 3)n(22设数列ab满足a1b0,an17an6bn3，求证a的每一项均为某个整数的平方

8a7b *№2分式型递归数列（本讲适合华约班）1一阶分式型递推数列 axnb以及给定a的统一求法1

cxn 4an1,(n1,2,...)，求数列a的通n 2a n 7an9,(n1,2,...)，求数列a的通a an一 预

微积分简介

1 一只乌龟在海边沿着直线爬行初速度是1m/s，记作v0速度关于时间的关系是vtv0*2求

1k2（4）乌龟一共爬了多远？如果假设第k秒维持 2

二 极limana0,N,nN,ana2limfxa0,,x极限运算法则：已知limanalimbn

fxalimanbnalimanbnlimana(b nbn

等比数列a，若公比q1，那么limSa0 n 1 e的定义：limn

1nn三 导fx0limfxfx0

xfkxfkx高阶导fk1

lim 0uvu

xuvuv uuv⑴c⑷cosxsin⑺secxsecxtan

⑵x⑸tanxsec2

v ⑶sinxcos⑹cotxcsc2⑻cscxcscxcot⑼

⑽ax

ln

⑾lnxx11⑿logx ⒀arcsinx ⒁arccosx11 xln⒂arctanx 1

⒃arccotx ⒄x 1

x 推导tansin2的导

sinx

xxx1lim （4）lim 求fx2x33x212x5有多少个零点2 求和椭圆2

四 积0【例7vvt2100不等一 基本不等aabbab,bcaabab0（作差法ab0a1（作商法b abaccb（三角不等式） 求证：aabacbbcbaccacb0.其中，a,b,cR 求证：xmnymnxmynxnym，其中x,y0,m,n1n 调和平均数:H n 11... aa...算术平均数：An 2

na1a2na1a2 na2a2...aHGAQaa、…aR，当且仅当aaa时取“=” n 记两列数分别是a,b，则有n

ab

i f 为上凸函数（满 fx1fx2fx1x2 ）， f(x1x2...xn)f(x1)f(x2)...f(xn f(a1x1a2x2...anxn)a1f(x1)a2f(x2)...anf(xn ai （1）xy0x2y1

（2）xyz，求证xyzyzxzxy二、常用处理11【例4】a,b,c0且abc1， ab

bc

ca

【例5】a,b,c0且abc1，证 a b c x16x61fx

x

x61x1x3 求fx的最小值三 题型变x24x【例7】x24xx24xx24x求fx的最小gx的最大 【例8】求证：1 ...

10】设ank

a1kn1k 1四 练 11Cauchy(a2)(b2 12aaaa1

i

a a a 13M0,NnN1k114、求sin3cos315a

(ab)b复 a2关于复数的模运算，最显然的做法是设出z=a+bi然后z= a2Rez=1z+z22Imz=1zz22 证明：若z1,z

z21二 复数的几何意a 在复平面中，一个复数对应平面上的一个向量。即z=a+bi对应ab，那么arctanbargz由此引申a 2

a2 2 证明

i

，其aibi是复数 计算arctan14

1arccos argzRezImzzz0

zz1zz2zz1z

写出下面式子代表的z1z2z3z4的几何关系z

z4 1 z3

z4

iii三 多项式与单位 求C0+C3+C6 复数的指数形式——cos+isin 求数列an通项，其中a1=1,a2=1,an+2=2an+1 求证：实系数不可约多项式只有1次和2次四 练A1A2A3A4是圆内接四边形，H1H2H3H4分别是A2A3A4A1A3A4A1A2A4A1A2A3的垂心，求n=1990113C232C433C63994C19883995C1990 fxx10001fxgxx4x32x2x1的余式coscos2cos31

1 1求证k

2

1(1)nn1sink

1n 2组合、案、独立完成or组队合作）希望大家能够在匆忙的暑假抽出一天半天时间，一下自己。、 是否存在一个长为2012的数列a2012，使得i| 最经典的Ramsey定理，求证6个人中，必定存在三个人两两认识或两两不认识（这里忽略a认识b