高等数学-第8章-(平面及其方程)

高等数学-第8章---(平面(píngmiàn)及其方程)第一页，共40页。课程(kèchéng)相关教材及相关(xiāngguān)辅导用书?高等数学?第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.?高等数学精品课程下册?第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.

?高等数学?第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.

?高等数学学习辅导与习题选解?〔同济第七版上下合订本〕同济大学应用数学系编高等教育出版社,2014.8.第二页，共40页。第八章空间解析几何与向量代数8.1向量代数8.2数量积向量积混合(hùnhé)积8.3空间曲面及其方程8.4空间曲线及其方程8.5平面及其方程8.6空间直线及其方程8.7综合例题第三页，共40页。回忆(huíyì)：第四页，共40页。第五页，共40页。向量(xiàngliàng)的数量积向量(xiàngliàng)的向量(xiàngliàng)积向量(xiàngliàng)的混合积〔结果是一个数量〕〔结果是一个向量〕〔结果是一个数量〕〔注意共线、共面的条件〕数量积、向量积、混合积第六页，共40页。空间(kōngjiān)曲面及其方程一、曲面方程(fāngchéng)的概念二、旋转曲面三、柱面四、锥面五、二次曲面第七页，共40页。水桶(shuǐtǒnɡ)的外表、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何(jiěxījǐhé)中被看成是点的几何轨迹．曲面(qūmiàn)方程的定义：曲面的实例：第八页，共40页。旋转(xuánzhuǎn)曲面：一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成的曲面称为(chēnɡwéi)旋转曲面。曲线C称为(chēnɡwéi)旋转曲面的母线，直线L称为(chēnɡwéi)旋转曲面的轴。第九页，共40页。方程(fāngchéng)第十页，共40页。定义(dìngyì)三、柱面观察柱面的形成(xíngchéng)过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第十一页，共40页。从柱面方程(fāngchéng)看柱面的特征：〔其他(qítā)类推〕实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴【结论】柱面的方程是x，y，z的二元方程，且与其准线(zhǔnxiàn)方程相同.第十二页，共40页。空间(kōngjiān)曲线的一般方程曲线上的点都满足(mǎnzú)方程，满足(mǎnzú)方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足(mǎnzú)两个方程.空间(kōngjiān)曲线C可看作空间(kōngjiān)两曲面的交线.特点：、空间曲线及其方程第十三页，共40页。空间曲线的参数(cānshù)方程二、空间(kōngjiān)曲线的参数方程第十四页，共40页。消去变量(biànliàng)z后得：曲线关于的投影柱面设空间(kōngjiān)曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影(tóuyǐng)的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影第十五页，共40页。类似地：可定义空间曲线在其他坐标(zuòbiāo)面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线第十六页，共40页。第十七页，共40页。第五节一、平面(píngmiàn)的点法式方程二、平面(píngmiàn)的一般方程三、两平面(píngmiàn)的夹角平面及其方程

第八章四、点到平面的距离第十八页，共40页。①一、平面的点法式(fǎshì)方程设一平面(píngmiàn)通过点且垂直于非零向称①式为平面的点法式(fǎshì)方程,求该平面的方程.法向量.量那么有故第十九页，共40页。例1.求过三点(sāndiǎn)即解:取该平面(píngmiàn)的法向量为的平面(píngmiàn)的方程.利用点法式得平面的方程第二十页，共40页。此平面(píngmiàn)的三点式方程也可写成一般(yībān)情况:过三点(sāndiǎn)的平面方程为说明:第二十一页，共40页。练习(liànxí)：第二十二页，共40页。特别,当平面(píngmiàn)与三坐标轴的交点分别为此式称为(chēnɡwéi)平面的截距式方程.时,平面(píngmiàn)方程为分析:利用三点式按第一行展开得即第二十三页，共40页。二、平面(píngmiàn)的一般方程设有三元(sānyuán)一次方程以上两式相减,得平面(píngmiàn)的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数那么显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.第二十四页，共40页。特殊(tèshū)情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示(biǎoshì)通过(tōngguò)原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于

zox

面的平面.第二十五页，共40页。例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面(píngmiàn)方程.解:因平面(píngmiàn)通过x轴,设所求平面(píngmiàn)方程为代入点得化简,得所求平面方程第二十六页，共40页。例当平面不与任何坐标面平行，且不过(bùguò)原点时，才有截距式方程。第二十七页，共40页。三、两平面(píngmiàn)的夹角设平面(píngmiàn)∏1的法向量为平面(píngmiàn)∏2的法向量为那么两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.第二十八页，共40页。特别有以下(yǐxià)结论：第二十九页，共40页。因此(yīncǐ)有例4.一平面(píngmiàn)通过两点垂直于平面(píngmiàn)∏:x+y+z=0,求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和那么所求平面故方程为且第三十页，共40页。外一点(yīdiǎn),求例5.

设解:平面(píngmiàn)法向量为在平面(píngmiàn)上取一点是平面到平面的距离d.,那么P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)第三十一页，共40页。第三十二页，共40页。内容(nèiróng)小结1.平面(píngmiàn)根本方程:一般(yībān)式点法式截距式三点式第三十三页，共40页。2.平面(píngmiàn)与平面(píngmiàn)之间的关系平面(píngmiàn)平面(pín