2014年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2014年北京，理1，5分】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】集合．故，故选C．（2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间上为增函数的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】对于A，在上为增函数，符合题意，对于B，在上为减函数，不合题意，对于C，为上的减函数，不合题意，对于D，为上的减函数，不合题意，故选A．（3）【2014年北京，理3，5分】曲线（为参数）的对称中心（）（A）在直线上（B）在直线上（C）在直线上（D）在直线上【答案】B【解析】参数方程，所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆．其对称中心为圆心．逐个代入选项可知，在直线上，故选B．（4）【2014年北京，理4，5分】当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）（A）7（B）42（C）210（D）840【答案】C【解析】当输入的，时，判断框内的判断条件为．故能进入循环的依次为7，6，5．顺次执行，则有，故选C．（5）【2014年北京，理5，5分】设是公比为的等比数列，则“”是“”为递增数列的（） （A）充分且不必要条件（B）必要且不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于等比数列，若，则当时有为递减数列．故“”不能推出“为递增数列”．若为递增数列，则有可能满足且，推不出．综上，“”为“为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D．（6）【2014年北京，理6，5分】若满足且的最小值为，则的值为（）（A）2（B）（C）（D）【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意．若，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，在点处取最小值．故，解得，故选D．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）（B）且（C）且（D）且【答案】D【解析】在平面上的投影为，故，设在和平面上的投影分别为和，则在和平面上的投影分别为和．∵，，故，故选D．（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】B【解析】用ABC分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多3个，故选B．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】复数．【答案】【解析】复数，故．（10）【2014年北京，理10】已知向量、满足，，且，则．【答案】【解析】由，有，于是，由，可得，又，故．（11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为______．【答案】，【解析】双曲线的渐近线为，故的渐近线为，设：并将点代入的方程，解得，故的方程为，即．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列满足，，则当________时，的前项和最大．【答案】8【解析】由等差数列的性质，，，于是有，，故．故，，为的前项和中的最大值．（13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种．【答案】36单调递增；当时，，单调递减．所以．进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即．综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立．所以若对任意恒成立，则最大值为，最小值为．解法二：令，则，由⑴知，，故在上单调递减，从而的最小值为，故，最大值为，最小值为，下面进行证明：，，则，当时，，在上单调递减，从而，所以，当且仅当时取等号．从而当时，．故的最小值小于等于．若，则在上有唯一解，且时，，故在上单调递增，此时,与恒成立矛盾，故，综上知：的最小值为．（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论．解：（1）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率．（2）直线与圆相切．证明如下：解法一：设点的坐标分别为，其中．因为，所以，即，解得．当时，，代入椭圆的方程，得，故直线的方程为．圆心到直线的距离．此时直线与圆相切．当时，直线的方程为，即．圆心到直线的距离．又，，故．此时直线与圆相切．解法二：由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，，①当时，，易知，此时直线的方程为或，原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；②当时，直线的方程为，联立得点的坐标或；联立得点的坐标，由点的坐标的对称性知，取点计算，直线的方程为：，即，原点到直线距离，此时直线与圆相切．综上知，直线一定与圆相切．解法三：①当时，，易知，此时，，原点到直线的距离，此时直线与圆相切；②当时，直线的方程为，设，则，，联立得点的坐标或；于是，，，所以，直线与圆相切；综上知，直线一定与圆相切．（20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数．（1）对于数对序列，求的值；（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况