(北师大版)重庆市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，O是菱形的对角线的交点，E，F分别是的中点给出下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积大小等于；④；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，对折矩形纸片，使与重合得到折痕，将纸片展平，再一次折叠，使点落到上的点处，并使折痕经过点，已知，则线段的长度为（）A．1 B． C． D．23．如图，把矩形沿对折，若则等于（）A． B． C． D．4．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝25°，若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（）A．25° B．40° C．90° D．50°5．如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为（）A．3 B． C． D．6．如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（）A．28 B．24 C．20 D．167．已知菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（）A． B． C． D．8．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若，则的面积是（）A． B． C． D．9．如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，，若，则的长度是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n－1 C．（）n－1 D．n11．如图所示，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接BE，BF，DE，DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60° D．AB＝AF12．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是()A．3 B．2 C．3 D．6二、填空题13．如图，正方形，对角线，交于点，以，为一组邻边做正方形；，交于点，以，为一组邻边做正方形；，交于点，以，为一组邻边做正方形……．若，则的值为_____．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，连接CD．若BC＝5，CD＝3，则AC＝______．15．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．16．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为_______________．17．如图，和都是直角三角形，C，D是直角顶点，．取的中点O，连结，则的度数是__________．18．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，沿直线折叠，点落在矩形内部的点处，连接并延长交于点．已知，，则的长为__________．19．如图，长方形中，是上一点，将沿着翻折，使得翻折后的恰好经过边的中点，翻折后的点记作点．若，，则线段的长度为______．20．如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．三、解答题21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．22．综合与实践已知四边形与均为正方形．数学思考：（1）如图1，当点在边上，点在边上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形以点为旋转中心，逆时针旋转角度，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展探索：（3）如图3，若点，，在同一直线上，且，则线段长为_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．23．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角的平分线于点F，连接．（1）求证：；（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．24．如图所示，平行四边形对角线平分；求证：四边形为菱形；已知于，若，求．25．如图，在坐标系的网格中，且三点均在格点上．（1）C点的坐标为；（2）作关于y轴的对称三角形；（3）取的中点D，连接A1D，则A1D的长为．26．已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP．求证：（1）；.（2）PB⊥BE（3）请你连接PE，猜想线段PB与线段PE的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE＝OE．∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD∴S△ADE＝S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE＝OF．∵OD＝OB．∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EFAC．∴菱形ABCD的面积＝EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：C．【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．2．B解析：B【分析】由折叠的性质可得AE=AD=BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG即可．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，∴AE=AD=BC=1，EF⊥AD，∴∠AEF=90°，∵再一次折叠，使点D落到EF上点G处∴AG=AD=2，∴EG=，故选：B．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．3．B解析：B【分析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得∠BAE＝∠DAF＝25°，求出∠EAF即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°由旋转不变性可知：AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF＝25°，∴∠EAF＝90°﹣25°﹣25°＝40°，∴旋转角为40°，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，求出Rt△ABE和Rt△ADF全等是解题的关键，也是本题的难点．5．B解析：B【分析】连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值；【详解】如图，连接CE、AC，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，∴AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：，∴∵CE≥AC-AE，∴CE≥，∴CE的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，根据全等三角形的性质得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到结论．【详解】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE、四边形ABGF是正方形，∴AC=AE，AF＝AB，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．7．B解析：B【分析】由菱形的性质，得到AC⊥BD，，，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，，；在直角△ABO中，由勾股定理，得,∴菱形的周长为：；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题．8．A解析：A【分析】由折叠可得，，且，可得，，即可求对角线BD的长，则可求的面积．【详解】如图连结BD交AC于点O，∵ABCD为正方形，∴，AB=BC，，，，∵沿CE翻折，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题．9．D解析：D【分析】先证得DE是△ABC的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据证得AC=2EF求出答案．【详解】∵、分别是、的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=8，∵，∴DF=2，EF=6，∵，AE=CE，∴AC=2EF=12，故选：D．【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．10．B解析：B【分析】过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA），由此可知阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和，即可求解．【详解】如图作正方形边的垂线，由ASA可知同正方形中两三角形全等，利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．11．B解析：B【分析】由正方形的性质，可判定△CDF≌△CBF，则BF=FD=BE=ED，故四边形BEDF是菱形．【详解】由正方形的性质知，∠ACD=∠ACB=45°，BC=CD，CF=CF，∴△CDF≌△CBF，∴BF=FD，同理，BE=ED，∴当BE=DF，有BF=FD=BE=ED，四边形BEDF是菱形．故选B．【点睛】考查了菱形的判定，解题关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，及菱形的判定.12．C解析：C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【详解】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=AD=3，CM⊥AD，∴CM==3，∴PA+PM=PC+PM=CM=3．故选C．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．【分析】依题意得由从而可得同理继而可得……依此规律作答【详解】解：在正方形中同理∵∴∵……故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的性质及求三角形的面积等知识正确理解正方形的对角线把正方形解析：【分析】依题意，得，由，从而可得，同理，，，继而可得，，，……，依此规律作答【详解】解：在正方形中，，，，，，同理∵，∴，∵，，……，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质及求三角形的面积等知识，正确理解正方形的对角线把正方形分成面积相等的四个全等三角形是解题的关键14．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB然后运用勾股定理解答即可【详解】解：∵在Rt△ABC中∠ACB＝90°点D是斜边AB的中点∴CD==3即AB=6∴AC=故答案为【点睛】本题解析：【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB，然后运用勾股定理解答即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点∴CD==3,即AB=6∴AC=．故答案为．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解答本题的关键．15．25【分析】根据和谐矩形的性质求出∠ADB＝30°由含30°角的直角三角形的性质求出ABAD的长即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是和谐矩形∴OA＝OCOB＝ODAC＝BD＝10∠BAD＝90解析：25【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；故答案为：25．【点睛】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．16．【分析】先证四边形BGDH为平行四边形再证BG=BH然后由勾股定理求BＧ四边形BGDH的周长=4BH即可【详解】由题意得矩形矩形∴四边形是平行四边形∴平行四边形的面积∴四边形是菱形设则在中由勾股定理解析：【分析】先证四边形BGDH为平行四边形，再证BG=BH，然后由勾股定理求BＧ，四边形BGDH的周长=4BH即可．【详解】由题意得矩形矩形，，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形的面积，，∴四边形是菱形，．设，则．在中，由勾股定理得，解得，∴四边形的周长．【点睛】本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH为菱形，用勾股定理求BH，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．17．30°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD=90°证明△AOC是等边三角形得到∠AOC从而计算出∠COD【详解】解：∵CD是直角顶点∴∠ACB=∠ADB=90°又∵∠BAC=60°∠BA解析：30°【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOD=90°，证明△AOC是等边三角形，得到∠AOC，从而计算出∠COD．【详解】解：∵C、D是直角顶点，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠BAC=60°，∠BAD=45°，∴∠ABC=30°，∠ABD=45°，∴△ABD是等腰三角形，AC=AB，又∵O是AB中点，∴OD⊥AB，OC=OA=AB=AC，∠AOD=90°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠COD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．18．【分析】连接EF根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL证出Rt△≌Rt△FCE从而求出即可求出AF最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连解析：【分析】连接EF，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得，，=∠B=90°，利用HL证出Rt△≌Rt△FCE，从而求出，即可求出AF，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接EF，∵，，∴CD=CF＋DF=9∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得，，=∠B=90°∴=90°=∠C∵点E为BC的中点∴BE=CE∴在Rt△和Rt△FCE中∴Rt△≌Rt△FCE∴∴AF=＋=13在Rt△AFD中，AD==12故答案为：12．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键．19．3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD进而得出AD的长利用矩形的性质解答即可【详解】解：过F点作FP⊥AD于P∵EF=DFFP⊥AD∴EP=PD∵FP⊥AD∴FP∥CD∵四边形ABCD是矩形∴解析：3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD，进而得出AD的长，利用矩形的性质解答即可．【详解】解：过F点作FP⊥AD于P，∵EF=DF，FP⊥AD，∴EP=PD，∵FP⊥AD，∴FP∥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴PD∥FC，∠PDC=90°，AD=BC，∴四边形PFCD是矩形，∴FC=PD=1，∴ED=2PD=2，∵翻折后的BF恰好经过AD边的中点E，∴AD=2AE=4，∴BC=4，∴BF=4-1=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B解析：55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′FC=∠2=70°，∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，由折叠知∠1=∠B′FE，∴∠1=∠B′FE=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）△BEG，△ADG，△DFH,△ABH【分析】（1）根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF，从而得出结论；（2）根据菱形的性质和∠ABC＝45°，得出∠ABD=22.5°，则3∠ABD=67.5°，找出含有67.5°的角的三角形即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF．∴∠BAF＝∠DAE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，∴∠ABD=∠CBD=22.5°，∴3∠ABD=67.5°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BGE=67.5°，∵△ABE≌△ADF∴∠AFD=90°，∴△BEG只含有一个3∠ABD；同理可得：∠DHF=67.5°，△DFH只含有一个3∠ABD；∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，AB//CD∵AE⊥BC，∠AFD=90°，∴∠DAG=∠BAH=90°，∵∠DHF=∠AHB=67.5°，∠BGE=∠AGD=67.5°，∴△ADG只含有一个3∠ABD；△ABH只含有一个3∠ABD；【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．22．（1），；（2）成立．证明见解析；（3）【分析】（1）根据正方形的性质得到，，，即可证明，；（2）延长，与交于点，证明，得，，再由即可证明结论；（3）过点A作于点M，由，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM和EM的长，再算出BM的长，即可得到BE的长．【详解】解：（1）∵四边形与均为正方形，∴，，∴，即，∵，∴，故答案是：，；（2）成立，如图，延长，与交于点，∵四边形与均为正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴；（3）如图，过点A作于点M，由（2）知，∵GE是正方形AEFG的对角线，∴，则是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案是：．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．23．（1）见解析；（2）当点O运动到的中点时，四边形是矩形，理由见解析；（3）满足为直角时，四边形是正方形，理由见解析．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出EO=CO，FO=CO，即可得出结论；（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；（3）由，得出，当时，即可．【详解】（1）证明：如图，∵，∴．又∵平分，∴，∴，∴，同理，，∴．（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形，证明如下：当点O运动到的中点时，．又∵，∴四边形是平行四边形，由（1）可知，，∴，∴，即，∴四边形是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠A