2018年数学必修五专项练习(含2018高考真题)

2018年数学必修五专项练习（含2018高考真题）

一、选择题

1、设用为等差数列SJ的前力项和，*3=62+64,%=2,则。5=

A.-12B.-10C.10

D.12

「J-人A=[x\x2-X-2>olrA-

2、已知集合IIJ,则1H力一

A.卜卜1一＜2）B.卜卜1—丁

C(x|x<-l)U[x|x>2)D(X|X<-1)U{A|X>2)

3、已知&，4，%，生成等比数列，且q+4+与+劣=144+弓+6).若4>1,则

A.4%，%<生B.c.D.4>6吗>外

C一苴

.cos—=

4、.在中，25,BC=\,>1(7=5,则超=

A.40B.炳C.V29D.2第

〃+h2-c2

5、的内角力，B,。的对边分别为。，b,c.若AASC的面积为4,则。=（）

力££J7

A.2B.3C.4D.6

x+y<5,

2x-y<A,

<

-x+yMl,

6、设变量x，T满足约束条件〔丁之。则目标函数z=3x+5y的最大值为

（A）6（B）19

(C)21(D)45

x<3,

<x+y>2,

7、若zy满足卜工工则x+2y的最大值为

(A)1(B)3

(C)5(D)9

X1-x+3,x<1,

2,x

r+-,r>1.f(x)>l-+al

{x设aeR,若关于x的不等式2在R上恒成立，则a的取值范围是

(A)耳P]⑻♦黯](O[-2^,2]⑻曰‘书

'2x+y>0,

x+2y-2>0,

x<0,

9、设变量五丁满足约束条件J03,则目标函数z=x+T的最大值为

23

--

A3BC2D

x-2^+5<0

<x+3>0

10、已知x,y满足约束条件［y'2，则染肝2y的最大值是

(A)-3(B)-1(C)

1(D)3

x<3,

<x+y之2,

11、若X,y满足〔y'X，则x+2y的最大值为

(A)1(B)3

(C)5(D)9

12、如图，点列{4},{阂分别在某锐角的两边上，且144+11=14+14+2|，以=4+2,e",

忸e+1|=优+&21怎w4+2*eN(尸w。表示点尸与Q不重合)

若公=|44|,S*为凡4+的面积，则

A.&｝是等差数列B.｛段)是等差数列

C.｛"J是等差数列D.但；)是等差数列

二、填空题

13、记2为数列SJ的前M项和，若2=24+1,则S,=.

r-2j-2<0

r-j+l>0

(y40，则Z=3x+2j的最大值为.

15、设｛勺｝是等差数列，且演=3,2+今尸36,贝|]｛勺｝的通项公式为.

r-4,r>

<2

16、已知4CR,函数/'(x)=lx-4r+3,r<A)当4=2时，不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有

2个零点，则1的取值范围是.

17、.在中，角力，6,C所对的边分别为a,b,c.若即币,b=2,J=60°,则sinB=,c=.

fr-7>0,

\2x+y<6,

18、若x，J满足约束条件卜+J22,则z=x+3」的最小值是,最大值是.

19、已知集合力=｛X|X=2M-1,MWW),B=(r|r=2-,neN，)将>1U8的所有元素从小到大依次排列构成一个数

列｛4｝.记用为数列｛%)的前〃项和，则使得2>124H成立的n的最小值为.

20、.在2\的中，角儿瓦0所对的边分别为&匕,，45。=120°,/月8。的平分线交47于点〃，且切=1,

则4a+c的最小值为

^(a2+c2-Z>2)-

21、若△出(7的面积为4，且NC为钝角，则N庐________；a的取值范围是.

22、若，了满足*+1&^&2勺则2厂的最小值是.

23、△的C的内角血日。的对边分别为。，b,c,已知匕sinC+csinB=4asinBsinC,b1+C1-a1=Z,则4

四C的面积为.

2-2j-2W0

jr-j+15=0

24、若X'『满足约束条件1,W°,则z=3x+27的最大值为

卜+2」-5三0,

r-27+3>0,

25、若XJ满足约束条件b-5W0,则2=1+『的最大值为.

2x+y+3>0>

r-2>>+4>0,]

▼wnZ=X+-P

｛X-2WQ则3的最大值是.

三、简答题

27、在平面四边形力BCD中，ZADC=90",ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB；

(2)若DC=2短,求8C.

28、在△力6c中，彳7,左8,cos庆一彳.

(I)求N4

(II)求〃1边上的高.

29^已知等比数歹ij｛区｝的公比力1,且&+国+所28,a+2是a,a的等差中项.数列

伍｝满足加=1,数列｛hbn)&｝的前〃项和为2/+〃.

(I)求q的值;

(II)求数列｛4｝的通项公式.

30、设｛"J是等差数列，且,=山2,%+&3=51112.

(I)求的通项公式；

(II)求e"+e"+…+e".

b

31、已知数列SJ满足冈=1,叫+i=2伍+1)里，设,-百.

(1)求“，如4；

(2)判断数列｛"｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛勺｝的通项公式.

32、记Z为等差数列｛4｝的前口项和，已知％=-7,^=-15

(1)求｛@｝的通项公式；

(2)求Z,并求2的最小值.

33、等比数列低｝中，勺=1，%=眄.

⑴求｛勺｝的通项公式；

⑵记Z为的前月项和.若4=63,求修

34、设｛a,,｝是等差数列，其前〃项和为S,"GN*)；｛4｝是等比数列，公比大于0,其前〃项和为北(〃GN*).己知

b[—\,Z>3=&+2,力尸a+a”Z^=a+2&.

(I)求S和A；

(ID若S+(£+研…+北)=a+4%求正整数〃的值.

兀

35、在中，内角4B,，所对的边分别为a,瓦c.已知从in走acos(8-不).

(I)求教8的大小;

(II)设炉2,c=3,求b和sin(24-虞的值.

36、设｛4｝是首项为6,公差为"的等差数列，SJ是首项为4,公比为0的等比数列.

(1)设％=°，4=1避=2,若|q一”区"对》=1,2,3,4均成立，求d的取值范围；

(2)若%=4＞。,m€川,？€(1,也］,证明：存在d€R，使得&区”对口=2,3,…,m+1均成立，并求d的取

值范围(用瓦，根国表示).

四、综合题

37、设4｝和⑷是两个等差数列,记G=max｛4一卅也一“24…也-廿)(«=1,2,3,…)，

其中max｛%勺，…，/)表示内,勺，…，/这$个数中最大的数

(I)若%=",幺=2忽-1,求白,与工3的值，并证明｛4｝是等差数列；

(H)证明：或者对任意正数舷，存在正整数演，当花之冽时，n；或者存在正整数阳，使得4，%+D分+2，一

是等差数列.

＜7

38、若无穷数列｛aJ满足：只要。=49国€1^),必有4“=%41,则称｛4｝具有性质P.

(1)若80具有性质P,且6=1,4=2,4=3,勾=2,+的+4=21,求％；

(2)若无穷数列｛〃｝是等差数列，无穷数列kJ是公比为正数的等比数列，4=与=1,A=q=8i,

4=〃+。“，判断SJ是否具有性质P,并说明理由；

(3)设｛〃)是无穷数列，已知里”n〃+GnqSeN.),求证：“对任意4,｛4｝都具有性质P”的充要条

件为“｛〃｝是常数列”.

参考答案

一、选择题

1、B

2、B

3、B

4、.A

5、C

解答：

222

a+b-c2abcosC1,「1不

=--------------=------------=-abcosCS4Ase=-absinCC=一

442又2，故tanC=l,.・.4.故选C.

6、C

7、D

【解析】

试题分析：如图，画出可行域,

z=x+2j•表示斜率为的一组平行线，当过点。（33时，目标函数取得最大值

24=3+2><3=9,故选D.

【考点】线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将

目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，

理解目标函数的意义.常见的目标函数有：<1）截距型：形如z=ox+bj.求这类目标函数的最值常将

函数z=ox+bj转化为直线的斜截式：y=-^x+1,通过求直线的截距:的最值间接求出z的最值;

（2）距离型：形如z=（x-af+8一方/；（3）斜率型：形如z=",而本题属于截距形式.

x-a

8、A

【解析】不等式/(x)2。为-f(x)<^+a</(x)(*),

当x«l时，(*)式即为一x2+x-3wf+aWx：-x+3,-xz+--3<a<x1--x+3,

,X1r47471

又一片+；-3=-(乂一；)一一77s-白(x=；时取等号)，

2416164

x:--x+3=(x--):+—>—(丫=二时取等号)，

2416164

6的47V.39

1616

2,x)23

-X--<—4-^<x+---X--<a<—+—

当x>l时，(*)式为x2x,2x2x,

一力二=_（，+生_2的3

又2x2x（当3时取等号），

（当x=2时取等号），

所以一2石=4工2,

综上16.故选A.

【考点】不等式、恒成立问题

X,XT

/（x）±g+a

【名师点睛】首先满足2转化为22去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分

段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的4的范围.

9、D

324

【解析】目标函数为四边形A3CD及其内部，其中J（OJ）^（O,3）,C（-^3）:D（-^-），所以直线z=x+y

233

过点B时取最大值3,选D.

【考点】线性规划

【名师点睛】线性规划问题有三类：（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜

率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实

际应用，本题就是第三类实际应用问题.

10、D

【解析】

x-2y+5<0

试题分析：画出约束条件，x+320表示的可行域;如图中阴贽部分所示，平移直线x+2j=0：可

y<2

知当其经过直线X—2》+5=0与｝=2的交点（一L2）时,z=x+2j取得最大值，为

max=-l+2x2=3,故选D.

【考点】线性规划

11、D

【解析】

试题分析：如图，画出可行域,

z="2y表示斜率为5的一组平行线，当过点,（3,3）时，目标函数取得最大值%敢=3+2x3=9,故选火

【考点】线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予

几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.常见

的目标函数有：（1）截距型：形如z=ax+如.求这类目标函数的最值常将函数z=ax+如转化为直线的斜截式:

azz

y=~—x+——(…j+(…)2.

b5,通过求直线的截距3的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形如z(3)

z=U

斜率型：形如x-a,而本题属于截距形式.

12、A

【解析】s"表示点4到对面直线的距离（设为4）乘以忸*与+J长度一半，即s*=2履**川

,由题目中条件

忸*4+11的长度为定值，那么我们需要知道瓦的关系式，过A作垂直得到初始距离也，那么和两个垂足

可知

构成了等腰梯形，那么叫=4+l4"*+J其中e为两条线的夹角，即为定值，那么

4=；（%+内4|tan切二1=〈眄+44+卜如6）l4]|一

N，/，作差后:

1「&=舞4+卜曲。阴涉"都为定值,-*为定值.故选A.

二、填空题

13、-63

14、6

15、q=6"3

16、(1,4),(1,3]11(4,旭)

17、R

18、-2；8

19、27

20、9

2］、60°(2,+oo)

22、3

邓

23、3

24、6

25、9

26、3

解答：

z=2+-x3=3

由图可知在直线工一2了+4=°和工=2的交点（2,3）处取得最大值，故一3

三、简答题

BD_AB

27、解：(1)在△A3D中，由正弦定理得sin/5sinZADB.

-^―=——-——sinZADB=—

由题设知，sin45°sm^ADB,所以5.

I~2J23

cosZADB=Jl——=—

由题设知，ZADB<90°,所以V255.

cosABDC=sinZ.ADB=—

(2)由题设及(1)知，5.

在△3S中，由余弦定理得

3c2=BD2+DC2-2BDDC-COSABDC

=25+8-2x5x2应x学

=25.

所以8C=5.

兀A小

一-cos--B--=-—4—-

28、解：(I)在△/窈中，"：cosB=-7,:.BG(2,n),.,.sin比7

8

a_b74布

由正弦定理得sin力sinB=>sin^=7,/.sinJ=2.

兀兀兀

,:BG(2,n),二柞(0,2),,-.Zy4=3.

召，1、14抬3#

(II)在△48C中，sinOsin(4+6)=sin/1cos班sin比os4=2727=14.

h7303第

如图所示，在△<加中，'.'six\C=^,.\/T=BCsinC=142,

3.

二/lC边上的高为2.

29、(I)由2是0，%的等差中项得出+&5=24+4,

所以以3+4+%=3a$+4=28

解得4=8.

上*8(q+3=20

由。3+。5=2°得q

因为夕＞1,所以夕=2.

（II）设％=（4+1-&）即，数列｛%）前"项和为M,

Si*=1,

cn

由一工-12之2解得1

由(I)可知%=2*1

所//=«-5,

1=(4附_5).分，“

故2

b「瓦=M一々-i)+(4-i—a-2)+…+(与一3)+(4—4)

=(4n—5)•2+(4M—9)•(2)*与+…+75+3

4=3+71+ll(|)2+-+(4«-5)(i),,-2,»>2

=3-g+7-(9H---1_(4附-9).(g)i+(4"5>('-I

?看=3+4.：+4.&)2+...+4.(：广2_(4%-5).&)*

所以22222

s-2

4=14-(4«+3)(l),»>2

因此2

0=15-(4〃+3)V)i

又句一1,所以2.

30、解：(I)设等差数列的公差为d,

..a2+%=51n2

...2%+3d=51n2,

又=历2,...d=ln2.

...aK=/+(〃-l)d=«ln2

(ID由(I)知怎="ln2,

...*=32=/2"=2'

是以2为首项，2为公比的等比数列.

e"+e”+”.+e4=eln2+eh2'

=2+23+---+2,*

=2x+1-2.

e。+efl,+-+efl"=2x+1-2.

如+1).

31、解：(1)由条件可得a,“=M"I

将/7=1代入得，生=4a,而a=l,所以，52=4.

将比2代入得，&二3&,所以，a=12.

从而Z?i=l,&=2,&=4.

（2）{〃}是首项为1,公比为2的等比数列.

〃_2al.

由条件可得M+1«,即丛尸24,又4=1,所以｛&｝是首项为1,公比为2的等比数列.

q_2"-1

(3)由(2)可得彳，所以a,,="・2-

32、解:

(1)设｛aj的公差为4由题意得3ai+3at-15.

由a=-7得力2.

所以｛a｝的通项公式为a.=2〃-9.

(2)由(1)得S=#-8/7=(/?-4)2-16.

所以当上4时•，S,取得最小值，最小值为-16.

33、⑴/=2*T或勺=(一2产；⑵6.

/="=4

解答：(1)设数列(%)的公比为明,，9=±2.

.•.%="】或%=(-2产

用=匕兰=2*-1&=1+(2)*」口_(_2力

(2)由⑴知，1-2或*1+23,

v»1小q=11一(一2力=63

:£=2-1=63或/3^一」(舍)，

：.m=6.

34、(I)解：设等比数列QJ的公比为0,由31,&=友+2,可得一2=°

1-2**

因为，＞0,可得0=2,故4=2*T所以看_]—2_2\

设等差数列｛/)的公差为d.由4=为+%,可得=4.由&=々+2。6,可得31+1%=16,从而

S_忒-+1)

ai=l，d=L故%=附，所以“一2.

(ID解：由(D,知1+芍+…+<=怨+23+…+2*)_%=2*+i_%_2.

然5+1)lCX+lJC-s,C*+l

由&+*+?；+♦••+◎=%+也可得1—+2f-2-〃+2

整理得万？一3%-4=0,解得力=-1(舍)，或％=4.所以"的值为4

ab

2)sinj4=<7cos(B--)

35、(I)解：在aABC中，由正弦定理sin力sinB,可得bsinR=asinB,又由6,得

asinB=acos(B--)sin5=cos(B--)-.—

6,即6,可得tanB=有.又因D/为n©,可得后3.

n

(II)解：在AABC中，由余弦定理及a=2,c=3,比3,有/=/+--2或cosB=7,故房".

bsinR=acos(B-m)sinR=WCOSJ4=sin2J4=2sinJ4cos

由6,可得W.因为a<c,故47.因此7,

cos2A=2cos2J4-1=-

7

空1_1力_34

所以，sin(2j4-B)=sin2J4COSB-cos2j4sin5=727214,

36、解：(1)由条件知：4=ST)d，"=2""

因为&区”对炉1,2,3,4均成立,

即IS-l)d-2”T|Sl对g，2,3,4均成立,

l<d<-

即141,14公3,342d45,7<3£/<9,得32

(L5]

因此，"的取值范围为3*2.

(2)由条件知:4=4+6-1"也=轲'.

若存在4使得1生-“旧”(上2,3,•,加4)成立,

即14+("-姐户区45=2,3,—,m+l)

即当M=2,3,…,m+l时，d满足M-lM-P.

因为qe(l,班］,则1〈《TK如W2,

<0己4>Q

从而M-1,«-1,对万=2,3,…,m+1均成立.

因此，取庐0时，I勺任4对n=2,3,…,MJ+1均成立.

-----)(2_)

下面讨论数列«-1的最大值和数列万-1的最小值(万=2,3,…,m+1).

q"-2矿t—2nq"-qf'-nq"A+2-q^-q"+2

-----.—---------------=-1-------------

①当24n4m时，«»-1«(«-1)-1)

当l〈g42：时,有从而-尸)_小+2>0.

{J

因此，当24n4m+1时，数列M-1单调递增，

严一―-2

故数列»-1的最大值为m.

,

②设/⑶=2'。-x),当设°时,/(r)=(ln2-l-rln2)2*<0；

所以单调递减，从而/a)〈F(0)=1.

与=^^4。-3=心<1

q«nw

当时，zTd,

因此，当2sMsm+1时，数列n-1单调递减，

吟(T

故数列沅万的最小值为荷

-2)A/

因此，d的取值范围为一rn-'rn.

四、综合题

37、(I)详见解析；(H)详见解析.

【解析】

试题分析：(I)分别代入求q，C2，C3,观察规律，再证明当然23时，9"1一万五+1)一(线-%线)=2一正<°,所

以"一％做关于左eN*单调递减.所以G=max俗一a产也一的2…也一A一=1一”即证明；(][)

首先求kJ的通项公式，分为>=Q&<°三种情况讨论证明.

试题解析：解：(I)6=瓦-勾=1-1=0,

c:=max{4_2q：&-2a:}=max{l-2xL3-2x2)=-l,

c3=max{4-3al：b2-3aZzb3-3as}=max{l-3x13-3x2,5-3x3)=-2.

当"Z3时,(4+1--+1)-(4-"%.)=(%T-4)一?7(生_1一生)=2-<o,

所以仄一〃生关于ke、•单调递遍.

所以G-max{。一句：b2一生小…：”?一%〃}=bx一句=l-n.

所以对任意“2LG=1-〃，于是c»i—G=-1,

所以{7}是等差数列.

(II)设数列SJ和{&)的公差分别为出，当，则

bk-nak=4+(上一l)d?-[a1+(k-l)djg=自-axn+(d2-nd^(k-1)

以产+(8_l)(d2_%4),当当>正&时，

c=<

所以X[“一。M,当々2V阀4时，

m>—

①当出>°时，取正整数&,则当万之加时，附心>42,因此％=瓦一为％.

此时，41㈱+。4+2，…是等差数列.

②当心=°时，对任意%21,

cK=b1l)max(^2,0)=自一为4-(«-l)(max(d2,0)-^).

此时，与，々，q，…，G，…是等差数列.

③当心<0时,

n>—

当“1时，有M.

q4-a产+(%-1)@一叫)，，、，,b.-d

上=~~-——J----i-=花(一dj+d1一%+d2+-■~-y

所以»»«

N%(-d。+d]-％+d丁|瓦一心|.