高数课件是进行数值计算的有效工具如函数

RR1算圆的面正六边形的面积正十二边形的正32n形的面

a1a1a2LAa1a2L 13

L

级数的定

一般unu1

u3Lun

(常数项)无穷如

3

L L

1111L(1)n11L 1111L(1)n1L

n级数的

snu1u2Lunui部分和

s1u1 s2u1u2

i1s3u1u2u3,Lsnu1u2Lun,部分部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限级数 敛散性当n无限增大时,如果级数un的部分数列sn有极限s即limsns.则称无 un收敛,这时极限s叫做级数un的和 并写成su1u2Lun如果sn没有极限,则称无穷级数un发散即limsn存在(不存在)常数项级数收敛(发散余项rnssnun1

Lunii即sn 误差为

(limrn即无说明：级数un的敛散性及其求和问题，可以归n为相应数列和s的敛散性问题及求极限值的问题n反之，任意数列s可以构造一级数使其部分n为sn。事实上u1＝s1，u2＝s2s1Lun＝snsn1就有：u1＋u2L＋un＝sn相互转化数列的敛散 级数的敛散1 L

1 3 (2n1)(2n解

1

(2n1)(2n

22n 2n L 1 3 (2n1)(2n1(11)1(11)L1 )1(1 2

22n 2n

2n lim

)1

2n 级数收敛,12

显然msn 故级数发散例3：讨论级数1－1＋1－1(-1)n-1解Sn＝1－1…＋(-1)n-1

1，n0，n为偶可见，n时，Sn不趋于一个确定的故认为级数(1)n1没有和级数各项无限相加的结果有两种情1n时，Sn趋于一个确定的常msn2n时，Sn不趋于一个确定的常数 (重要aqnaaqaq2LaqnL(a

的收敛性q1

snaaqaq2Laqn1

a1当q1时,Qlimqn0lim 收

1发当q1时,Qlimqnlimsn发 q1 当q1时,snna 发n当q1时,级数变为aaaa limsnn 当q时,收 发综上aqn

当

时,发散

三、 1如果级数un收敛,则kun

结论:级数的每一项同乘一个不为零的常敛散性 2设两收敛级数sun,vn 则级数(unvn)收敛,其和为s结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相 3若级数un收敛un也 nk(k1).证 uk1

Luknn uk1uk

Luknsn

sk则limnlimsnklimsks 类似地可以证4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛证 (u1u2)(u3u4u5) 1v1s2, v1v2s5,3v1v2v3s9L,msn,

lim

注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛例如(11)(11) 收1111 发推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散如果加括弧后所成的级数收敛,则原级数敛散性未四、收敛的必级数收敛的必要条当n无限增大时,它的一般项un趋于零级数收limun证 s

unsnsn1 limunlim

limsn1ss注如果级数的一般项Un不趋于 1111111 发例如调111L1 有limun0,但级数不收敛调和级 111L1 解一

n n

L

假设调和级数收敛 其和为于是lim(

sn)ss

便有01 (n)这是不可能的

级数发散4解二422228(11)(11)(1111)(11L 1 L

L

)2m

2m

2每项均大于2即前m (m1)项大

级数发推论

由性质4推论,调和级数发如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散如果加括弧后所成的级数收敛,则原级数敛散性未调和级解三

111L1 111L Q当nxn＋1时

1

,n1,2,L, 1 n11dx n11dxln(n1)ln 111L (ln2ln1)(ln3ln2)L(ln(n1)lnln(n1)ln1ln(nln(n故调和级数

1是发散n

n32n(2n1)(2n1)(2n (1n

lnn3 n1 解题思

常用判别级数发 n32n(2n1)(2n1)(2n 由limun

n32n

1

n(2n1)(2n1)(2n

(1n)n 发解由 3

3

n 1 n1 n

un敛则kun敛un敛且vn敛，则

un敛

lnn3

n1

因调和级数

发散,由性质1知nn1n

发散而级

lnn3

是以r

ln3

为公比的等比级数|r|ln3 所以这个等比级数收敛3 lnn3由性质2知

nn1 n

发散级数收敛的必要条件limun设un为收敛级数,a为非零常数 试判别级数(una)的敛散性 解因为un收敛,limun n从而lim(uaan故级数(una发散常数项级数的基本一般项、部分和、收敛、发散及级数的级数收敛的必要条件limun记住等比级数(几何级数)aqn的收基本审当limun0,则级由定义若sns则级数敛按4

n(1)若limn

则un必收敛

若un发散

则必有limnn

若lim

0,则必有un发散 nn习题11-1(1921. 2.(3)4.(4)

3.(2)五、由定义,若sns,则级数收敛;当limun0,则级数发散;n按基本性质思考 设bn与cn都收敛，且bnan (n1,2,L)，能否推出an收敛思考能．由柯西审敛原理即一、填空

练习1、若an

13L(2n24L2

,则an 552、若an

5,则5nn

3、若级

L则 xx 2 24 xx4、若级数为a

a

a

a

L则an 5、若级数为113151 则当n 时an ；当n 时an 6、等比级数aqn, 时收敛 时发散三、由定义判别

L

L的收敛1 3 5 (2n1)(2n四、判别下列级数1、111L1L 2、(11(11(11L(11L 3、1111L1 五、利 收敛原理判别级111111L的敛散 练习一、1、112135135713579 2 24 246 24682、12!3!4!5 nx3、246L

；4、(1)n1 2n5、2k1.2k1,2k,16、

1,

n三、收敛 四、1、发散 2、收敛n3、发散

(kk k

无穷级数收敛性举例：Koch雪花周长为P133 第一次分叉周长为P4P 面积AA31A

依次 n次分周长为P(4)n1 n1,2,L 面积为

An1 91 n2

1

3

34(9)A1L3

(9) 于是

() ()2L1(4)n2 3

n2,3,limP

limA