2013年高考理科数学试卷及答案(湖南卷)(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=i·（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3.在锐角中，角A，B所对的边长分别为a，b。若，则角A等于()A.B.C.D.4.若变量x，y满足约束条件则的最大值是()A.B.０C.D.5.函数的图象与函数的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.06.已知a，b是单位同量，a·b=0。若向量c满足，则的取值范围是()A.[,]B.[,]C.[1,]D.[1,]7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.C.D.8.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1）。若光线QR经过的重心，则AP等于()A.2B.1C.D.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为.10.已知R，a+2b+3c=6，则的最小值为.11.如图2，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为.(二)必做题（12～16题）12.若，则常数T的值为.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为.14.设，是双曲线C：（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点。若，且的最小内角为30°，则C的离心率为.15.设为数列的前n项和，，，则（1）=；（2）=。16.设函数，其中c>a>0，c>b>0。（1）记集合M={（）|不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（）M所对应的f（x）的零点的取值集合为；（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是。（写出所有正确结论的序号）2012年高考理科数学（湖南卷）参考答案一、1—5：BDDCB6—8：ACD二、9、310、1211、12、313、914、15、（1）（2）16、（1）{x|0＜x≤1}（2）①②③三、17、解：f（x）=sin（）+cos（）==，g（x）=2sin2=。（Ⅰ）由f（α）=得sinα=，又α是第一象限角，所以cosα>0，从而g（α）====。（Ⅱ）f（x）≥g（x）等价于≥，即≥1，于是sin（）≥。从而≤≤，，即≤≤，。故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{|≤≤，}。18、解：（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种。故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为。（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列。因为P（Y=51）=P（X=1），P（Y=48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4），所以只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可。记nk为其“相近”作物恰有k株的作物侏数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==。故所求的分布列为Y51484542P所求的数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×==46。19、解法1：（Ⅰ）如图1，因为平面ABCD，平面ABCD，所以。又，所以平面BB1D。而平面BB1D，所以。（Ⅱ）因为，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为）。如图1，边结A1D。因为棱柱ABCD—A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1=∠BAD=90°，所以平面ADD1A1，从而。又AD=AA1=3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是。故平面A1B1D，于是。由（Ⅰ）知，，所以平面ACD1，故∠ADB1=。在直角梯形ABCD中，因为，所以∠BAC=∠ADB。从而Rt～Rt，故，即。连结AB1，易知是直角三角形，且=21，即B1D=。在Rt中，，即cos()=，从而。即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。解法2：（Ⅰ）易知，AB，AD，AA1两两垂直。如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B1（t，0，3），C（t，1，0），C1（t，1，3），D（0，3，0），D1（0，3，3）。从而=（-t，3，-3），=（t，1，0），=（-t，3，0）。因为，所以。解得或（舍去）。于是=（，3，-3），=（，1，0）。因为，所以，即。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，3，3），=（，1，0），=（0，1，0）。设n=（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，则即令，则n=（1，，）。设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则。即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。20、解：设点P的坐标为（x，y）。（Ⅰ）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|，R，[0，+∞）。（Ⅱ）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值。①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|。因为d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|；（*）当且仅当x=3时，不等式（*）中的等号成立。又因为|x+10|+|x-14|≥24，（**）当且仅当[-10，14]时，不等式（**）中的等号成立。所以d1（x）≥24，当且仅当x=3时，等号成立。d2（y）=2y+|y-20|≥21，当且仅当y=1时，等号成立。故点P的坐标为（3，1）时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45。②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|。此时，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|d2（y）=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21。由①知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立。综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小。21、解：（Ⅰ）由题意，抛物线E的焦点为F（0，），直线l1的方程为。由，得。设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则x1，x2是上述方程的两个实数根。从而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p。所以点M的坐标为（pk1，pk12+），=（pk1，pk12）。同理可得点N的坐标为（pk2，pk22+），=（pk2，pk22）。于是·=p2（k1k2+k12k22）。由题设，k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以0<k1k2<()2=1。故·<p2（1+12）=2p2。（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径。故圆M的方程为，化简得。同理可得圆N的方程为。于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为。又，，则l的方程为。因为p>0，所以点M到直线l的距离。故当时，d取最小值。由题设，，解得。故所求的抛物线E的方程为。22、解：（Ⅰ）当0≤x≤a时，；当x>a时，。因此，当（0，a）时，，在（0，a）上单调递减；当（a，+∞）时，，在（a，+∞）上单调递增。①若a≥4，则在（0，4）上单调递减，。②若0<a<4，则在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增。所以，而，故当0＜a≤1时，；当1＜a＜4时，。综上所述，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥4时，在（0，4）上单调递减，故不满足要求。当0<a<4时，在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增。若存