固体电子导论

§3.1晶体中原子的微振动声子第三章晶格振动主要知识点：简谐振动晶体原子实际振动简正坐标和等效的谐振子模型声子一、微振动方程及其解设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏离平衡位置）以位移矢量作为考察量：晶体的振动动能：晶体振动势能按的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数高阶项其中平衡位置处的势能为零势能点平衡位置处势能为极小值略去高阶项（简谐近似）晶体的振动势能：拉格朗日函数代入拉格朗日方程由3N个线性齐次方程组成的方程组,其一组特解为所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的振动,称为简谐振动。有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的频率，初相位的振动，也称为一个振动模式。方程的一般解可表示为特解的线性叠加共有3N种叠加方式，表示3N种的实际振动方式。对晶体中某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。借助简谐振动，可以将这一复杂的运动图象简化。晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示

运用线性变换的方法，引入简正坐标

，总能量：1、简正坐标和谐振子：代入能量表达式，消除势能交叉项（即消去相互作用）谐振子二、晶格振动的能量N个相互作用着的原子系统可看成3N个独立的谐振子组成的系统。系统的总能量：每一个谐振子能量可表示为根据量子理论2、声子声子晶体系统的能量可看成由大量声子组成。光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。声子------声子携带格波（简谐振动）的能量和动量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为ħω，动量为ħq。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化。声子的粒子性：返回§3.2一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子（一维单原子链）对一维格子晶格振动的讨论是了解和描述三维格子晶格振动的重要基础。一、简谐近似下的运动解则原子间相互作用力近似1：简谐近似下原子间作用力简化为弹性力。作用力常数因此在简谐近似下，原子间的相互作用类似于一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子。+2nx第n+1个原子对第n个原子的作用力第n-1个原子对第n个原子的作用力每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个方程联立的线性齐次方程组.第n个原子的运动方程第n个原子受到的合力为：近似2：只考虑最近邻原子间作用力正q对应于沿+x方向的前进波，负q对应于沿-x方向的波，这种在晶体中格点间传播的波，称为格波。试解：为波矢位于处的原子的振动试探解一种振动模式（n=1,2,…）为频率格矢量试解代入运动方程——一维布拉菲晶格中格波的色散关系常将q限制在称为一维布拉菲晶格的第一布里渊区。即一维布拉菲晶格的倒格子原胞色散关系具有周期性0q一维布拉菲晶格的色散关系曲线色散关系曲线中任意一点的坐标代表一种振动模式，即代表一种格波。例如：整个晶格象刚体一样作整体运动,因而恢复力为0,故长波极限，邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢复力和频率取极大值0q一维布拉菲晶格的色散关系曲线二、周期晕性边界条梨件考虑有咽限长的族一维原愤子链，丈由N个原子组踢成，另有观无穷多个代相同的一浇维原子链卫与之联结停而形成无毛限长的一绞维原子链狭，各段相伏应原子运理动情况相当同。有N种取值波矢点班在波矢空劣间（第一布驾里渊区揭、倒格衬子原胞爷）均匀分布共有N种取值周期性边界下一维布拉菲晶格的色散关系曲线0q周期性边虾界条件下共，频率也哄相应有N个取值膏。在周期性边界条件的约束下，N个格点组成的一维布拉格晶格的振动模式数共有N种，由色散关系曲线中N组分立的决定。周期性边界下一维布拉菲晶格的色散关系曲线0q三、色横散关系吼周期性遣的物理糕意义：0q第一布里渊区波矢相差倒格矢，晶格振动相同•••••波矢空间饮中，晶格垦振动模式（代表点失）均匀分你布。晶格的独忧立振动模盗式数等于N，等于晶狭体的自由速度数。色散关系中一组对应一种格波，或振动模式。一维布拉菲晶格中原子振动的特解是格波周期性边喉界条件限津制0q小结：有N种取值2aMm2n2n+1§3.3一维复租式格子迟的晶格议振动一维复梨式格子辞（一维祖双原子份链）对一维复渠式格子晶客格振动的恒讨论是了掏解和描述逼大量三维著复式晶格俯的重要基赔础。一、运焰动方程试解：2aMm2n2n+1采用简珍谐近似栏和最近愧邻原子愉作用近灿似波矢为，频率为的格波，同一原胞中的两个原子振幅不同。齐次方程非零解条件代入运动方程——一维复式蒙晶格中格懂波的色散扬关系称为一暮维复式间晶格的第一布里挪渊区如m<M，色散关梨系中存在臣频隙0q一维复式晶格的色散关系曲线将q限制在：色散关系具有周期性，即一维复式晶格的倒格子原胞周期性边克界条件：一维歇双原子伪链由N个原胞组葡成，每个救原胞中含栋有两个不诞同的基，砖将若干个喉相同的一胶维双原子行链首尾相羡接，形成汪无限长的输一维链。考则有

，共有N种取值有N种取值所以波矢的取岛值数=N（晶格园原胞数嚷）对每一个盆波矢q，有两忍类独立艇的振动振动模式农数=2N（总自面由度数猪）0q称为声频支，相应的格波称为声学波0q声学波相邻原子奖振动方向相同二、声频丸支和光频翻支Mm2n2n+1表示声频支在长波极限下，原胞内两个原子的振幅相同，且相邻原子振动位相差振动情况一致.声频支在长波限描述了原胞的整体运动.长声学掩波与声伍波的性拿质类似勺，可近似连脱续介质的功弹性波。0q弹性波的色散关系考虑长波轮极限称为光频支，相应的格波称为光学波0q光学波相邻原筐子振动傻方向相反Mm2n2n+1考虑长温波极限表明光频贤支在长波驾极限下，响相邻原子渗反向振动柏，原胞质碍心保持静分止。若是离子垦晶体，在五电场作用皇下异号离僻子受力相拣反，可用搂光波来激治发离子晶辅体中的这蓬种长波振纠动。0q波矢空间呼中，晶格锤振动模式（代表杯点）均匀分南布。晶格的独毛立振动模们式数等于2N，等于携晶体的授自由度正数。色散关系中一组对应一种格波，或振动模式。周期性每边界条丙件限制小结：有N种取值一维复式晶格中原子振动的特解是格波0q称为声频支，相应的格波称为声学波0q声学波描春述相邻原袄子振动方忠向相同的据格波，振皱动频率较迟低。称为光频支，相应的格波称为光学波光学波猫描述相异邻原子傅振动方碰向相反徒的格波誉，振动司频率较筋高。一维晶劫格振动捡小结：1、简谐克近似和转最近邻超原子作盏用近似原子之传间的作污用力近博似为弹吴性力，态且只受哑到最近鼠邻原子猫作用。2、一维晶命格中原子神振动的特益解是格波布拉菲晶信格：复式晶前格：

一组确定的决定一种格波，或振动模式。3、格波校的具体酱模式由边色散关递系确定一维布拉菲晶格0q0q一维复若式晶格第一布宣里渊区欣（倒格惧子原胞杀）的范播围第一布梯里渊区贿内波矢费点均匀抗分布，活波矢点险的取值波矢点的侨取值个数崖（原胞数），晶格惰的振动模林式数（自由度繁数）,色散关系忙支数（原胞内自色由度数）对于实茫际三维袖的晶体忠，上述神的分析放方法和打结论是胁普适的信。三维情形解下，若基绩由n个原子症组成，音原胞内往的原子哨共有3n个自由土度，因发而存在3n种色散计关系。其中3支为声坊频支；3(n婆-1)支为光牧频支。三、三检维晶格金刚石[110]方向的色散关系原胞内含原子数原胞数q数总的自由度数格波数声学格波数光学格波数单原子链双原子链三维晶体12nNNNNNNN2N3nNNN3N0N3(n-1)N格波数钳与晶体嚷的维数礼及晶胞忽内原子商数的关藏系§3.碑4晶格热容辈及其理论鸦模型所有简单固体都具有相同的热容：一、经寒典的杜园隆-珀蒂定仆律室温下，尝大多数固改体的实验贫数据接近枕杜隆-珀蒂值材料300K铅26.9铟26.8铂25.9银25.5锌25.5金25.3铜24.5铝24.3趋向于实验表明遥，1）某些裁固体的必热容小厚于杜隆-珀蒂值秋；2）固体热限容随着呜温度降叼低逐渐受减小，寺并在绝爪对零度处假趋于零压。二、晶坚格热容秆的量子塞理论1）根据量子统计理论，声子是玻色子，由玻色分布知，温度为T时，角频率为的声子数为：由3N个谐振子组成的晶格系统，其总能量为：2）频率为的谐振子能量为：称为频率分布函数，表示单位频率间隔内的振动模式数。

谐振子数近似处理：1）取值的密集性可将求和近似用求积分代替；2）忽略零点振动能量3）整个晶格振动对应的内能为：4）晶格振动的内能可用积分求出：5）与原子的晶格振动对应的热容二、爱因役斯坦模型假设：晶格包含N个原胞、每个原胞内包含n个原子，共有种振动模式，每个振动模式都具有相同的振动频率，爱因斯坦模型的频率分布函数：爱因斯坦模型的色散关系称为爱因斯坦比热容函数其中爱因斯坦特征温度热容：内能：①高温区HE与经典的实验结论相符②低温区HE讨论：与实验定性相符低温下，与的实验结论有差异爱因斯坦模型的缺陷：爱因斯坦模型的色散关系三、德拜直模型假设：晶格振动的频率与波矢成正比(C为常数)即将晶体傅看成是各避向同性的糊连续介质踢，把晶格受振动看成量是连续介蝇质中传播因的弹性波马。德拜模型的色散关系德拜模型的频率分布函数：内能：热容：其中德拜温度德拜频率②低温区与固体的嗓低温比热碌容相符德拜模写型的局甜限性：在短波部约分与实验叮结果不符讨论：①高温区与经典的实验结论相符德拜模型的色散关系四、频怒率分布凡函数（葵模式密旧度）1)在波矢空间，晶格振动模式是均匀分布的——表示单位频率间隔中晶格振动的模式数。频率分布函数的定义：对于三维情形，分布密度为晶体体积二维晶格模式的分布密度为：一维晶格模式分布密度为：q空间内，频率为的模式所占体积dq——表示两等债频面间的垂直距述离dsdqds——为面积元——两等频面间的体积2）求频率在范围内的模式数其中表示色散关系的斜率又因为积分对q空间的等蜜频面进行泳。3）求频率分布函数(三维)(二维)(一维)例：德拜模型中假设(C为大于0常数)空间中的等频面为球面，半径为晶体铜的慎实际模式净密度与德暮拜近似模才式密度的袭比较例：

是一种常见的色散关系，

在三维情形，空间中等频率面为球面，半径为二维情形：一维情形：简单立钱方晶格根据倒格余子基矢定起义1.6对于简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系，面间距满足倒格子诱矢量晶面族的面间距倒格子拼基矢3.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：证明：频率分布函数三维晶格馅振动的态果密度dq间隔内慎的状态认数对两边微分得到将dq和代入得到时为虚数，有方法2振动模驱式密度驾函数——对于q空间的等烘频率面，淋波矢q为常数已知三维负色散关系因为对于光学波，在处振动频率具有最大值频率分泳布函数1、有N个原胞组完成的晶格助常数分别牲为a和b的一维双翁原子链的勒布里渊区葡范围是___后___淡___盲___；布里丧渊区内什格波波刑矢的取忠值为___行___历___，取值数碑目为____组__；格波在模式数洲目为___谱___删___板_。2、什么是躲声学波，渗什么是光倚学波？写窗出长声学还波和长光丙学波的振闪动特点？双由N个硅原灿子组成潜的晶体孟硅中声府学波和敏光学波坡数量各系有多少辅？1.晶格中白原子的肌微振动