2022-2023学年江西省吉安市高二年级下册学期第一次段考数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省吉安市高二下学期第一次段考数学试题一、单选题1．在等差数列中，已知，，则公差等于（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式即可得解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，可得，故选：C.2．已知是等比数列，且，则（

）A．16 B．32 C．24 D．64【答案】A【分析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】，得故选：A3．已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【答案】B【分析】根据题意每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列，结合等比数列通项公式计算．【详解】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第天的蜜蜂数第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数故选：B．4．若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（

）种．A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】利用分步乘法原理、排列组合数以及不均匀分组的方法进行求解.【详解】第一步，先安排2名男生，有种排法；第二步，安排5名女生：第1种情况，5名女生分两组，一组1人，一组4人，有种分法，第2种情况，5名女生分两组，一组2人，一组3人，有种分法，所以5名女生分两组去两地参加志愿者活动共有：种排法，所以，总共有种分配方案.故A，B，D错误.故选：C.5．若定义域为R的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，结合各选项的信息构造函数，利用导数探讨函数单调性即可判断作答.【详解】令函数，求导得，因此函数在R上单调递增，于是得，即，整理得，B正确.故选：B6．我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（

）A．B．7阶幻方第4行第4列的数字可以为25C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396【答案】D【分析】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为，且n为奇数时，n阶幻方行列的数字为该数列的中间值.【详解】根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有项，为首项为1，公差为1的等差数列，故，每行、每列、每条对角线上的数的和均为.对A，，A对；对B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即，B对；对C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，C对；对D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为，D错.故选：D7．设则a，b，c之间的大小关系式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】，构造函数，得，由得时，知在区间上是增函数，于是，即.故选：B．8．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，进而考虑与的交点，分，，，，五种情况讨论求解即可.【详解】设，则，令，得，我们先来考虑与的交点，令，当时，与只有1个交点，交点横坐标，此时有1个零点；当时，与只有2个交点，交点横坐标，此时有3个零点.当时，与只有3个交点，交点横坐标，此时有5个零点.若与相切时，设切点，所以，切线斜率，解得，故当时，与没有交点，没有零点.当时，与有2个交点，交点横坐标，此时有2个零点.故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元，将问题转化为直线与的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．等差数列的前项和为，则，，成等差数列B．数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值只能为13C．等差数列的前项和记为，若，，则当且仅当时，D．正数等比数列前项积为，若，则【答案】AD【分析】对于选项A，方法1运用等差数列前n项和基本量及等差中项法证明即可，方法2：运用等差数列依次n项的和仍为等差数列；对于选项B，方法1：由数列的正负项来判断，方法2：利用等差数列的前项和最大时项数的求法来判断；对于选项C，运用等差数列的等和性及等差数列的前n项和来判断；对于选项D，利用等比数列的等积性质判断.利用等差数列的性质判断AC，B，利用等比数列的性质判断D.【详解】对于选项A，方法1：∵等差数列，设首项为，公差为，∴，，，∴，，∴∴，，成等差数列.故选项A正确；方法2：等差数列的性质，若为等差数列，则，，，成等差数列.故选项A正确；对于选项B，方法1：∵数列的通项公式，∴，，∴数列是首项为24，公差为－2的等差数列，当时，且，当时，且，所以当或时，取得最大值.故选项B错误；方法2：∵数列的通项公式，∴，，∴数列是首项为24，公差为－2的等差数列，∴，∴要使此数列的前项和最大，则的值为12或13，故选项B错误；对于选项C，∵为等差数列，，∴，即，∵，∴，，∴，，∴当时，.故选项C错误；对于选项D，∵正数等比数列前项积为，若，则，故选项D正确.故选：AD.10．以下结论正确的是（

）A．具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点；B．相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强C．已知随机变量服从二项分布，若，，则D．设服从正态分布，若，则【答案】BCD【分析】根据回归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D.【详解】对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误；对于B，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确；对于C，因为随机变量服从二项分布，且，，则，解得：，故选项C正确；对于D，若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，若，则，所以，故选项D正确.故选：.11．已知是函数的一条切线，则实数的值可以为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】根据的切线过原点求得切点的横坐标，结合导数求得的可能取值.【详解】设是函数图象上的一点，，所以在点的切线方程为①，直线过原点，由①令得，，所以或，当时，，当时，，综上所述，的可能取值为.故选：ABD12．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．， B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切【答案】AB【分析】根据“拐点”的定义与的对称中心，建立方程求出可判断A，再由导数与函数单调性的关系即可判断的极值，从而判断B，根据的单调性及的极值可判断C，根据导数的几何意义求出的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断D.【详解】，，，即，解得，故A正确；，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以既有极大值又有极小值，故B正确；由选项B可知在与处取得极大值与极小值，又，，即的极大值与极小值大于0，所以函数不会有3个零点，故C错误；设切点为，则切线方程为，又切线过，则，化简得，即，解得或，即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.故选：AB.三、填空题13．数列满足，前12项和为243，则___________.【答案】7【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】解：，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，即，解方程得.所以，故答案为：.14．的展开式中的系数为___________.（用数字作答）【答案】【分析】由展开式的通项得出的展开式中含的项，进而得出系数.【详解】展开式的通项为，则的展开式中含的项为，即的展开式中的系数为故答案为：15．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为___________.【答案】2022【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果.【详解】由于函数为奇函数，则，即，所以，所以，所以，因此数列的前2022项和为，故答案为：202216．已知函数，若对，都有成立，则实数a的最大值为___________．【答案】【分析】将变形为，令，则函数在上单调递减，即在上恒成立，转化为最值问题即可.【详解】，，由得，整理得，令，则函数在上单调递减，即在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，，实数a的最大值为故答案为：.四、解答题17．已知数列满足(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，故当时，，上述两式相减，得，所以，又可得，符合上式，所以；（2）由（1）可得，则.18．高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．成绩不低于135分成绩低于135分总计参加过培训401050未参加过培训203050总计6040100(1)能否有的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．参考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．(2)【分析】（1）根据表中数据和参考公式代入计算并与比较即可得出结论；（2）由分层抽样可知参加过培训的有4人，未参加过的有2人，列举出6人中随机抽取2人的所有基本事件，再选出符合条件的事件数即可求得结果.【详解】（1）根据列联表代入计算可得：，所以有的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关．（2）由题意可知，所抽取的6名学生中参加过“强基培优”拓展培训的有4人，记为，，，，未参加过“强基培优”拓展培训的有2人，设为．从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中至少有一人未参加过培训的基本事件有，，，，，，，，，共9个．故至少有一人未参加过培训的概率．19．已知函数.(1)当时，求在点的切线方程；(2)若曲线有两条过点的切线，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由导数的几何意义与直线方程的点斜式求解即可；（2）设切点为，由题意可得有两个不等的实根，由此即可求解【详解】（1）当时，切点为，切线斜率切线方程为，即（2）设切点为，由知：，整理得①因为过点的切线有两条，所以①式有两个不等实根所以有，即20．已知数列中，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.【答案】(1)证明见解析，；(2)4.【分析】（1）构造，根据等比数列的定义及通项公式即可求解；（2），利用错位相减法求出，故成立的自然数恰有4个，当时，不等式显然成立，故当时，不等式成立的自然数恰有2个.令，根据其单调性即可求解.【详解】（1）因为，所以，又，所以是等比数列，，所以；（2），所以，，两式相减，得，所以，因为成立的自然数恰有4个，即成立的自然数恰有4个，由于为正整数，当时，不等式显然成立，故当时，不等式成立的自然数恰有2个，即成立的自然数恰有2个，令，则，所以严格减，所以，且，解得，故正整数的值为4.21．第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．①试证明：为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)①证明见解析；②【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；方法二：判断，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；②由①求出，比较其大小即可.【详解】（1）方法一：的所有可能取值为，在一次扑球中，扑到点球的概率，所以，，所以的分布列如下：0123方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，所以，故的分布列为：0123所以的期望．（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为