2022-2023学年天津市河东区天铁高二年级上册学期阶段性检测数学试题【含答案】

2022-2023学年天津市河东区天铁高二上学期阶段性检测数学试题一、单选题1．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为.故选：B2．设函数是函数的导函数，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A3．有4人站成一排，若甲、乙两人关系好而相邻，则不同的排法种数共有（

）A．256 B．24 C．12 D．8【答案】C【分析】由题意，相邻问题利用捆绑法即可求解.【详解】解：因为甲、乙两人关系好而相邻，所以利用捆绑法可得有种不同的排法，故选：C.4．若函数，则的单调增区间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.【详解】函数的定义域为，又，令，得，所以的单调增区间为，故选：C.5．已知函数的图像在点处的切线方程是，那么（）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】利用切线方程求得，根据导数的几何意义可求得，即可求得答案.【详解】由题意函数的图像在点处的切线方程是，则，，故，故选：D6．已知，若，则（

）A． B． C． D．e【答案】B【分析】求的导数，代入导数值即可求解.【详解】因为．所以，由，解得e．故选：B.7．高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（

）A．42种 B．96种 C．120种 D．144种【答案】C【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，所以课程编排方案共有种，故选：C.8．定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（

）A．只有三个极大值点，无极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点 D．无极大值点，只有三个极小值点【答案】C【分析】如图所示，三个交点对应的横坐标为，，根据图像得到函数的单调区间得到答案.【详解】如图所示：三个交点对应的横坐标为，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故函数有一个极大值点，两个极小值点.故选：.【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用，9．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（

）A．108 B．36 C．9 D．6【答案】C【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.【详解】由题可知中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；所以不同放法共有种.故选：C.二、填空题10．已知双曲线，则双曲线的焦距是________【答案】【分析】根据双曲线的标准方程求出即可求出.【详解】已知双曲线，即，则，.所以双曲线的焦距为.故答案为：.11．已知，则正整数___________.【答案】6【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.【详解】由题意，，得.故答案为：6.三、双空题12．的展开式中的系数为_______，展开式中二项式系数和为_____________【答案】【分析】写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得，展开式中二项式系数和为，即可得解.【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的系数为，展开式中二项式系数和为.故答案为：；四、填空题13．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：3614．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．【答案】【分析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.【详解】由题设，，又在R上的单调递增函数，∴恒成立，令，则，∴当时，则递减；当时，则递增.∴，故.故答案为：.15．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为____________．【答案】【分析】由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.【详解】，当时，，函数为减函数；当时，，，和时，单增，时，单减，，，故的图象大致为：令，则，，当时，，，无零点；当时，，，无零点；当时，，，，则，要使恰有4个不同的零点，则，即.故答案为：五、解答题16．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程(2)已知函数在点处有极小值，试确定，的值【答案】(1)(2)，【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式求出切线方程；（2）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可，再进行检验.【详解】（1）因为，所以，，则，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）因为，所以，依题意可得，即，解得，经检验在处取得极小值满足题意.17．已知函数．（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的极值．【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析【分析】（Ⅰ）求出的导数，求出切线方程，然后求解a即可．（Ⅱ）求出，通过①当2a≤1，即时，②当2a≥2，③当1＜2a＜2，判断导函数的符号，函数的单调性，然后求解函数的极值．【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，所以.因为在处的切线方程为.所以，解得.（Ⅱ）因为，，所以，①当，即时，在恒成立，所以在单调递增；所以在无极值；②当，即时，在恒成立，所以在单调递减，所以在无极值；③当，即时，变化如下表：-0+单调递减↘极小值单调递增↗因此，的减区间为，增区间为．所以当时，有极小值为，无极大值.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．18．已知展开式中所有二项式系数的和为256，且满足.求：(1)和的值(2)(3)【答案】(1)，(2)1(3)【分析】（1）根据二项式系数的和得出值，令，求出的值；（2）令，即求得结果；（3）由求出展开式的通项，再求出得出结果.【详解】（1）已知展开式中所有二项式系数的和为256，则，解得.所以，令，即，则.所以，（2）令，即，则.（3）的展开式的通项为，，，，，，所以.19．设函数（其中）．（1）求函数的极值；（2）求函数在上的最小值；（3）若，判断函数零点个数．【答案】（1）极小值，不存在极大值；（2）见解析；（3）1个．【分析】（1）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性和极值；（2）讨论与单调区间的关系进行求解；（3）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性和极值，通过单调性和极值的符号判定函数的零点个数．【详解】（1），由得，由得，在单调递增，在单调递减．极小值，不存在极大值．（2）由（1）知，在单调递增，在单调递减．当时，在单调递减，单调递增，∴．当时，在单调递增，；（3）由题意求导得，由得或，由得所以在上单调递增，在上单调递减当时，，故函数只有一个零点．20．已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【详解】（1），

①时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；

②当时，令，解得，当时，；当，．所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

在区间上的极小值为，无极大值．（2）由题意，，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，

令，则，令，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增，函数．

要使对于恒成立，只要，所以，即实数k的取值范围为．（3）证法1因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．不妨设