辽宁锦州高一数学下册期末考试试卷（答案解析版）

辽宁省锦州市-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在区间S上随机选取一个数日，则国的概率为（）

A.@B.[c.gD.g

【答案】C

【解析】

【分析】

根据几何概型概率公式直接求解可得结果.

【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率[x]

本题正确选项：0

【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.

2.为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最

近的目次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是a

则下列说法正确的是（）

A.国，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛

B.回，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛

C.国，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛

D.可，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛

【答案】D

【解析】

【分析】

由茎叶图数据分别计算两组的平均数；根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定；由平均数和

稳定性可知应选乙组参赛.

r^i

a乙组的数据集中在平均数附近凶乙组成绩更稳定

日应选乙组参加比赛

本题正确选项：a

【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识，属

于基础题.

3.已知随机事件日和日互斥，且1x1.则匹।()

A.□B.SC.SD.S

【答案】D

【解析】

【分析】

根据互斥事件的概率公式可求得a,利用对立事件概率公式求得结果.

【详解】国与日互斥■—■

本题正确选项：3

【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.

4.等差数列□的首项为工公差不为可，若目成等比数列，则数列□的前日项和为

()

A.aB.sc.aD.a

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比中项定义可得目;利用国和日表示出等式，可构造方程求得日；利用等差

数列求和公式求得结果.

【详解】由题意得：目

设等差数列s公差为目，则■—■

即：I=■，解得：EBJ

本题正确选项：日

【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等比中项、等差数列前目项和公式的应用;

关键是能够构造方程求出公差，属于常考题型.

5.在日中，内角目所对的边分别为臼.若1—・，则角日的

值为（）

A.B.3C.3D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理将边化角，可得IX■,由IX・可求得回，根

据目的范围求得结果.

【详解】由正弦定理得：I—=■

I■I■

「工一］r^~ix

本题正确选项：a

【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱

导公式的应用，属于基础题.

6.已知等差数列0的前回项和为因.且目，则IX|()

A.aB.0c.aD.g

【答案】c

【解析】

【分析】

根据等差数列性质可知日，求得目，代入可求得结果.

日详解][■日

[X■

本题正确选项：a

【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质，属于基

础题.

7.已知日区]，则㈢()

A.目B.冈C.QD.因

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同角三角函数关系可求得口；由二倍角的正切公式可求得结果.

【详解】，叵]|x]

本题正确选项：a

【点睛】本题考查二倍角的正切公式、同角三角函数关系的应用，属于基础题.

8.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，

有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模

拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生m到日之间取整数值的随机

数，分别用上日，3,日代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数

为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下回组随机数：

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为()

A.§B.0C.0D.日

【答案】C

【解析】

【分析】

由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个.依次判断每个随机数即可.

【详解】由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个，.•.满足条件的随机数

为142,112,241,142,故恰好第三次就停止摸球的概率为区|.

故选：C

【点睛】本题考查古典概型，熟记古典概型运算公式日关键，是中档题，也是易错题.

9.等差数列叵］的前日项和为冈.若，则国()

A.aB.aC.3D.s

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等差数列片段和成等差数列，可得到1X■，代入求得结果.

【详解】由等差数列性质知：□,国，国，国成等差数列

I=~~=■,即：IX|

本题正确选项：a

【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的

关系，属于基础题.

10.赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图,

若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为三，则勾与股的比为（）

A.0B.C0以0

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为日，从而构造方程可求得结果.

【详解】由图形可知，小正方形边长为a

四小正方形面积为：目，又大正方形面积为：3

,即：

解得：

本题正确选项：R

【点睛】本题考查儿何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方

程.

11.已知函数[■的最小正周期为回，若\X■

则叵]的最小值为（）

A.3B.gC.0D.日

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦型函数的最小正周期可求得回，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；

根据「二1可知田和日必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利

用整体对应的方式可构造方程组求得[x],Ix|；从而可知

1X1时取最小值.

【详解】由a最小正周期为日可得：S闫IX|

IX1,IX■

I・LEJ和目分别为3的最大值点和最小值点

设a为最大值点，a为最小值点

EH3「T

当W3时，IXI

本题正确选项：日

【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的

求解；关键是能够根据函数的最值确定日和可为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.

12.在日中，Ix।,日是边叵）的中点.因为国所在平面内一点且满

足则目的值为（）

A.B.3C.0D.

【答案】D

【解析】

【分

根据平面向量基本定理可知,将所求数量积化为

IX|;由模长的等量关系可知皿和闫为等腰三角形，根据三线合

一的特点可将日和日化为叵I和叵I,代入可求得结果.

【详解】臼为叵］中点

IXI日和1为等腰三角形

,同理可得:

本题正确选项：回

【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形,

从而将含夹角的运算转化为己知模长的向量的运算.

二、填空题（将答案填在答题纸上）

13.长时间的低头，对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”

的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的a人中采用分层抽样的方法抽取a人

进行调查，已知这a人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人

人数为

【答案】3

【解析】

【分析】

根据饼状图得到青年人的分配比例；利用总数乘以比例即可得到青年人的人数.

【详解】由饼状图可知青年人的分配比例为：1一■

臼这个群体里青年人的人数为：I=1人

本题正确结果：3

【点睛】本题考查分层抽样知识的应用，属于基础题.

14.若向量」一■,则EEJ与日夹角的余弦值等于—

【答案】3

【解析】

【分析】

利用坐标运算求得目；根据平面向量夹角公式可求得结果.

［详解］

本题正确结果：田

【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模

长的乘积.

15.I■

【答案】3

【解析】

【分析】

将回写成口，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为|x|,利用

二倍角公式可变为r^i，由IX■可化简求得结果.

详解

本题正确结果：3

【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、

二倍角公式的应用.

16.已知数列0的首项a，r^i.若对任意

国，都有目恒成立，则臼的取值范围是—

【答案】3

【解析】

【分析】

代入国求得可，利用递推关系式可得r^i,从而可证得a和3均为等差

数列，利用等差数列通项公式可求得通项;根据恒成立不等式可得到不等式组:□

解不等式组求得结果.

1详解】当日时，I内I,解得：।■

由IxI得：I■Ix|

E是以因为首项，目为公差的等差数列；3是以因为首项，目为公差的等差数列

\XI恒成立I,解得：日

即日的取值范围为：叵I

本题正确结果：a

【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，关键是能够根据递推关系式得到

奇数项和偶数项分别成等差数列，从而分别求得通项公式，进而根据所需的单调性得到不等

关系.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数［.

（1）求自在区间3上的单调递增区间；

（2）求目在叵］的值域.

【答案】⑴区|和区|.⑵□

【解析】

【分析】

（1）利用辅助角公式可将函数化简为［x|；令

［■可求出S的单调递增区间，截取在3上的部分

即可得到所求的单调递增区间；（2）利用H的范围可求得区|的范围，对应正弦函数的图

象可求得目的范围，进而得到函数的值域.

［详解］（1）「・

令I,解得：IXI

令国，可知叵］在区］上单调递增

令国，可知叵］在S上单调递增

-1在a上的单调递增区间为：叵］和区I

（2）当国时，I—IIx|

即日在区）的值域为：□

【点睛】本题考查正弦型函数单调区间和值域的求解问题；解决此类问题的常用方法是采用

整体对应的方式，将目整体对应正弦函数的单调区间或整体所处的范围，从而结合正弦

函数的知识可求得结果.

18.已知目为等边角形，LnJ.点IHJ满足InI，IxI,目

设r^~i.

日试用向量回和可表示目;

回若目,求a的值.

【答案】（1）।x・；［1］；（2）g.

【解析】

【分析】

（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为

［■:根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于

回的方程，解方程求得结果.

【详解】（1）

(2)

日为等边三角形且0[X]

即:,解得：

【点睛】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为己

知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.

19.设目是正项等比数列□的前日项和，已知a,।】

（1）求数列s的通项公式；

（2）令【X],求数列叵]习前日项和日.

【答案】⑴回；（2）I1・

【解析】

【分析】

（1）设正项等比数列0的公比为目，当叵]时，可验证出a,可知s；

根据[X1可构造方程求得目，进而根据等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）

可得3,采用错位相减法即可求得结果.

【详解】（1）设正项等比数列s的公比为目

当日时，r^i,解得：S，不合题意目

由mi得：「X】,又国

整理得：I—■，即Ix■，解得：a

(2)由(1)得:

…①

…②

①对②得:

IX■

【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前H项和；关键是能够得

到数列的通项公式后，根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果，对学生的计

算和求解能力有一定要求.

20.智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从

a名手机使用者中随机抽取a名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图

（如图所示），其分组是：1—I,1一■

颖率闻即

0.015

0.0125

0.01

出使/曲间份钟

（1）根据频率分布直方图，估计这H名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？（精

确到整数）

（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？（同一组中的数据以这组数据所在区间中

点的值作代表）

（3）在抽取的国名手机使用者中在国和㈤中按比例分别抽取日人和百人组成研

究小组，然后再从研究小组中选出团名组长.求这日名组长分别选自国和S的概率

是多少？

【答案】⑴回分钟.（2）58分钟；⑶]

【解析】

【分析】

（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘

积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据

古典概型概率公式求得结果.

【详解】（1）设中位数为回，则■—一—

解得：目（分钟）

臼这H名手机使用者中使用时间的中位数是0分钟

（2）平均每天使用手机时间为：_____-~~=_■（分

钟）

即手机使用者平均每天使用手机时间为H分钟

（3）设在国内抽取的两人分别为回，在国内抽取的三人分别为目，

则从五人中选出两人共有以下四种情况：

两名组长分别选自口和国的共有以下习种情况:

日所求概率国

【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关

键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为

列举法，属于常考题型.

21.如图，在四边形目中，已知目，三|

I)

B

(i)若目,且三］的面积为回，求日的面积:

（2）若,求a的最大值.

【答案】⑴s;(2)3

【解析】

【分析】

（1）根据可解出回，验证出WI,从而求得所

求面积；（2）设IX1,在日中利用余弦定理构造关于a的方程;

在国中分别利用正余弦定理可得到日和日，代入可求得a；根据三角函数

最值可求得a的最大值，即可得到结果.

【详解】（1）由得：目

J，即户一|IXI

(2)设I-I

在日中，由正弦定理得:…①

由余弦定理得:…②

在日中，由余弦定理得:

将①②代入整理得:

，即叵］时，