九年数学第十一章导学案

第十一章：全等三角形导学案

11.1《全等三角形》导学案

【使用说明与学法指导】

1.课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过15分钟。

2.组内探究、合作学习完成《课内探究》不超过20分钟。

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。

4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。

5.带*的题要多动脑筋，展示你的能力。

一、学习目标：

1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。

2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。

3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养大家的符号意识。

二、重点难点：运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。

三、学习过程

《课前预习案》

（一）、自主预习课本2—3页内容，回答下列问题：

1、能够的图形就是全等图形，两个全等图形的—

和.__完全相同。

2、一个图形经过_、._、.一后所得的图形与原图形

3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做,重合的

边叫做，重合的角叫做。“全等”用“”表示，读作

5、全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。

(二)、练一练

1.如图，△ABCgZ\CDA,AB和CD,BC和DA是对应边。写出其他对应边及对

应角。

2如图，△ABNgZ\ACM,ZB和NC是对应角，AB

与AC是对应边。写出其他对应边及对应角。

(三)、我的疑惑

《课内探究》

1.如图△EFGg/kNMH,NF和NM是对应角.在△EFG中，FG是最长边.

在△NMH中，MH是最长边.EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm.

(1)写出其他对应边及对应角.

(2)求线段MN及线段HG的长.

2.如图，AABC^ADEC,CA和CD,CB和CE是对应边.ZACD和NBCE相等吗？

为什么?

C

3.本节课小结(我的收获)

(1)知识方面：

(2)学习方法方面：

《课后训练》

1.如图所示,若△OAD名△OBC,Z0=65°,ZC=20°,则N0AD=

第1题图第2题图

2.如图，若△ABCg/XDEF,回答下列问题：

(1)若△ABC的周长为17cm,BC=6cm,DE=5cm,则DFcm

(2)若NA=50°，ZE=75°,贝ijNB=

3.如图，AAOB^ACOD,那么NABD与NCDB相等吗？为什么？

*4.如图：RtAABC中，ZA=90°,若AADBg

△EDB^AEDC,则NC=

CEB

憾：《11.2三角形全等的判定》（SSS）导学案

【使用说明与学法指导】：

1.学生利用自习先预习课本第6、7页完成《课前预习案》（15分钟）。

2.组内探究、合作学习完成《课内探究》（20分钟）

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。

4.积极投入，激情展示，做最佳自己。

5.带*的题要多动脑筋，展示你的能力。

【学习目标】1、能自己试验探索出判定三角形全等的SSS判定定理。

2、会应用判定定理SSS进行简单的推理判定两个三角形全等

3、会作一个角等于已知角.

【学习重点】：三角形全等的条件.

【学习难点】：寻求三角形全等的条件.

【学习过程】：

《课前预习案》

一、自主学习

1、复习：什么是全等三角形？全等三角形有些什么性质？

如图，△ABC名△DCB那么

相等的边是：____________________________________

相等的角是：___________________________________

2、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）

（1）.只给一个条件：一组对应边相等（或一组对应角相等）,画出的两个三角形一定全等

吗？

（2）.给出两个条件画三角形，有__种情形。按下面给出的两个条件，画出的两个三角形

一定全等吗？

①一组对应边相等和一组对应角相等

②两组对应边相等

③两组对应角相等

（3）、给出三个条件画三角形，有__种情形。按下面给出三个条件，画出的两个三角形一

定全等吗？

①三组对应角相等

②三组对应边相等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗？把你画

的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

a.作图方法：

b.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现,这说明这些三角形都是

_____的.

c.归纳：三边对应相等的两个三角形,简写为“”或“

d、用数学语言表述：

在aABC和ZVVB'C冲，八A

：.△ABC也

用上面的规律可以判断两个三角形.“SSS”是证明三角形全等的一个依据.

《课内探究》

1、［例］如图，ZXABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.

求证：ZXABD丝4ACD.

证明：是BC

,在△,和4中

CAB=

jBD=_

〔AD=_

.♦.△ABDAACD()

温馨提示：证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。

A

2、如图，OA=OB,AC=BC.J?

求证：ZA0C=ZB0C.

3、尺规作图。

已知：ZAOB.求作：NDEF,使NDEF=NAOB

o

4.本节课小结(我的收获)

(1)知识方面：

(2)学习方法方面：

三、课堂巩固练习.

1、如图，AB=AE,AC=AD,BD=CE,求IEAABCgADE»

2、已知：如图，AD=BC,AC=BD.求证：ZOCD=ZODC

《课后训练》

1、下列说法中，错误的有()个

(1)周长相等的两个三角形全等。(2)周长相等的两个等边三角形全等。(3)有三个角对

应相等的两个三角形全等。(4)有三边对应相等的两个三角形全等

2.如图，点:B、E、C、F在同-一直线上，且AB=DE,AC=DF,BE=CF,请将下面说明AABC

丝ADEF的过程和理由补充完整。

*AB=()

■=DF()

.BC=__________

AABC丝△DEF()

3.如图，已知AB=DE,BC=EF,AF=DC,则NEFD=NBCA,请说明理由。

*4.如图，在△4BC中，AB=AC,。是BC的中点，点E在上，找出图中全等的三角形,

并说明它们为什么是全等的.

BDC

课题：《11.2三角形全等的判定》（SAS）导学案

【使用说明与学法指导工

1.学生课前预习课本第9页完成（自主学习1、4）

2.组内探究、合作学习完成（探究一、探究二）

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。

4.积极投入，激情展示，做最佳自己。

5.带*的题要多动脑筋，展示你的能力。

【学习目标】

1、掌握三角形全等的“SAS”条件，能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入，激情展示，做最佳自己。

教学重点：SAS的探究和运用.

教学难点：领会两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）

的内容是什么？

（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应

相等；两角和•边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研

究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种

情况。

2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？

（1）动手试一试

已知：4ABC

求作：M'B'C',使A'8'=A6,B'C'=BC,NA'=NA

⑵把△A'8'C'剪下来放到aABC上，观察△48'。与△ABC是否能够完全重合？

（3）归纳：由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）

（4）用数学语言表述全等三角形判定（二）

在ZXABC和AA'BV中,

AB=A'B'

■：<ZB=AABC^

BC=

3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？

通过画图或实验可以得出：_____________________________________________________

4.例题学习例2如图11.2-6,有一塘，要测

塘两端八，B的距离，可先在平地上取

一个可以直接到达八和B的点C,连接八C

并延长到D,使CD-CA.连接BC并延长

到E,使CE—CB.连接DE,那么量出

DE的长就是八，B的距离.为什么？

（再次温馨提示：证明的书写步骤：

①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。）

5.我的疑惑:

二、学以致用

练习

1.如图.两车从南北方向的路段AB的一培A出发，分别向东，向西行•选相同的

距高.到达C,D两地.此时C,D到B的距再相等吗？为什么？

2.如图，点E,F在BC上.BE=CF.AB=DC,NB=/C.求证/A=/D.

三、当堂检测

1、如图，AD1BC,D为BC的中点"那么结论正确的有

A、AABD^AACDB、ZB=ZCC、AD平分NBACD、△ABC是等边三角形

2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到aAOC名Z\BOD

（允许添加一个条件）

如图.AB=AC,AD=AE.求证

*四、能力提升：（学有余力的同学完成）

如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点,求证:DM=DN

五、课堂小结

1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“”或“"

2、到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的2种方法，它们分别是:和

六、作业：第15页习题11.23-4第16页第10题

课题：《11.2三角形全等的判定》（ASA、AAS）导学案

使用说明：学生利用自习先预习课本第11页-12页10分钟，然后35分钟独立做完学案。正

课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点

拨、拓展。

【学习目标】

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件，解决简单的

推理证明问题

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。

教学重点：已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点：灵活运用三角形全等条件证明.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

(1).到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

(2).在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知

两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？

2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？

(1)动手试一试。

已知：4ABC

求作：△A'8'C',使N8'=/B,NC'=NC,B'C'=BC,(不写作法，保留作图痕迹)

⑵把△A'8'C'剪下来放到AABC上，观察△A'B'C'与AABC是否能够完全重合？

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定(三)：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形

(4)用数学语言表述全等三角形判定(三)

在△ABC和中,

'NB=NB，

：(BC=二Z\ABC丝

NC=

3,探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等

(1)如图，在AABC和4DEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,AABC与ADEF全等吗？能利

用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？

(2)归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定(四)：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形(可以简写成“”或

“，，X

(3)用数学语言表述全等三角形判定(四)

在AABC和A/V8V中，

Z4=NA'

N8=.♦.△ABC组

1,例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.

求证:AD=AE.

2.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE1AC,CD±AB,AB=AC,求

证：BD=CE

三、学以致用

1.如困.要测量池塘两片相对的两点A.B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点

C,D,itBC=CD.再展出BF的杀畿DE,使E与A,C在一条jL战上，这

时测得DE的长就是AB的长.为什么？

（M1H）<M20>

2.如图.AB±BC,ADJ_DC,Z1=Z2.求证AB=AD.

3,如图，在AABC中，NB=2NC,AD是AABC的角平分线，N1=NC,求证AC=AB+CE

1

C

Bn

四、课堂小结

(1)今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是:

(2)三角形全等的判定方法共有____________________________________

五、课后检测

1、如图./1=N2,N3=N4.求SEAC=AD.

2、如图，点B.F.C.E在一条直统上，FB=CE,AB//ED,AC//FD.求证

AB=DE.AC=DF.

3、如上页图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=

FE,FC//AB.AE与CE有什么关？证明你的结论.

4.满足下列哪种条件时，就能判定AABC丝4DEF()

A.AB=DE,BC=EF,NA=NE;B.AB=DE,BC=EF,NC=NF

C.ZA=ZE,AB=EF,ZB=ZD;D.ZA=ZD,AB=DE,ZB=ZE

5.如图所示，己知NA=/D,N1=N2,那么要

得到△ABCgADEF,还应给出的条件是：()

D

2

B

A.ZB=ZEB.ED=BC

C.AB=EFD.AF=CD

6.如6题图，在aABC和ADEF中,AF=DC,ZA=ZD,

当____________时，可根据“ASA”证明△ABCg^DEF

课题：《11.2三角形全等的判定》（HL）导学案

使用说明：学生利用自习先预习课本第13、14页10分钟，然后35分钟独立做完学案。正

课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点

拨、拓展。

【学习目标】

1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；

2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；

3.极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

（1）、判定两个三角形全等的方法：、、、,A

⑵、如图，RtZ\ABC中，直角边是、,斜边是.

（3）、如图，AB_LBE于B,DE_LBE于E,

①若NA=ND,AB=DE,

则4ABC与aDEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

②若/A=ND,BC=EF,

贝IJ4ABC与ADEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

③若AB=DE,BC=EF,

贝IJ4ABC与（填''全等"或“不全等”）根据（用简写法）

④若AB=DE,BC=EF,AC=DF

则4ABC与ADEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，i

（1）动手试一试。

已知:RtAABC

求作：RtAA'5'C,使NC'=90°,A'B'=AB,B'C'=BC

作法：

（2）把△A'B'C'剪下来放到aABC上，观察△A'8'C'与aABC是否能够完全重合？

（3）归纳：由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）

（4）用数学语言表述上面的判定方法

在RtAABC和RtAA'3'C'中,

BC=B'C'

.,.RtAABC^RtA

AB

（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“

“"、""、""、还有直角三角形特殊的判定方法“—

二、合作探究

1、如图，AC=AD,ZC,ND是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？

2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AO与右边滑梯水平方向的长度DF相等,

两个滑梯的倾斜角NABC和/DFE的大小有什么关系？

三、学以致用

1、如图，AABC中，AB=AC,AD是高,

则4ADB与△ADC.（填“全等”或

根据.（用简写法）

2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（

A、两条直角边对应相等B、

C、斜边和一条直角边对应相等D、两个锐角对应相等

3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF_LBC于F,DE_LBC于E,

AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由

答：AB平行于CD

理由：*/AF±BC,DE±BC（己知）

...ZAFB=ZDEC-°（垂直的定义）

VBE=CF,.-.BF=CE

在RtA和RtA中

CZ3

)

/.=（）

二（内错角相等，两直线平行）

四、能力提升：（学有余力的同学完成）

如图1,E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE_LAC于E点,BF_LAC于F点若AB-CD,AF=CE,BD

交AC于M点。（1）求证：MB=MD,ME=MF;（2）当E、F两点移动至图2所示的位置时,其余条

D图1D

件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。

五、当堂检测

如图，CE±AB,DF1AB,垂足分别为E、F,

(1)若AC〃DB,且AC=DB,则4ACE丝△BDF,根据

(2)若AC〃DB,且AE=BF,则4ACE丝△BDF,根据

(3)若AE=BF,且CE=DF,则4ACE丝Z\BDF,根据

(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。则4ACE名ZXBDF,根据

(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),贝l]Z\ACEg/\BDF,根据

六、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

作业：第16页习题11.27-8第17页第13题

课题：《H.3角的平分线的性质》（1）导学案

使用说明：学生利用自习先预习课本第19页探究-第21页思考前10分钟，然后35分钟独

立做完学案。正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑

问的题目教师点拨、拓展。

【学习目标】

1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理.

2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：掌握角的平分线的性质定理

教学难点：角平分线定理的应用。

【学习过程】

一、自主学习A

1、复习思考

什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？

2.如右图，AB=AD,BC=DC,沿着A、C画一条射线AE,AE就是

/BAD的角平分线，你知道为什么吗

3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要

用大于LMN的长为半径画弧？

2

4.0C是NAOB的平分线，点P是射线0C上的任意一点,

操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDJ_OA,PELOB,点D、E为垂足，

测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写

出结论__________________

PDPE

第一次

第二次

第三次

5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

题设：一个点在一个角的平分线上

结论：这个点到这个角的两边的距离相等

结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性

解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？

6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：

如右上图，0C是/AOB的平分线，点P是

二、合作探究

1、如图所示0C是NAOB的平分线,P是0C上任意一点，问PE=PD?为什么?

2、如图：在AABC中，ZC=90°,AD是/BAC的平分线，DE_LAB于E,F在AC上，BD=DF；

求证：CF=EB

三、学以致用

在RtaABC中，BD平分/ABC,DEJ_AB于E,则

A

B

⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？

⑵哪条线段与DE相等？为什么？

⑶若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长利AAED的周长。

四、当堂检测

如图，在AABC中，ACXBC,AD为NBAC的平分线，DEXAB,AB=7cm,AC=3cm,求BE的

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

六、作业：

第22页习题H.31-2第23页第4-5题

课题：《11.3角的平分线的性质》(2)导学案

使用说明：学生利用自习先预习课本第21页8分钟，然后30分钟独立做完学案。正课由小

组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓

展。

【学习目标】

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：角平分线的性质及其应用

教学难点：灵活应用两个性质解决问题。

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

(1)、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗

（2）、如图，AABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB,

BC,CA的距离相等。fi

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）

3、要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路

距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在

何处？（比例尺1：20000）

二、合作探究

1、比较角平分线的性质与判定

2、如图，CD±AB,BE1AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=

OC,求证N1=N2

A

三、学以致用

22页练习题

四、能力提高（*）

如图,在四边形ABCD中，BOBA,AD=DC,BD平分NABC,求证：ZA+ZC=180"

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

六、作业

1、已知△ABC中，ZA=60°,/ABC,/ACB的平分线交于点0,则/B0C的度数为

2、下列说法错误的是（）

A、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上

B、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角

C、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角

D、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角

3、到三角形三条边的距离相等的点是（）

A、三条中线的交点B、三条高线的交点

C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点

4、课本23页第6题

课题:第H•一章全等三角形复习（1、2）

一、学习目标：

1.知道第十一章全等三角形知识结构图.

2.通过基本训练，巩固第十一章所学的基本内容.

3.通过典型例题的学习和综合运用，加深理解第十一章所学的基本内容，发展能

力.

二、学习重点和难点：

1.重点：知识结构图和基本训练.

2.难点：典型例题和综合运用.

三、归纳总结，完善认知

1.总结本章知识点及相互联系.

2.三角形全4隼

------个条件

探究

三角形

两T会忤——二边

全等的一两边――

条件—边_两边」对角

---三个条件----

—两角一边对应相等

四、基本训练，掌握双基

1.填空

(1)能够的两个图形叫做全等形，能够的两个三角形叫做全等三角

形.

(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做,重合的边叫做

,重合的角叫做.

(3)全等三角形的边相等，全等三角形的角相等.

(4)对应相等的两个三角形全等(边边边或).

(5)两边和它们的对应相等的两个三角形全等(边角边或).

(6)两角和它们的对应相等的两个三角形全等(角边角或).

(7)两角和其中一角的对应相等的两个三角形全等(角角边或).

(8)和一条对应相等的两个直角三角形全等(斜边、直角边或

).

(9)角的上的点到角的两边的距离相等.

2.如图，图中有两对三角形全等，填空：

(l)ACDO^,其中，CD的对应边是

DO的对应边是,0C的对应边是；

(2)AABC^,NA的对应角是

NB的对应角是,/ACB的对应角是

3.判断对错：对的画“J”，错的画“X”.

(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等.

(2)三角对应相等的两个三角形一定全等.()

(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等.()

(4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等.()

(5)三边对应相等的两个三角形一定全等.