高等数学期末考试复习资料

综合试卷

单项选择题（每题3分，共30分）

1.下列等式成立的是（)

,1

sin—[

一.sin无一门「sinx?

Alim----=15.1im-----=1C.lim—/=1D.limxsin-=1

'T9xXT°2xXT。1XT9X

X

2.设尸⑶在点x。的某邻域内存在，且与面)是/⑺的极大值，则

/(x+2A)-/(x)

lim----0------------0

AT。2k=()

A.2B.1COD.-2

3.下列各极限中能够用洛必达法则求出的是()

...x+sinx..Vx2+1~e*Inx

Ahm-------Bn.Jim------C.hm-------D.hm----

x

ir^-kox+COSXXK-»+®e+0-^

4.设/二I,则芥=1是〃x)的()

A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点

5.下列关系式正确的是（)

Ad[f{x）dx\=/（x）B.^fXx）dx=/（x）C.和⑶dx=/(x)Dq/⑶dx="x)+'

)x

6.下列广义积分收敛的是（

C+»r+9~

A][cosxdxB.r>%Z)J]&dx

7.，+V=2cosx的待定特解形式为（)

A.V*=AsinXB.>*=ACOSx

Cy*4cosx+Bsinx)Dy*=j4cosx-f-5sinx

8.平面为：x-2y+3z+l=0,巧：2x+y+2=0的相关位置关系为

)

A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行不重合D.重合

9

1

Z

9.若»-1发散，则()

Ap<0B.p>-1C,p>0D.p<-1

\\xydxdy

10.设,则J?............()

A4B.3C,2D,1

二.填空题（每题3分，共15分）

22

设1y=x+3xy+y+2x,则——=

1.泳力

交换二次积分次序力=

2.*

3.Lx的水平渐近线是,垂直渐近线

是________________

设/（x）=「（£-1）/成，当;r=、

4.八,小时，/㈤取得极值.

5.平行于直线V=2x+1且与曲线1y=x?+l相切的直线方程

为•

三.解答题（每题4分，共32分）

1设/（x）=ln（l+ax2）-6j3且丁⑼=4,求a,湫值。

2.已知1八'，求常数以步的值.

2

设1y=ln（x+V1+x）,求

3.dx2

设z=»ln工求黑-

4.y办»

计算“e*方办的，其中。由/+y2mi确定

5.D

求1/+——y=1的通解。

6.xlnx

设lim（'+勺=「e’成，求a的值。

7.XT9X—以J-9

8.求曲线丁=婷与在点（一1道）处的切线和Y轴所围图形的面积.

四.综合题（共23分）

证明：当0<x<l时，有一〈上L

1.l—x（8分）

2.设产品的需求函数Q=125-5P（Q为需求量,P为价格），若生产该产品的固定

成本为100（百元），多生产一个产品成本增加2（百元），且工厂自产自销,产销平

衡.试问如何定价,才能使工厂获得最大利润?最大利润是多少？（8分）

3.求曲线4与在点（-1,0）和（1,0）处的法线所围成的平面图形的面

积.（7分）

综合试卷二

单项选择题(每题3分，共30分)

1.下列等式成立的是(

1£1二

Alim(l+_)"=gglim(1—X)%=gC.lim(14-—Z),lim(14-x)=e

XT9XXT。NT。xXT9

2.若直线,与X轴平行且与曲线丁二*一/相切，则切点坐标为()

^(0,-1)3.(0,1)0(7,1)

3.设了⑺在以阂上连续，

下面说法正确的是

A.I是"X)的一个原函数B.I是一个确定常数，且与积分变量记号x无

关

C.I是/(X)的全体原函数D.I是一个确定常数，且与积分变量记号x

有关

〃x)=Ktan2x的一个原函数为一Incos2%则K=

4.设3()

-224-4

A.3B.3C.3D.3

5.设了⑴为连续函数，则2()

力/⑴-/⑼]C.2[/(2)-/(l)]D.2

6.设z='+/-2x-4y+a,则点(1,2)……()

4粒的极大值点A粉的极小值点C不为z的极值点D是否为z的极值点与肃关

K=()

D.-2

£武/在点工=3收敛，则Z(-1)%次

8.若塞级数E……(

月绝对收敛8条件收敛C.发散。敛散性与劣有关

9.•/+3旷+2丁=。-2”的待定特解形式为(

A.>*=卜门B.y*=(AX+B)e-2"

Cy*=jxe-2"。V*=Ax2e~2x

10.设积分区瓯:一+/M2取X>。（R>0）,把表示为极坐标

的二次积分是.（）

，2义血0f3f2义

fo现

A\^aef(rcos0rrsin0)rdrB./(rcos5,rsin&)rdr

r—「2，co"fsr2於COS3

C.J2d6］。/(rcosrsin0)dr"Jode］。/(rcos6,/sin0)rdr

二.填空题（每题3分，共15分）

|3-*dx

1.J。=_______________

2.若力布山4则产"力=

5

3,曲线1y=x+（x-2户上的拐点是

设2=<7电广+工），丝在（1,1）处的值是

4.x丁则如.

5.以丁=。"-"+勺/为通解的二阶线性常系数齐次微分方程

为

三.解答题（每题4分，共32分）

1—71~x

x<0

/（x）=<X

L确定常数/瓦，使I"以*2°在x=0可导

f(x)=J——42_3r©cos—(a>0)

2.设x,求尸（一2。）.

i

Inn

3.求3x

4.计算卜+k）乜

设」⑸为连续函数，若/⑶=也求」⑶

5.Jo2+cosZ

设z="，+/）且/可微求尸名一昌。

6.力力

计算H（x+y）dx力，其中Z）为：,+丁2&2Rx。

7.D（R>0）

8.求方程2/+5/=15,+2x7的通解。

四.综合题（共23分）

人"心也分）

1.设/⑴为连续函数，证明2」。

2.要设计一个容积为V（常数）的有盖圆柱形储油罐，对于单位面积的造价而

言，侧面是底面的一半，而盖子又是侧面的一半。问储油罐的半径r和高〃

之比是多少时造价最省？（8分）

3.在曲线丁=/（xN°）上某点A处作一切线，使之与曲线以及X轴所围图形

1

的面积为江，试求（1）切点A的坐标，（2）过切点A的切线方程，（3）

由上述所围平面图形绕X轴旋转的旋转体的体积.（7分）

综合试卷三

一.单项选择题（每题3分，共30分）

1.下列等式成立的是（)

1

2411m(1+tanx)'"*=e5.1imxsin—=1C.lim。(1+cosx)seC5reD.lim(1+%尸=e

XTOXTOx

/㈤一/（一我）

lim

2.已知丁（x）是可导函数，则3°h=)

4，(x)B./f(0)C.2/(0)D.2/V)

3若J/(x)dx=/+c,则］;^，一1灿=（

)

44

A--x25--x2+cC./-2x2+cD,x2+c

22

4若V=献ctan/,则砂=(

)

1

——^-r-dx-_.dx

B.Jl+/C.Ji+/dx

A.1+/D.1+e

5.在空间直角坐标系下，下列为平面方程的是)

x+y+z=0Cx+2=y+4

Ay2=xB.<二2-D3x+4z=0

x+2y+z=127-3

6.微分方程丁"+2歹+^=°的通解是（）

x2xxx

Ay=cxcos%+c2sinxB.y=cxe+c2eC.y=（«?1+c2x）e~D.y=+c2e~

7,已知I/（x）在（-8,400）内是可导函数，则［1/（;＜）-1/（-x）］一定是

（）

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定奇偶性的函数

8.若，则I的范围是)

</<i

A.02B.Z>1C.IWOD.2

r口小收敛，则尸应满足

9.若广义积分J1尹)

AO<p<1B,p>1C,pD,p<0

i

i-

/0)二T-

10.若1+e*,则x=0是/(x)的()

A可去间断点B,跳跃间断点C.无穷间断点D连续点

二.填空题(每题3分，共15分)

1设函数y=y(x)由方程e*=sin(xy)确定，则1ylx=0

/(x)=—

2.函数小的单调增加区间是

fixtan2x,

-------Ex=

3.JT1+X2__________________

设y(x)满足微分方程e*9'=1且y(0)=1>则y

4.11

交换积分次序J；的J：f(x,y)dx_

5・2—

三.解答题(每题4分，共32分)

「x2tanx

lim-------------------

,1。I£(£+sint}dt

1.求极限J。

x=a(cosZ4-Zsin/)的开

2.已知［y=々(sin£一£cos£),求小~4

z=lnO+次+/),求3

3.已知&方米

---x>0

/«=r+x，求：j-x

-------x<0

4.设U+e*

计算Io2时口，+叱力+［与办(后^+用力

5.~

6.求1/-(cosx)1y=**满足1y(0)=1的特解。

rxarcsinx2,

I-&x

7.求积分Vl-x4

.i

设/(x)=，0+x户x>-LxwO且/⑶在x=0连续

Kx=0

8,求①价)值⑵/⑶

四.综合题（共23分）

证明:当一^<X<二时，COSX<1-L成立。

1.22开（8分）

,、c（x）=25000+200x+工，（元）

2.已知某厂生产x件产品的成本"X）为40，产

」芥（元）

品产量x和价格p之间的关系p（x）=440-20，求（1）要使平均成本最小,

应生产多少件产品？（2）当企业生产多少件产品时;企业可获得最大利润?最大

利润是多少？（8分）

3.从原点作抛物线-2X+4的两条切线，由这两条切线与该抛物线

所围成图形记为S,求（1）S的面积（2）图僚X轴旋转一周所得立体的体积。

（7分）

综合试卷四

单项选择题（每题3分，共30分）

2*+1

1.设2*-1,则下列结论正确的是（）

力/0）为奇函数为偶函数CJ（x）为非奇非偶函数为周期函数

2,函数/（x）=e，sinx在［。,兀］上满足罗尔定理条件的”...（）

40B.—C,7TD.—

44

3.已知y=/（x）的图形如图所示，则原函数/。）的单调增加区间是……..

（）

力氏,工3)Bd，xJCg，M)。(和乙)

4.下列定积分中，等于零的是....(

.smx配―cos：pcosx

I------x-wXI------I-------------------------rwX

A.Jo1+x2B.J°l+/c.J-1l+x2

5.设/S)>g(x)，则下列式子成立的是.()

A/'(x)>g'(x)5J/(x)dx>Jg⑺dxCj；/(x)dx>［：g(x)dx(l>>a)D［八x)dx<Jg(x

二dS

6.设〃x)在x=1某邻域内连续,且“D=O,若ea一1)存在，则/⑴在

x=l.()

力不可导8/(1)=0=1D,f(S)=2

7.已知a=3j+4k,b=2i+j-2k,则a在b上的投影

为()

1__53

A.-1B.-3C.3D.5

z=In三，则阂(1,2)

8.设尸......()

y111

A—dxB.—dx-dyC.dx--dyD.2dx+—dy

2x222

、几“x+y/)=x?—则=

9.设x......()

35+川2_(马2§现二2c.V—/D/口

X1+y1+y

ix收敛,发散，则％%+心)

10.设履・i»-i»-1.........(

A绝对收敛B.条件收敛C,发散D无法判定其敛散性

二.填空题（每题3分，共15分）

1设/你）为可微函数，且满足/'（Inx）=l-x2，W\x）=

2.函数"'）=在［°，2］上的最大值为

里一严――.

5.曲面e'-z+犷=3在点（2,1,0）处的切平面方程为

三.解答题（每题4分，共32分）

,2

Inx=一

1.证明方程x在（l,e）内至少有一个实根.

..（x-sinx）2

lim----------

2.求极限1。x6

设/"）=卜:”,，求了⑶的极值。

3［x+2x<0

4.求」sin2x

、几为连续函数J⑶=4x-说求/⑶

5.女J0

6求z=--/+3/+3伊'-9x的极值。

7.计算片其中冷是以°（°，0），以1，1）方。1）为顶点的三角形区域

8.求1/-8丁'+16了=/的通解.

四.综合题（共23分）

在［a,5止连续，且单调增加，证明r/(x)dx

1.设2Ja(8

分)

2.一商店按每件4元买进一批商品零售，若零售价定为5元,可卖出200件，

若每件降低0.02元，则可多卖20件，问售价为多少时才能获得最大利

润？(8分)

3.将边长为a的正三角形铁皮的三个角剪掉(如图所示的三个全等四边形)

之后，将边折起作成一个无盖的正三棱柱盒子，问当x取何值时，该盒子

的容积最大？

综合试卷五

一.单项选择题(每题3分，共30分)

14-xx>0..„

函数/(力=<jx<0在SW)内正

1.)

A连续的奇函数B.连续的偶函数C.连续的有界函数D.非奇非偶函数

11nl/(…)-/(X。-一—

2.设/⑺二阶可导，则3°h()

若八，)=15>0),则/。)=

3.x...................()

1

A2x+c5.Inx+cC.2m+cD.

4.下列积分可直接使用牛顿一莱布尼兹公式计算的是…()

JEB.“白，/AD.”&

5.空间直角坐标系中，方程x+丁=丁的图形是..............

)

A圆柱面B圆C.抛物线。抛物面

6.设/(x),g(x)在内有定义J(X)为奇函数,g。)为偶函数，则gb(x)］

为.....................()

A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.非奇非偶函数

7设/⑶在［1,4］上连续，又F⑶=(X-4)J；/(£)成，则在(1,4)内必存在一点或使P©=

()

/0B-C-DA

42

1

e*x<0

/(x)=<x0<x<2

sin(2x-4)x>2

8.设Ix-2,则」(x)的连续区间为……()

A(-oo,2)u(2,+oo)B.(-oo,+oa)C.(-oo,0)u(0,+oo)D(-oo,0)u(0,2)u(2,+oo)

「Lx

9.若广义积分/收敛,则P应满足......()

Ap>\B.p>\C.p=1D.p<1

QO

10.若级数x-1收敛，则有.......()

p>0B,p<0C,p>2D.p<2

填空题（每题3分，共15分）

设z=12丁）且当y=0时，z=/,则竺=

1.dx

[3（r+2）sin"xdx=

2.F

.8

y一

3.函数1+x的单调增加区间是

4砂'=yln_y满足引x=l=/的特解为

5./=〕；"，—（"）以交换积分次序后

三.解答题（每题4分，共32分）

1.求心=（3x+»力满足条件加=0=1的特解。

2

（工=尸+1n2dydy：_汗

2,已知b=sint—cosZ,求小'd,一彳

rarctan石

&(1+X)

3.求

4.求b2k以

计算I=Jj/:亍db,其中Z）由y=芯与1y=J2x--

5.0j4-x所围平面区域。

^.dududu,

口二x"vs,求二，二一，k，八

6.设dxdydz

2x+y+z-3=0

<

7.求过点舷（L°，T）且与直线L:5一丁+1=°垂直的平面方程

8.求基级数*-1应2%-1）的收敛区间，并求其和函数。

四.综合题（共23分）

11

—+——1d

1.设是大于1的正数，且。勺证明：对于任意的x>o,有

—+->X

pq成立（8分）

2.设函数/3）具有连续二阶导数，而zn/esiny）,满足方程

求/&）的具体表达式（8分）

3.设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x时边际成本函数MC=

—=-40-20%+3?—=32+10x

dx,边际收益函数MR=dx,试求

（1）总利润函数（2）使总利润最大时的产量（7分）

综合试卷六

■,单项选择题（每题3分，共30分）

1.设了㈤在（-8,也）可导，下列函数必为偶函数的是........

（）

2

月/(x)-/(-x)5.£[/W+/(-%)]C]oV(x)-/(-x)]^D.ln(x+71+x)

3X2+5.2

lim-------sin—=

2.i5x+3x.................()

A-B.-C.OD.oo

65

3./(x)=Inx[l,e

在俯合拉格朗日中值定理的^=()

AeBAC.e-2D.e-\

Z=J/1=dx

4.设°V2+x-?,由定积分的估值定理，则1...........

（）

5.廉-忖=(

5.2C.-lDA

2=/(")在点(勺m)

6.处的偏导数存在是函数在该点可微的……

)

A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件

7.已知a,b,c均为单位向量，且满足a+b+c=O,则ab+bc+ca=•••

）

3

-3

o&2

A.C.-2D.-3

2+2

X=4工在空间直角坐标系下表示........（）

柱

圆

A面

B.点C.圆D.旋转抛物面

，+/<1,；1=+y2）daj=JJJx2+y2dcr

设

D是2

9.圆域：QQ则

AlxB.l2>yrC.ZJ<Z2DI、>Z2

10.下列级数中，条件收敛的是.......................（）

金之且?元印企；罕D火（-!）”令

泉・1M+1i力x-1N

二.填空题（每题3分，共15分）

2.7-6V+13y=0的通解为

3.若z=x>,则dz=

4.交换积分次序r时门（[炒]

5.设丁⑺为连续函数，则.L[/⑶+八—x）+x]dd\

三.解答题（每题4分，共32分）

几y=arctan五+ln(1+2*)+cos?,求力

x-e

Jodt

lrim——r------

2.计算/sinx

3.求L+e*

设Z=/（/二）其中」具有二阶连续偏导数，求生，要

4yoxdxdy

,,、（x-l）sinx

〃一=2八

5.求|邛x一1）的间断点，并指出各间断点的类型

6.已知曲线1y=_/(x)经过原点，并且在原点处的切线平行于直线2x+y-3=0,苟1(x)=3,

且/⑸在x=l处取得极值，试求a,8的值，并求的表达式。

7.求V-ytanx=secx满足初始条件加=0=°的特解。

[|sinyidxdy

8.计算？刀由X=LX=3J=2及1y=%—1所围区域…

四.综合题(共23分)

"XHO

g(x)=prJ(x)具有二阶连续导数，且%0)=0

ax=0

1.设⑴求。，使g(x)在x=0处连续⑵求g'(0)(8分)

2.设丁㈤在M上具有严格单调递减的导数/0),且/9)=0,试证对于

满足不等式。<a<b<a+5的0力恒有>/3+B)成立。(8

分)

3.一租赁公司有40套设备要出租，当租金约定为每套每月200元时，该设

备可全部出租；当租金定为每套每月增加10元，租出设备就会减少一套，而对

于出租的设备，每套每月需要20元的维护费，问租金定为多少时，该公司可获

得最大利润？(7分)

综合试卷七

单项选择题(每题3分，共30分)

i.iW)=匕与与g⑺的图形关于直线y=x对称，则g(x)=

X-2

()

l+3xl+2xx+3x-2

A-----H.-----C-------L).-----

x+2x+3l+2x1-3x

W)

lrim------z-=

2iosin(2x2)..................(

A.2B,-C.-2D,--

22

Em后(Jft+3-J阀-2)=

3.*fg............(…)

Am5.0C.lD.-

2

"I灯__

y=asinx+-sin3为在尤=—处取得极值，则a=

4.设函数33

()

2

A.1B.2C.2D.-2

Tdx=

,4

5.Ll+x，.()

W42

A-

2吟

x2+y2+z2=4

6母线平行于Z轴且准线方程为V=1

的柱面方程为

（）

Ax2+y24-z2=45,x2+y2=4C,x2+y2=1D,x2+y2=3

7设7a,箝在点(砧为)处的偏导数存在，则图,(2±2'力);=(

)

♦3人(/死)a/(2/J。)C/(x0J。)D.O

&微分方程了-4y=3x产的特解y*...............()

A(Ax+B)e-2xR3/e-2*C.x\Ax+B)e^D.^Ax+B^

81

级数Z二r(x+D”的收敛区间为.....

9.x-i阀？()

A[-3,l]B,[-3,1)C.(-3,l)D[-2,2\

10.设

D:-l<x<l,0<1,\\y2sm3xdxdy=

i>..................()

AOBAC2D.3

二.填空题（每题3分，共15分）

1

lira/=

1.29

7T

x=sinE+cos一7T

曲线3对应于t=-

-y=cos2Z的点处的切线方程为:

2.

1

dx

Jx(2-In2x)

产方"〜的通解为

设/=（矽/（x,y）dx交换积分次序，则/=

o

5.

三.解答题（每题4分，共32分）

1.求她（/一会）

、几〃1+3=3+1，求〃x)

2.设%x2

设丁=arctan匕二，求y”

3.1-x

2*xV。2

设/(x)=11，求，/(x-l)dx

----x>0

4.U+x

x=zln三，求的

5.设丁

6设/(x)=jlr=OJ'o]/(r)Sx=。是否连续？

1-xsin—x<0

2x若间断，请指明间断点的类

型.

求J[3+2)db,其中D:x2+y2<2ay(a>0)

7.D

&将函数〃x)=工(x-3)展开成(X-3)的幕级数

X

四.综合题(共23分)

1设/(X)在(-8,+00)内连续且为单调减函数，令F(x)=2)/⑷成,证明在(-8,+00)内尸⑶

为单调增函数.(盼)

2.质量为1千克的质点受外力的作用作直线运动，设力和时间成正比，和质点

运动的速度成反比,且在£=10秒时速度为45米/秒,力为4牛顿，问从开始经过

20秒后质点运动的速度是多少？(8分)

3.在椭圆/+纣2=4上求一点，使其到直线£：2%+3丁-6-0的距离最小，并求出此距离.

综合试卷八

单项选择题(每题3分，共30分)

1.下列函数的定义域都是(一阻田)，其中必为偶函数的是.....

()

2.设/Xx)在点两连续，则下列正确的是.......................

()

B.lim/("->(而)存在

A.lim/(%)=0

XTXpX-Xo

C.当x-x()时，/(x)-」(而)为无穷小量D当xT飞时J(x)-/(与)不是无穷小量

limWcosVx=

3.1。+()

1ZiA

月1B,-C.e2D.e2

2

4.函数y(x)=x庚的％阶导数/*)(入)在工=.............................

()

A.-(附+1)时取得最小值B.-5+D时取得最大值

C.-万时取得最小值D.-%时取得最大值

5.设方>0,那么有.............()

XTX

.4—>ln(l+x)5,1n(l+x)>xC,lnx>—D.—>x

1+x1+x1+x

6,设有方程e*-x-l=0,那么.......()

A.它没有实根B.它有且仅有一个实根

C.它有且仅有两个不同实根D.它有三个不同实根

7.

设了。)有连续的导数，且a。0,1,则下列命题正确的是……一.(

)

AJ/(ax)dx='(ax)+cg\f'(_ax)dx=f(ax)+c

C的约=af(ax)D.

Jr(ax)dx=/(x)+c

8.平面4+坳=°必定......()

A.通过X轴B.通过Y轴C.通过Z轴D.不通过任何坐标

轴

9.x-y=o的通解是.....()

Ay=(qB.y=q2'C.y=qcos天+勺sinxD.y=%+勺/

10.

设%<avM(«=1,2…)(a>0)且自v*收敛，则之〃*...

4...........(

)

力必定收敛员必定发散C敛散性与a有关D以上都不正确

二.填空题(每题3分，共15分)

设/0)="''J那么a=

][ax+Ax>1力=

2.

^(x)COS-X0_・El,

设Vn/⑴=X，且。(0)=必0)=。，则八0)=

0x=0

3设0={1，一2,3}.^-[-2,1.1},则短:=

若[°x（2-3x）dx=2,则a=

4.J&.

设以*=S，则Z（4+&+i）=

5.»-i»-i

三.解答题（每题4分，共32分）

2.己知点为〃x)="3+桁2的拐点，求a,g的值。

设卜=c°s£，求玄，受

3.y=sint-tcostdxdx,

4.

设函数了㈤在x=1时有极小值，x=T时有极大值4,且"：？—+稣+九求/1(x)

5.