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第三章桁架交通学院车辆工程系李红艳联系方式：作业问题：1）试函数形式不对。

2）没听明白题意。用一项三角函数3）伽辽金公式写法不对。4）最后没有总结杆系结构：由直杆件组成，这些杆件在端点处通过螺栓、铆钉、销或焊接而连接在一起。根据杆系结构的集合特性及所承受的载荷是否在同一平面上，杆系结构又分为平面杆系结构和空间杆系结构。材料力学中的杆件可以承受轴向拉（压）力、横向剪力、扭矩和弯矩等，根据受力方式的不同可将杆件分别称为拉压杆、扭矩的轴及弯曲等。刚架：杆件间连接能处理成刚接，则称为刚架结构；桁架：杆件间连接能处理成铰接，则称为桁架结构。桁架能够用来解决机架、电力传输塔、桥梁和建筑物的屋顶等工程中的许多结构问题。3.1一维桁架

3.2二维桁架3.3空间桁架3.1一维桁架一维桁架的杆件通常认为是二力杆。单元类型是杆单元（linkelementtype），端点是节点（nodepoint）。ijuiujFjFi几何学物理学静力学若杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则横向应变为

试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应比的绝对值是一个常数。即

式中称为横向变形系数或泊松比，是一个没有量纲的量。简化后得到有限元的整体平衡方程式：其中

为刚度系数。假设杆件两端分别为i节点与j节点，我们可以得到i节点和j节点的整体静力平衡方程式：从试函数的角度：ijuiujFjFi单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=ui，u(L)=uj从而得x形函数应变（转换）矩阵形函数矩阵应力（转换）矩阵刚度矩阵例题3.1已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆直径为d=10mm,材料为20号钢，弹性模量E=21GPa，[σ]=80MPa，活塞杆长度L=320mm，试校核活塞杆的强度。

单元分析我们可将活塞杆杆看成是一个单元和两个节点，如图（b）所示。求单元的刚度矩阵单元的节点i=1,j=2，该单元的刚度系数为式中A为活塞杆面积。刚度方程该单元的力静力平衡方程式为求解刚度方程考虑到边界条件，F1为夹紧固定端，位移为u1=0；F2为气动力，其大小为：由刚度方程可得F1=-F2u1=0

求延伸率拉伸长度为：其延伸率为：满足要求。活塞杆的应力强度不能满足强度要求，需要改变活塞杆直径使其满足要求。根据许用应力值求满足要求的活塞杆直径最后根据气缸活塞杆系列圆整活塞杆直径d为14mm。重新校核可见修改后的活塞杆强度能够满足强度要求。一个台阶式杆件上方固定后，下边受一个Y轴负方向集中力，已知：

E1=E2=3E11N/m2,A1=5m2A2=3m2L1=L2==12mP=1000N求B、C点的位移。3.2二维桁架3.2.1二维桁架基础理论一般来说，需要两个参考坐标系来描述二维桁架问题：整体坐标系和局部参考坐标系，我们指定整体坐标系为X-Y：（1）代表每个节点，使用角度记录每个杆（单元）的方向；（2）根据各自的整体部件应用约束并施加负载；（3）在整体方向上的每个节点的位移表示问题的解。同时在单元端部节点建立一局部坐标系为x-y，来描述各个杆（单元）的二力杆行为，如图所示。xyXYuxiuyiUXiUYiOθ[U]和[u]分别代表整体坐标系X-Y和局部坐标系x-y参考坐标下节点i和j得位移。[T]是从局部变形转化到整体变形的变化矩阵。同理可以求得局部力和整体力有以下关系：这里[F]是整体坐标下施加在节点i和j上的分量，[f]代表局部坐标系下施加在节点i和j上的力的分量。以上步骤推导出了各个属性的局部坐标和整体坐标间的关系，然而，需要记住:在局部坐标下y方向上位移和力为零。原因很简单，在假设的二力条件下，杆只能沿轴向（局部坐标下x方向）伸长或缩短。开始我们不将这些值设置为零以便保持一般的矩阵描述，这将更加容易推导出单元刚度矩阵。当将位移的y方向以及力设置为零时，这一过程将变得非常清楚。这里，[T]-1是变换矩阵[T]的逆矩阵或转置矩阵。从而得

上式表示了施加的外力、单元刚度矩阵[K]e和任意单元的节点的整体位移之间的关系。桁架的任意杆（单元）的刚度矩阵[K]e为：剩下的步骤是组合或连接单元刚度矩阵、应用边界条件和负荷、求解位移以及得到平均应力等其他信息。例题3.2假设一桁架在A点处承受FX1=22200N，FY1=-111000N二力，试以有限元法求A的挠度，如图所示。我们可将桁架分解成如图所示的单元1，2，3和节点1，2，3，每个节点有一对分力（Fxi,Fyi）。对于单元1，i=1，j=2

对于单元2，i=2，j=