高等数学曲面及其方程

1.空间直角坐标系右手系2.两点间的距离公式为复习(fùxí)M(x,y,z)3.两向量(xiàngliàng)的数量积4.两向量(xiàngliàng)的夹角第一页，共60页。15.两向量(xiàngliàng)的向量(xiàngliàng)积6.两向量互相平行垂直(chuízhí)的条件7.向量(xiàngliàng)的混合积第二页，共60页。2卫星接收(jiēshōu)装置(旋转抛物面).化工厂或热电厂的冷却塔(旋转(xuánzhuǎn)双曲面)第三页，共60页。3第三节曲面(qūmiàn)及其方程一、曲面(qūmiàn)方程的概念二、旋转(xuánzhuǎn)曲面

三、柱面

四、二次曲面第四页，共60页。4一、曲面方程(fāngchéng)的概念平面(píngmiàn)解析几何中如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的解建立了如下的关系(guānxì)：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。第五页，共60页。5任何曲面(qūmiàn)都可以看作是点的几何轨迹.曲面S与三元(sānyuán)方程那么(nàme)方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形.有下述关系：①

曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);②

不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),空间解析几何中第六页，共60页。6解(2)若球心在原点，则球面(qiúmiàn)的方程为半径(bànjìng)为R的球面方程.就是以为球心,(3)例1求到点M0(x0,y0,z0)的距离等于R的点的轨迹(guǐjì)方程.设轨迹上的动点为M(x,y,z)即那么以下给出几例常见的曲面.第七页，共60页。7解：例2求到A(1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹(guǐjì)方程.设轨迹(guǐjì)上的动点为M(x,y,z)即整理(zhěnglǐ)得即为所求点的轨迹方程.线段的垂直平分面.有第八页，共60页。8配方得

半径为的球面.解原方程表示球心在点一般(yībān)地，三元二次方程例3

方程表示怎样的曲面?(1)x2,y2,z2项系数(xìshù)相同;(2)缺xy,yz,zx

项.其图形可能(kěnéng)是一个球面，或点，或虚轨迹.特点：第九页，共60页。9以上几例说明(shuōmíng)研究空间曲面有两个根本问题：〔2〕坐标间的关系式，研究曲面(qūmiàn)形状．〔讨论(tǎolùn)旋转曲面〕〔讨论柱面、二次曲面〕〔1〕曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．第十页，共60页。10二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线(qūxiàn)绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线(qūxiàn)和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十一页，共60页。11二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条(yītiáo)平面曲线绕其平面上的一条(yītiáo)直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十二页，共60页。12二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周(yīzhōu)所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十三页，共60页。13二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转(xuánzhuǎn)一周所成的曲面称为旋转(xuánzhuǎn)曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转(xuánzhuǎn)曲面的母线和旋转(xuánzhuǎn)轴。第十四页，共60页。14二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线(zhíxiàn)旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线(zhíxiàn)一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十五页，共60页。15二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面(píngmiàn)曲线绕其平面(píngmiàn)上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十六页，共60页。16二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条(yītiáo)平面曲线绕其平面上的一条(yītiáo)直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十七页，共60页。17二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义(dìngyì)：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十八页，共60页。18二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条(yītiáo)平面曲线绕其平面上的一条(yītiáo)直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第十九页，共60页。19二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周(yīzhōu)所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第二十页，共60页。20二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周(yīzhōu)所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第二十一页，共60页。21二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线(qūxiàn)绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线(qūxiàn)和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第二十二页，共60页。22二、旋转(xuánzhuǎn)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为(chēnɡwéi)旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为(chēnɡwéi)旋转曲面的母线和旋转轴。第二十三页，共60页。231、yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面(qūmiàn)的方程:点到轴的距离将代入（4）得就是(jiùshì)所求旋转曲面的方程.(5)，点M1(0,y1,z1)在曲线(qūxiàn)C,那么第二十四页，共60页。24当曲线C绕y轴旋转(xuánzhuǎn)时，方程如何？思考(sīkǎo)：第二十五页，共60页。252、注意：绕哪个轴旋转(xuánzhuǎn)，哪个变量不变1.yoz平面上的母线(mǔxiàn)绕oz轴旋转得旋转曲面2.yoz平面(píngmiàn)上的母线绕oy轴旋转得旋转曲面3.xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面第二十六页，共60页。26解这两种曲面(qūmiàn)都叫做旋转双曲面(qūmiàn).一周,求所形成的旋转(xuánzhuǎn)曲面的方程.将zOx平面(píngmiàn)上的双曲线例4绕x轴旋转得绕

z

轴旋转得分别绕x轴和z轴旋转旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面第二十七页，共60页。27旋转(xuánzhuǎn)面---圆锥面第二十八页，共60页。28两边(liǎngbiān)平方例5建立顶点(dǐngdiǎn)在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥(yuánzhuī)面方程.解在yOz面上的直线L的方程为:L绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为的大小与圆锥面的张口大小有何关系？思考：第二十九页，共60页。29旋转(xuánzhuǎn)椭球面旋转(xuánzhuǎn)抛物面第三十页，共60页。30特点(tèdiǎn)：曲面方程中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面例：

第三十一页，共60页。31例6试判断(pànduàn)方程表示(biǎoshì)何种曲面?并作图.yOz面上(miànshànɡ)的抛物线绕

z

轴旋转所得旋转曲面.或zOx

面上的抛物线绕z

轴旋转所得旋转曲面.1解第三十二页，共60页。32播放(bōfànɡ)定义(dìngyì)三、柱面观察柱面的形成(xíngchéng)过程:沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。第三十三页，共60页。33定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线(qūxiàn)C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线(qūxiàn)C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第三十四页，共60页。34定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成(xíngchéng)的曲面称为柱面。这条定曲线(qūxiàn)C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第三十五页，共60页。35定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动(yídòng)的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线(qūxiàn)C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第三十六页，共60页。36定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成(xíngchéng)的曲面称为柱面。这条定曲线(qūxiàn)C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第三十七页，共60页。37定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成(xíngchéng)的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线(zhíxiàn)L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第三十八页，共60页。38定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成(xíngchéng)的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线(zhǔnxiàn)，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第三十九页，共60页。39定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动的动直线(zhíxiàn)L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线(zhíxiàn)L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第四十页，共60页。40定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动(yídòng)的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线(qūxiàn)C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第四十一页，共60页。41定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动(yídòng)的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线(zhíxiàn)L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第四十二页，共60页。42定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成(xíngchéng)的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线(zhǔnxiàn)，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第四十三页，共60页。43定义(dìngyì)三、柱面沿定曲线(qūxiàn)C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线(zhǔnxiàn)，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第四十四页，共60页。44柱面举例(jǔlì)抛物柱面平面(píngmiàn)第四十五页，共60页。45母线平行(píngxíng)于z轴的柱面方程为：一般地，已知准线方程注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。一般地，在空间(kōngjiān)直角坐标下〔缺z〕，表示母线(mǔxiàn)∥？，准线为？的柱面。〔缺y〕，表示母线∥？，准线为？的柱面。〔缺x〕，表示母线∥？，准线为？的柱面。二元方程的几何图形为柱面第四十六页，共60页。46问：〔1〕表示(biǎoshì)什么曲面？〔2〕表示(biǎoshì)什么曲面？回忆(huíyì)1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2.表示一张球面。3.表示空间的一张平面。4.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面第四十七页，共60页。47四、二次曲面三元(sānyuán)二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的(mùdì)：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线〔即截痕〕的形状，然后(ránhòu)加以综合，从而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的准线方程母线平行于z轴的柱面方程为：其根本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面第四十八页，共60页。48〔一〕椭球面椭球面与三个坐标(zuòbiāo)面的交线：椭球面与平面(píngmiàn)的交线为椭圆同理与平面(píngmiàn)x=x1和y=y1的交线也是椭圆第四十九页，共60页。49截痕法用z=h截曲面(qūmiàn)用y=m截曲面(qūmiàn)用x=n截曲面(qūmiàn)abcyx

zo

椭球面第五十页，共60页。50椭球面的几种特殊(tèshū)情况：旋转(xuánzhuǎn)椭球面由椭圆(tuǒyuán)或绕z轴旋转而成。球面方程可写为第五十一页，共60页。51xzy0截痕法用z=a截曲面(qūmiàn)用y=b截曲面(qūmiàn)用x=c截曲面(qūmiàn)1.