第四章大数定理与中心极限定理理

第四章大数定理与中心极限定理理第1页，共52页，2023年，2月20日，星期三随机变量的特征函数一、随机变量特征函数的定义与计算Def设是一个随机变量，则称为随机变量的特征函数，其中i为虚单位。特征函数的计算设离散型随机变量的概率分布为

则随机变量的特征函数为设连续型随机变量的概率密度为

则随机变量的特征函数为第2页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.1例4.2第3页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.3例4.4第4页，共52页，2023年，2月20日，星期三二、随机变量特征函数的性质第5页，共52页，2023年，2月20日，星期三第6页，共52页，2023年，2月20日，星期三第7页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.5例4.6第8页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.7第9页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.8第10页，共52页，2023年，2月20日，星期三三、特征函数的性质续第11页，共52页，2023年，2月20日，星期三第12页，共52页，2023年，2月20日，星期三第13页，共52页，2023年，2月20日，星期三第14页，共52页，2023年，2月20日，星期三三、逆转公式与唯一性定理第15页，共52页，2023年，2月20日，星期三第16页，共52页，2023年，2月20日，星期三第17页，共52页，2023年，2月20日，星期三第18页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.9第19页，共52页，2023年，2月20日，星期三大数定理一、大数定律的客观背景

大量随机试验中大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率文章中字母使用频率Thelawoflargenumbers第20页，共52页，2023年，2月20日，星期三二、两个常用的大数定理随机变量序列依概率收敛Def随机变量序列服从大数定律第21页，共52页，2023年，2月20日，星期三大数定理Chebysherv

定理1(Chebysherv大数定理)第22页，共52页，2023年，2月20日，星期三Khintchin推论：第23页，共52页，2023年，2月20日，星期三第24页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.10第25页，共52页，2023年，2月20日，星期三定理2(Bernoulli大数定理)Bernoulli第26页，共52页，2023年，2月20日，星期三三、大数定理的应用Khintchin大数定理应用Bernoulli大数定理应用寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径第27页，共52页，2023年，2月20日，星期三随机变量序列的两种收敛一、随机变量序列以概率收敛第28页，共52页，2023年，2月20日，星期三第29页，共52页，2023年，2月20日，星期三二、随机变量序列以分布收敛第30页，共52页，2023年，2月20日，星期三第31页，共52页，2023年，2月20日，星期三第32页，共52页，2023年，2月20日，星期三第33页，共52页，2023年，2月20日，星期三第34页，共52页，2023年，2月20日，星期三第35页，共52页，2023年，2月20日，星期三第36页，共52页，2023年，2月20日，星期三第37页，共52页，2023年，2月20日，星期三中心极限定理Thelawoflargenumbers一、中心极限定律的客观背景

在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布呢？第38页，共52页，2023年，2月20日，星期三定理3(Lindeberg-Levy中心极限定理)中心极限定理第39页，共52页，2023年，2月20日，星期三即:一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量，其概率分布一定是正态分布。第40页，共52页，2023年，2月20日，星期三第41页，共52页，2023年，2月20日，星期三第42页，共52页，2023年，2月20日，星期三定理4(DeMoivre-Laplace中心极限定理)第43页，共52页，2023年，2月20日，星期三三、中心极限定理的应用Lindeberg-Levy中心极限定理应用DeMoivre-Laplace中心极限定理应用第44页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.3第45页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.40120.050.800.15第46页，共52页，2023年，2月20日，星期三第47页，共52页，2023年，2月20日，星期三第48页，共52页，2023年，2月20日，星期三例4.5某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设每台车床开工率为0.6,每台车床是否开工是独立的，每台车床在开工时需电力1千瓦。问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?

解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否开工,开工的概率0.6,共进行200次独立重复试验。用X表示在某时刻开工的车床数，依题意X~B(200,0.6)。设有N台车床开工，也即需要N千瓦电。现在的问题转化为：求满足P{X≤N}≥0.999的最小的N.第49页，共52页，2023年，2月20日，星期三由3σ准则该项为0

答：应供应142千瓦电就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.例4.6设有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试问所选的种子中良种所占的比例与1/6之差