第四章平稳过程

1、严平稳过程设随机过程若对于任意的n和任意的有则称为严平稳过程。由定义可知严平稳过程的一维分布与t无关，即二维分布函数满足4.1平稳过程的概念5/5/20231第1页，共44页，2023年，2月20日，星期三若严平稳过程存在二阶矩，则有（常数）同理2、宽平稳过程设二阶矩过程满足：即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关.4.1平稳过程的概念5/5/20232第2页，共44页，2023年，2月20日，星期三显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过程。以后平稳过程均指宽平稳过程。解:所以,具有平稳性,称其为平稳随机序列。试讨论平稳性.例1、设是不相关的随机变量序列，且（1）（常数）（2）则称为宽平稳过程。4.1平稳过程的概念5/5/20233第3页，共44页，2023年，2月20日，星期三例2、设在上均匀分布，试讨论其平稳性。解：为常数，4.1平稳过程的概念5/5/20234第4页，共44页，2023年，2月20日，星期三1、相关函数的性质则设是平稳过程，其相关函数为(1)(2)(3)(4)具有非负定性，即及复数有4.2平稳过程相关函数的性质5/5/20235第5页，共44页，2023年，2月20日，星期三（2)(3)证明：(1)4.2平稳过程相关函数的性质5/5/20236第6页，共44页，2023年，2月20日，星期三(4)由相关函数的性质可知：（1）若是实平稳过程，则其相关函数是偶函数，即（2）设是平稳过程,则其协方差函数满足:4.2平稳过程相关函数的性质5/5/20237第7页，共44页，2023年，2月20日，星期三2、若则称为周期平稳过程，使得上式成立的最小正数T为过程的周期。周期平稳过程的相关函数也为周期函数，且其周期同过程的周期。证明：3、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得（1）平稳过程均方连续的充要条件为在处连续。（2）平稳过程均方可导的充要条件为在处一阶、二阶导数都存在。4.2平稳过程相关函数的性质5/5/20238第8页，共44页，2023年，2月20日，星期三（3）若平稳过程均方可导，则其导数过程仍为平稳过程，且4、联合平稳过程的互相关函数及其性质记（2）的性质1）特别，当为联合平稳的实过程时，（1）定义：设为两个平稳过程，则称这两个过程为联合平稳过程。若对于任意4.2平稳过程相关函数的性质5/5/20239第9页，共44页，2023年，2月20日，星期三2）对任意的复常数也是平稳过程，且它们的互相关函数满足：3）证明：1）4.2平稳过程相关函数的性质5/5/202310第10页，共44页，2023年，2月20日，星期三同理可得4.3平稳过程的各态历经性5/5/202311第11页，共44页，2023年，2月20日，星期三1、各态历经概念设是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数怎样通过试验近似地确定？作n次试验，得样本函数对于固定的由大数定律，n必须很大，难以实现。由于平稳过程的统计特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征呢？下面引入各态历经概念。4.3平稳过程的各态历经性5/5/202312第12页，共44页，2023年，2月20日，星期三(1)时间平均与时间相关函数设是平稳过程，称1)为平稳过程在的时间平均。2)为平稳过程在的时间相关函数。(2)设是均方连续的平稳过程,若则称该过程的均值具有各态历经性;2)则称该过程的相关函数具有各态历经性;4.3平稳过程的各态历经性5/5/202313第13页，共44页，2023年，2月20日，星期三3)均值与相关函数都具有各态历经性,则称该过程为各态历经过程。例3、设其中是常数，在上均匀分布，试讨论其各态历经性。解：可以求出=04.3平稳过程的各态历经性5/5/202314第14页，共44页，2023年，2月20日，星期三所以，原过程的相关函数具有各态历经性。于是该过程为各态历经过程。2、各态历经性的判定定理（1）均值各态历经定理设是平稳过程，则其均值具有各态历经性的充要条件为4.3平稳过程的各态历经性5/5/202315第15页，共44页，2023年，2月20日，星期三证明：为了计算上述积分，作变量替换令4.3平稳过程的各态历经性5/5/202316第16页，共44页，2023年，2月20日，星期三又所以4.3平稳过程的各态历经性5/5/202317第17页，共44页，2023年，2月20日，星期三由充要条件知：只须若是实平稳过程，其相关函数为偶函数，则均值各态历经的充要条件为设是平稳过程，如果则的均值具有各态历经性。(2)相关函数的各态历经定理由于令有4.3平稳过程的各态历经性5/5/202318第18页，共44页，2023年，2月20日，星期三若是平稳过程,则于是,的相关函数的各态历经性转化为的均值的各态历经性判定,所以实际应用中通常定义平稳过程的相关函数具有各态历经性的充要条件为4.3平稳过程的各态历经性5/5/202319第19页，共44页，2023年，2月20日，星期三例4、设平稳过程的协方差函数满足则该过程的均值具有各态历经性。证明：所以从而，该过程的均值具有各态历经性。3、各态历经性的应用设是具有各态历经性的平稳过程，即4.3平稳过程的各态历经性5/5/202320第20页，共44页，2023年，2月20日，星期三这就从理论上保证可以认为由试验得到的样本函数由确定均值和相关函数，有或或设为实过程，将[0,T]N等分，于是称为采样点,取N足够大，足够小。4.3平稳过程的各态历经性5/5/202321第21页，共44页，2023年，2月20日，星期三令4.3平稳过程的各态历经性5/5/202322第22页，共44页，2023年，2月20日，星期三1、相关函数的谱分解(1)维勒—辛钦定理是均方连续的平稳过程，则其相关函数设可表示为其中是上非负、有界、单调不减、右连续函数，且证明：若则此时即为所求。若令连续、非负定且4.4平稳过程的谱密度5/5/202323第23页，共44页，2023年，2月20日，星期三于是，必为某随机变量的特征函数，从而存在分布函数使得即得即为所求。(2)定义称为平稳过程的谱函数,称为平稳过程相关函数的谱展开式。4.4平稳过程的谱密度5/5/202324第24页，共44页，2023年，2月20日，星期三如果存在非负函数使得则称为随机过程的谱密度。(3)谱密度与相关函数的关系表明是互为富氏变换对。例5、设是平稳过程，其相关函数为其中是正数，求其谱密度与谱函数。设均方连续的平稳过程，且绝对可积，则即4.4平稳过程的谱密度5/5/202325第25页，共44页，2023年，2月20日，星期三解：试证明例6、设F(x)是任意单调不减、右连续的有界函数，且又设X,Y是两个相互独立的随机变量，X以为其分布函数，Y在上均匀分布。对令是均值为0的平稳过程，且F(x）为其谱函数。4.4平稳过程的谱密度5/5/202326第26页，共44页，2023年，2月20日，星期三证明：设F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数,分别为X,Y的分布函数，因为

=04.4平稳过程的谱密度5/5/202327第27页，共44页，2023年，2月20日，星期三因此，是平稳过程，且F(x)为其谱函数。2、谱密度的物理意义设x(t)为一确定性功率信号，由“信号与系统”可知：x(t)在频率处的功率谱密度为设是平稳过程相关函数，如果绝对可积，则4.4平稳过程的谱密度5/5/202328第28页，共44页，2023年，2月20日，星期三证明：可得类似于各态历经性定理的证明令故这就是功率谱密度的物理意义。3、谱密度的性质和计算4.4平稳过程的谱密度5/5/202329第29页，共44页，2023年，2月20日，星期三(1)(2)若(4)设为两个正交的平稳过程(即设为平稳过程谱密度，则为实值非负函数;为实值平稳过程,则(3)则的谱密度为例7、若平稳过程X(t)的谱函数对某a满足则X(t)是任意n次均方可微的。证明：因为4.4平稳过程的谱密度5/5/202330第30页，共44页，2023年，2月20日，星期三由可知是任意n次可微分的。若不是绝对可积，则谱函数不存在。下面引进函数，推广谱密度的概念。称为冲击函数（广义函数）。若连续，则有证明：令4.4平稳过程的谱密度5/5/202331第31页，共44页，2023年，2月20日，星期三则有于是有例8、设平稳过程X的相关函数为求其谱密度。解：4.4平稳过程的谱密度5/5/202332第32页，共44页，2023年，2月20日，星期三4、互谱密度及其性质(1)互谱密度的定义绝对可积,即设是联合平稳过程的互相关函数,如果则称为联合平稳过程的互谱密度。(2)互谱密度的性质1）2）是一对Fourier变换，即4.4平稳过程的谱密度5/5/202333第33页，共44页，2023年，2月20日，星期三3)若X,Y为实过程,则的实部是偶部是奇函数；4)5)函数,虚4.4平稳过程的谱密度5/5/202334第34页，共44页，2023年，2月20日，星期三1、线性时不变系统概念Lx(t)y(t)y(t)=L[x(t)],称L为系统，也称L为算子。若系统L满足：(1)其中为常数,则称L为线性系统;(2)则称L为线性时不变系统;满足(1)和(2)的系统,称为线性时不变系统。4.5线性系统中的平稳过程5/5/202335第35页，共44页，2023年，2月20日，星期三设L为线性时不变系统，为一列信号，若当时有则称L为保持连续性的时不变系统。2、线性时不变系统的脉冲响应函数与频率响应函数(1)频率响应函数设系统L为线性时不变系统，输入为输出为称脉冲响应函数。连续点时，有由为性质知，当4.5线性系统中的平稳过程5/5/202336第36页，共44页，2023年，2月20日，星期三设系统输入为系统的脉冲响应函数为则系统的输出为证明：(2)频率响应函数系统的脉冲响应函数的傅氏变换，称为系统的频率响应函数，记作即4.5线性系统中的平稳过程5/5/202337第37页，共44页，2023年，2月20日，星期三由于两端作傅氏变换，得其中设系统的输入为则系统的输出为为系统的频率响应函数。其中4.5线性系统中的平稳过程5/5/202338第38页，共44页，2023年，2月20日，星期三证明：例8、如图所示R-C电路，试求频率响应函数。RC解：右图系统的方程为令代入得解之得4.5线性系统中的平稳过程5/5/202339第39页，共44页，2023年，2月20日，星期三3、线性时不变系统对随机输入的响应变系统，其脉冲响应和频率响应函数分别为且满足