第十章 数字控制系统

第十章数字控制系统

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT第1页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT10.1数字控制系统数字计算机可用来实现反馈控制系统的控制器或校正网络（控制算法）。由于计算机只能在某个特定时间点采集、接受和处理数据，所以有必要采用一种新方法描述、分析、设计计算机控制系统（数字控制系统）。一、数字控制系统结构数字控制系统是指使用数字信号和计算机对被控对象实施控制的系统。第2页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、数据采样系统用于控制系统的计算机总是通过信号转换环节（Converters）与执行器、测量装置和被控对象连接在一起的。信号是如何转换的？转换后对系统性能有何影响？如何表示和描述这种转换？这些问题是数字控制系统的核心之一。1.信号的采样仅在离散时间点上获得的系统信号称为采样信号（离散信号），用x(kT)表示。连续信号离散信号数学描述：第3页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT2.信号的保持与恢复连续信号离散信号保持器：将离散信号恢复为连续信号。（D/A转换器）其数学描述：零阶保持器为了进一步提高精度，可采用二阶甚至更高阶保持器。信号的数字化及其精度第4页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT10.2数字控制系统的数学模型----脉冲传递函数为了在复数域描述离散信号和离散系统，引入与连续系统复数域描述方法（拉氏变换、传递函数）相似的方法----z变换和脉冲传递函数。一、z变换时域离散信号可以描述为：对其作拉氏变换：定义：这是一个由各幂因式组成的无穷级数。称为函数f(t)的z变换表示了z变换与s变换的关系；同时表示s平面到z平面的映射关系例如，单位阶跃函数ɛ(t)第5页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUITZ变换的求取1.级数求和法：并求出级数和成为紧凑形式。2.部分分式法：第6页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1.

开环系统解：第7页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、脉冲传递函数定义：脉冲传递函数：G2(s)G1(s)脉冲传递函数的求取：第8页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUITG2(s)G1(s)注意：两者的区别。即有无采样器的差别！第9页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT闭环脉冲传递函数G(s)H(s)D(s)第10页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.

闭环系统及其时域相应开环传递函数：闭环传递函数：加入单位阶跃输入时系统输出：采用除法：时域输出：第11页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT阶跃响应曲线连续系统：P.O.=17%,Ts=8.5s;数字系统：P.O.=42%,Ts=17s。第12页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、与脉冲传递函数相关的Matlab函数前面介绍的有关连续系统Matlab函数都有对应的数字系统（离散系统）分析与设计的函数。求传递函数连续→离散foh:三角形近似;imp:脉冲不变；tustin:双线性。第13页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT离散

→连续第14页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT求阶跃响应第15页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT求脉冲响应求任意响应第16页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT10.3数字控制系统的性能分析按照系统稳定性（稳定判据），准确性（稳态误差）和快速性（调节时间、超调量等）进行分析。一、稳定性分析数字系统稳定性分析借鉴连续系统方法---闭环系统特征根位置进行分析。1.S平面和Z平面映射关系左半平面

→单位圆内虚轴

→单位圆第17页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT2.数字控制系统稳定性条件数字控制系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征根位于z平面单位圆内。3.ω变换（双线性变换）与劳斯稳定判据注意到z和ω都是复变量，则有：1）z平面的单位圆周：临界稳定

u=0，即：ω平面的虚轴；2）z平面的单位圆内：稳定

u<0，即：ω左平面；3）z平面的单位圆外：不稳定u>0，即：ω右平面；结论：特征根在Z平面单位圆内外判断

→

特征根在ω平面左右平面判断关于ω使用劳斯稳定判据第18页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为ω域的特征方程，然后应用劳斯判据判定。第19页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1.设闭环离散系统如图所示，T=0.1s，试求系统临界稳定时K的值。解：1）求系统的特征方程：第20页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT列劳斯表：临界增益：第21页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、稳态误差定义：离散系统稳态误差为：离散系统稳态误差的计算：1）求出e*(t)或e(nT)表达式，由定义求ess；3）当输入信号为阶跃、斜坡、加速度信号时，可以利用稳态误差系数法求ess。2）当闭环稳定时，利用Z变换的终值定理求ess

，即：如何确定稳态误差系数，请同学们结合连续系统自行推导！！！第22页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.试求离散系统相应的稳态误差。解：误差脉冲传递函数？闭环系统闭环稳定。第23页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、动态性能—以二阶为例开环脉冲传递函数：闭环特征方程：闭环系统稳定条件：稳定性既与系统自身参数相关，也与采样周期有关。第24页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT数字控制系统合理选择采样周期：太小，计算机开销大；太大，性能变差。闭环系统超调量与采样周期的关系给定系统动态指标获取：通常采用计算机仿真方法，在阶跃响应曲线中直接求取。当然也可以推导与连续系统类似的解析计算公式，请同学们自行研究。第25页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT动态指标的获取：num=[1];den=[110];sysc1=tf(num,den)

Transferfunction:1-------s^2+ssysd1=c2d(sysc1,1,'zoh')Transferfunction:0.3679z+0.2642

----------------------z^2-1.368z+0.3679sysd2=feedback(sysd1,[1])Transferfunction:0.3679z+0.2642-----------------z^2-z+0.6321

T=[0:1:20];step(sysd2,T)gridP.O.=40%,Ts=16s第26页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT10.4数字控制系统的校正设计数字控制系统校正设计就是根据控制指标要求设计供计算机实现的控制器。控制器设计方法较多，本节介绍连续-离散法、z平面根轨迹法和数字PID法。其它方法在后续课程介绍。一、连续—离散法连续—离散法（Gc(s)—D(z)法）是先按照第九章介绍的连续系统设计方法针对Gp(s)设计合适的Gc(s)，再依据选定的采样周期T将Gc(s)转换为D(z)。连续系统得到：离散控制器为：第27页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1.被控对象为：设计要求：相位裕度45°，截止频率ωc=125rad/s。按照上一章介绍的方法，可以设计出满足性能指标要求的超前校正网络：若T=0.001s根据得需要说明的是：采样周期不同，数字控制器D(z)也不同；一般情况下采样周期选择为：为系统带宽第28页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT第29页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、Z平面根轨迹法请同学们自学教材P641--644三、数字PID控制器PID控制是工程上普遍使用的控制器，同样广泛使用在数字控制系统中。针对不同的控制对象，采用不同的P、I、D组合，整定PID的参数。详细设计问题将在后续专业课程介绍。这里仅介绍PID的数字化实现。连续系统PID控制器传递函数：它的数字化实现为：微分以后向差分近似：积分以前向差分近似：数字PID脉冲传递函数：时域形式：第30页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.设计举例----无人机机翼控制第31页，共36页，2023年，2月20日，星期四

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT控制系统结构图设计指标：超调量小于5%；调节时间小于1s。采样周期：T=0.1s控制对象脉