抽样与抽样分布详解

抽样与抽样分布详解演示文稿目前一页\总数九十一页\编于二十三点优选抽样与抽样分布目前二页\总数九十一页\编于二十三点第5章抽样与抽样分布5.1抽样调查概述5.2抽样估计的原理5.3抽样分布5.4SPSS在概率论中的应用目前三页\总数九十一页\编于二十三点5.1抽样调查概述目前四页\总数九十一页\编于二十三点抽样调查：按照一定的规则从总体中取出一部分单元组成一个样本，并收集样本的数据资料的过程，简称为抽样。样本：按照一定的抽样规则从总体中抽取的一部分单位组成的集合。根据抽样的原则不同，抽样方法有随机抽样和非随机抽样两种。随机抽样：根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样非随机抽样：研究人员有意识地选取样本单位，样本单位的选取不是随机的。目前五页\总数九十一页\编于二十三点随机抽样的特点:按一定的概率以随机原则抽取样本；抽取样本时，使每个单位都有一定的机会被抽中。每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的；当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率。目前六页\总数九十一页\编于二十三点5.1.1简单随机抽样简单随机抽样：从总体N个单位中抽取n个单位作为样本时，使得每一个总体单位都有相同的机会(概率)被抽中也称纯随机抽样是抽样调查中应用最多的方法之一也是最基本的抽样方法之一目前七页\总数九十一页\编于二十三点简单随机抽样抽取元素的具体方法有：重复抽样：从总体中抽取一个单位并加以计量后，把这个单位放回到总体中再抽取第二个单位，直到抽取n个单位为止；不重复抽样：一个单位被抽中后不再放回总体，然后再从所剩下的单位中抽取第二个单位，直到抽出n个单位为止。目前八页\总数九十一页\编于二十三点特点：简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本；用样本统计量对目标量进行估计比较方便。局限性：当N很大时，不易构造抽样框；抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难；没有利用其他辅助信息以提高估计的效率。目前九页\总数九十一页\编于二十三点5.1.2分层抽样分层抽样：在抽样之前先将总体的单位按某种特征或某种规则划分为若干层（类），然后从不同的层中独立、随机地抽取一定数量的单位组成一个样本，也称分类抽样（stratifiedsampling）。在分层或分类时，应使层内各单位的差异尽可能小，而使层与层之间的差异尽可能大。目前十页\总数九十一页\编于二十三点分层抽样的优点：既可以对总体进行估计，也可以对各层的子总体进行估计；抽样的组织和实施都比较方便；分层抽样的样本分布在各个层内，从而使样本在总体中的分布比较均匀；估计的精度高。目前十一页\总数九十一页\编于二十三点5.1.3系统抽样系统抽样：在抽样中先将总体各单位按某种顺序排列，并按某种规则在一定的范围内随机确定一个起点，然后每隔一定的间隔抽取一个单位，直到抽取n个单位为止，也称等距抽样或机械抽样。从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，然后依次取r+k，r+2k，…，r+(n-1)k优点：简便易行；系统抽样的样本在总体中的分布一般比较均匀，由此抽样误差通常要小于简单随机抽样。缺点：对估计量方差的估计比较困难。目前十二页\总数九十一页\编于二十三点5.1.4整群抽样整群抽样：调查时先将总体划分成若干群,然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，进而对抽中的各个群中所包含的所有个体单位进行调查和观察。特点：抽样时只需群的抽样框，可简化工作量；调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施。缺点：估计的精度较差。目前十三页\总数九十一页\编于二十三点5.2抽样估计的原理目前十四页\总数九十一页\编于二十三点抽样估计：在抽样调查的基础上，利用样本的数据资料计算样本指标，以样本特征值对总体特征值做出具有一定可靠程度的估计和判断。是由部分推断总体的一种认识方法，建立在随机取样的基础上，主要运用不确定的概率估计方法（分布理论、大数定律、中心极限定理和抽样分布理论），其误差可以事先计算并加以控制。其目的是用样本统计量来推断总体参数。目前十五页\总数九十一页\编于二十三点在简单随机重复抽样中，每次抽样都是独立的。如果从总体N个单元中抽取容量为n的样本，随机变量Xi表示第i次抽样的结果，则Xi服从在总体N个单元上均匀取值的多项分布，所以为独立同分布随机变量序列X1,X2,…,Xn和的一个取值，其中目前十六页\总数九十一页\编于二十三点如果总体中具有性质的A单元的比率为π，随机变量Yi=1表示第i次抽样取得的样本单元具有性质A，否则Yi=0，则Yi服从概率为π的两点分布，所以np为独立同分布随机变量序列Y1,Y2,…,Yn和的一个取值，其中关于独立同分布随机变量和的概率分布，大数定律和中心极限定理给出了很好的解释。目前十七页\总数九十一页\编于二十三点5.2.1抽样估计的基本理论概率与概率分布必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果；这种关系通常可以用公式或定律来表示。随机现象（不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象；个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定；大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）

——统计规律性。十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！目前十八页\总数九十一页\编于二十三点1.随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。目前十九页\总数九十一页\编于二十三点2.随机事件随机事件（简称事件）：随机试验的某一个可能结果，常用大写英文字母A、B、……来表示。基本事件（样本点）：不可能再分成为两个或更多事件的事件。复合事件：由简单事件组合而成的事件。样本空间（）：基本事件的全体（全集）。目前二十页\总数九十一页\编于二十三点两个特例必然事件：在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。只有样本空间才是必然事件不可能事件：在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。不可能事件是一个空集（Φ）目前二十一页\总数九十一页\编于二十三点3.随机事件的概率概率：用来度量随机事件发生可能性大小的数值。必然事件的概率为1，表示为P(

)=1不可能事件发生的可能性是零，P(

)=0随机事件A的概率介于0和1之间，0≤P(A)

≤1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。目前二十二页\总数九十一页\编于二十三点概率的古典定义前提：古典概型定义（公式）【例】设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？目前二十三页\总数九十一页\编于二十三点概率的统计定义若在相同的条件下重复进行的n次试验中，事件A发生了m次，当试验次数n很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）目前二十四页\总数九十一页\编于二十三点【例】根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。试验者试验次数正面出现的频率蒲丰40400.5069K.皮尔逊120000.5016K.皮尔逊240000.5005罗曼诺夫斯基806400.4979目前二十五页\总数九十一页\编于二十三点【例】某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？观察年份新生儿数（个）男婴数（个）男婴比例（％）200016248270.509200112056220.516200215127740.512200314077150.508目前二十六页\总数九十一页\编于二十三点主观概率有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似。主观概率——依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小。例如某经理认为新产品畅销的可能性是80％人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据。目前二十七页\总数九十一页\编于二十三点4.概率的性质非负性：对任意事件A，有P(A)≥0规范性：必然事件的概率为1，即：P()=1可加性：若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。目前二十八页\总数九十一页\编于二十三点概率的公理化定义概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明主观概率的确定又具有主观随意性苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义通过规定应具备的基本性质来定义概率公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础目前二十九页\总数九十一页\编于二十三点5.条件概率条件概率：在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)条件概率的一般公式：其中P(B)>0。乘法公式：

P(AB)

＝P(A)·P(B|A)

或P(AB)＝P(B)·P(A|B)目前三十页\总数九十一页\编于二十三点P(A|B)＝在B发生的所有可能结果中AB发生的概率。即在样本空间Ω中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了。一旦事件B已发生ABΩABBAB目前三十一页\总数九十一页\编于二十三点【例】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：①已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；②已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A＝“甲厂产品”，B＝“一级品”，则：P(A)＝0.4，P(B)＝0.64，P(AB)＝0.28①所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率P(A|B)＝0.28/0.64②所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率P(B|A)＝0.28/0.4目前三十二页\总数九十一页\编于二十三点【例】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1＝第一次抽到合格品

A2＝第二次抽到合格品

A1A2＝抽到两件产品均为合格品目前三十三页\总数九十一页\编于二十三点6.事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)＝P(A)，或P(B|A)＝P(B)独立事件的乘法公式：

P(AB)

＝P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有：P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)目前三十四页\总数九十一页\编于二十三点7.随机变量随机变量——表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举连续型随机变量——取值不能一一列举目前三十五页\总数九十一页\编于二十三点8.离散型随机变量的概率分布X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系概率分布具有如下两个基本性质：

pi≥0，i=1,2,…,n；

目前三十六页\总数九十一页\编于二十三点离散型概率分布的表示概率函数：P(X=xi)=pi分布列：分布图：X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn目前三十七页\总数九十一页\编于二十三点离散型随机变量的数字特征数学期望：方差：性质：

目前三十八页\总数九十一页\编于二十三点伯努利试验伯努利试验：每次试验有且仅有两种可能结果。用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”。每次试验中“成功”的概率都是p。n重伯努利试验：将伯努利实验独立地重复进行n次。目前三十九页\总数九十一页\编于二十三点二项分布在n重伯努利试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为X～B(n,p)二项分布的概率函数：二项分布的数学期望和方差：n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）。目前四十页\总数九十一页\编于二十三点二项分布图形p＝0.5时，二项分布是以均值为中心对称p≠0.5时，二项分布总是非对称的p<0.5时峰值在中心的左侧p>0.5时峰值在中心的右侧p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示目前四十一页\总数九十一页\编于二十三点9.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数——概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图形——概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示目前四十二页\总数九十一页\编于二十三点对任意的实数x，函数F(x)＝P{X<x}为随机变量X的分布函数。分布函数满足下述两个条件：0≤F(x)≤1；F(x)是一个单调非减的函数。目前四十三页\总数九十一页\编于二十三点概率密度f(x)的性质概率密度函数f(x)为分布函数的导数。概率密度函数满足下述两个条件：f(x)≥0;

注意，对任意x，f(x)的值并不是一个概率。

目前四十四页\总数九十一页\编于二十三点随机变量X落在区间[a，b）上的概率：即轴上方，概率密度曲线下方，直线X=a和X=b之间的面积。fX(x)abx事件{a≤X≤b}Ω目前四十五页\总数九十一页\编于二十三点连续型随机变量X的数字特征数学期望：方差：性质：目前四十六页\总数九十一页\编于二十三点正态分布X～N(μ,σ2

)，其概率密度为：正态分布的均值和方差均值E(X)=μ方差D(X)=σ2目前四十七页\总数九十一页\编于二十三点正态曲线σ相同而μ不同的正态曲线

2xf(x)μ相同而σ不同的正态曲线f(x)σ较小σ较大x正态曲线的主要特性：关于x=μ对称的钟形曲线；参数μ决定正态曲线的中心位置；参数σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度；以X轴为渐近线，即当x→±∞时，f(x)→0。目前四十八页\总数九十一页\编于二十三点标准正态分布μ＝0、σ

＝1的正态分布，记为N(0,1)。其概率密度φ(x)，分布函数Ф(x)X～N(μ,σ2),则Z～N(0,1

)若Z～N(0，1

)，则有：Ф(-a)=1－Ф(a)P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1标准化标准正态曲线

-a0aφ(z)zΦ(a)目前四十九页\总数九十一页\编于二十三点【例】某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。试求：使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？使用寿命在850～1450小时的灯管占多大比例？以均值为中心，95％的灯管的使用寿命在什么范围内？目前五十页\总数九十一页\编于二十三点解：X＝使用寿命，X～N(1050，2002

)95％的灯管寿命在均值左右392（即658～1442）小时。目前五十一页\总数九十一页\编于二十三点3σ原则|X－μ|>3σ的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]区间内。广泛应用：产品质量控制判断异常情况……目前五十二页\总数九十一页\编于二十三点z分布的α分为点对于给定的α(0<α<1)，称满足条件的点zα为z分布上的α分位点。由z分布概率密度函数的对称性有【例】求z0.05和z0.95。目前五十三页\总数九十一页\编于二十三点正态分布最常用、最重要大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布例如：测量误差，同龄人的身高、体重，棉纱的抗拉强度，设备的使用寿命，农作物的产量…特点是“中间多两头少”由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位正态分布是许多概率分布的极限分布统计推断中许多重要的分布（如χ2分布、t分布、F分布）都是在正态分布的基础上推导出来的目前五十四页\总数九十一页\编于二十三点11.t分布总体随机变量X~N(μ,σ2)，x1,x2,…,xn为取自该总体的n个随机样本，当σ未知时，以样本方差s替代，则是自由度为n-1的t分布，记为t(n-1)。目前五十五页\总数九十一页\编于二十三点t分布的统计特性：t(n-1)分布具有对称性，且以t=0为对称轴，其随机变量取值范围为(-∞,∞)t(n-1)分布期望值为0，方差为(n-1)/(n-3)，即目前五十六页\总数九十一页\编于二十三点t(n-1)分布的形状类似标准正态分布，但由于t(n-1)的方差大于1（当n>3时，(n-1)/(n-3)>1），所以t(n-1)分布比标准正态分布更分散。即t(n-1)的概率密度函数是中央部分较标准正态分布低，而两尾部分则较标准正态分布高。当抽样数目n增大时，t(n-1)的方差越来越接近1，同时t(n-1)分布的形状也越来越接近标准正态分布。理论上，当n→∞时t(n-1)与标准正态分布完全一致。一般认为n≥30就说t(n-1)与标准正态分布非常接近。t分布的统计特性目前五十七页\总数九十一页\编于二十三点t分布的统计特性目前五十八页\总数九十一页\编于二十三点t分布的统计特性对于给定的α(0<α<1)，称满足条件的点tα(n)为t分布上的α分为点。由t分布概率密度函数的对称性有t分布α分为点的求法：对于n≤45的α分为点可查表求得；当n充分大（n>45）时，近似地有目前五十九页\总数九十一页\编于二十三点t分布的统计特性目前六十页\总数九十一页\编于二十三点例题分析

n=9,α=0.05,求t0.05(9)

n=9,α=0.95,求t0.95(9)

n=18,求t0.025(18)及t0.975(18)，使得P(t0.975(18)≤t≤t0.025(18))=0.95

n=50,α=0.05，求t0.05(50)目前六十一页\总数九十一页\编于二十三点二、大数定律与中心极限定理大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果稳定性的一系列定理的总称独立同分布大数定律——设X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)＝μ（i=1,2,…），则对任意小的正数ε,有目前六十二页\总数九十一页\编于二十三点该定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望μ的偏差任意小的概率接近于1。该定律给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。目前六十三页\总数九十一页\编于二十三点伯努利大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的ε>0，有该定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A发生的概率。阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。目前六十四页\总数九十一页\编于二十三点2.中心极限定理独立同分布的中心极限定理——设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的μ和方差σ2（i=1,2,…），当n→∞时，或（注意：若两个随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)）目前六十五页\总数九十一页\编于二十三点上述定理表明：独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其n项总和的分布趋近于正态分布。可得出如下结论：不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，就趋于正态分布。该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。目前六十六页\总数九十一页\编于二十三点例题分析【例】有一测绘小组对甲乙两地之间的距离采用分段测量的方法进行了测量，将甲乙之间的距离分成为100段。设每段测量值的误差（单位：cm）服从区间（－1，1）上的均匀分布。试问：对甲乙两地之间距离的测量值的总误差绝对值超过10cm的概率是多少？解：设Xi＝第i段测量误差（i=1,2,…），由于Xi服从均匀分布，E(Xi)＝μ＝0，D(Xi

)＝σ2＝[1－(－1)]2/12=1/3。根据上述中心极限定理，可得，总误差Y＝ΣXi～N(0,100/3)（其中：U（a,b）,均匀分布E(Xi)=(a+b)/2D(Xi

)=(b-a)2/12)目前六十七页\总数九十一页\编于二十三点棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理设随机变量X服从二项分布B(n,p)的，那么当n→∞时，X服从均值为np、方差为np(1-p)的正态分布，即：该定理为用频率估计概率奠定了基础。或：目前六十八页\总数九十一页\编于二十三点为什么很多随机现象呈正态分布自然界和社会经济中，很多现象可以视为众多独立随机变量之总和。例如：一个城市的居民生活用电总量是大量相互独立居民户用电量的总和。炮弹射击的误差，也可以看作是很多因素引起的小误差之总和。由中心极限定理可知，即使各单个随机变量的分布并不明确，但只要它们存在有限均值和方差，这个众多独立的随机变量之总和的分布就趋近于正态分布。目前六十九页\总数九十一页\编于二十三点5.2.2抽样估计的基本概念总体参数：总体的数量特征，简称为参数，一般是未知的常数。样本统计量：根据样本资料计算出来的，其值随着样本的不同而变化，是一个关于样本的随机变量。总体参数样本统计量总体平均数：μ样本平均数：总体比率：π

样本比率：p总体方差：σ2

样本方差：s2

总体标准差：σ样本标准差：s

目前七十页\总数九十一页\编于二十三点抽样误差是指抽样估计的过程中要重点控制的对象，主要分为三种：抽样实际误差：某一次具体抽样中，样本统计量的值与总体参数真实值之间的偏差。

抽样平均误差：样本统计量的所有可能取值与总体指标之间的平均差异程度。当样本统计量的期望恰好等于被估计的总体参数时，其抽样平均误差就是该随机变量的标准差，称为抽样标准差。

抽样极限误差：一定概率下抽样误差的可能范围，说明样本统计量在总体参数周围变动的范围，记作Δ，又称为允许误差。

目前七十一页\总数九十一页\编于二十三点5.3抽样分布目前七十二页\总数九十一页\编于二十三点5.3.1总体分布总体中各元素的观察值所形成的分布；分布通常是未知的；可以假定它服从某种分布。总体目前七十三页\总数九十一页\编于二十三点5.3.2样本分布一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本目前七十四页\总数九十一页\编于二十三点5.3.3抽样分布抽样分布：是由来自某总体样本的n个观测值计算的统计量的概率分布，是一种理论分布。从同一个总体中重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。来自同一总体中容量相同的所有可能样本。提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据。目前七十五页\总数九十一页\编于二十三点例题分析【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差及分布如下：总体分布14230.1.2.3均值和方差目前七十六页\总数九十一页\编于二十三点例题分析现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为：所有可能的n=2的样本（共16个）第一个观察值第二个观察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4目前七十七页\总数九十一页\编于二十三点例题分析计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布：16个样本的均值（）第一个观察值第二个观察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5目前七十八页\总数九十一页\编于二十三点例题分析的分布律1.01.52.02.53.03.54.0