【数学】3年高考2年模拟：第七章不等式

第七章不等式

第一部分三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

2x+y43,

x+2y<3

1.(2010上海文)15.满足线性约束条件《

x>0,

jNO

)

(B)

(A)1.I(C)2.

答案C

解析：当直线2=1+了过点B(l,l)时，z最大值为2

x+3y—3>0,

2.(2010浙江理)(7)若实数x,y满足不等式组<2x-y—3WO,且x+y的最大值为9,

X—/?7)'+1>0,

则实数机=

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

答案C

解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C,本

题主要考察了用平血区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中

档题

3.(2010全国卷2理)(5)不等式-------->0的解集为

x-1

(A){巾<-2,或x>3}(B)[x\x<-2,或lVx<3}

(C){x|-2<x<l,或x>3}(D){止2Vx<1,或l〈x<3}

【答案】C

[命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

x*-X-6^(X-3)(X+2)/〜、、/,、

>0<=>-A-->0=i、x-A3)(x+2)(x-l)>0,A

【解析】x-l-------------(x—l)---------------------------------利用数轴穿根

法解得-2<X<1或x>3,故选C

x>-l

4.(2010全国卷2文)(5)若变量x,y满足约束条件<则z=2x+y的最大值为

3x+2y<5

(A)1(B)2(C)3(D)4

【解析】C：本题考查了线性规划的知识。

•••作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，

即为(1,1),当X=l，y=]时Zmax=3

5.(2010全国卷2文)(2)不等式七口<0的解集为

x+2

(A){x|-2<x<3](B){x|x<-2](C){]上<-2或%>3}(D)|x|x>3]

【解析】A：本题考查了不等式的解法

•••x+2，,-2<x<3,故选A

x—2x—2

---->-----

6.(2010江西理)3.不等式xx的解集是()

A.(0,2)B.(-oo,0)C.(2,+oo)D.(-oo,0)u(0>+℃>)

【答案】A

X—2

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.二—<0,解得A。

x

或者选择x=l和x=-l,两个检验进行排除。

2x+y-6>0,

7.(2010安徽文)(8)设x,y满足约束条件,x+2y-6W0,则目标函数z=x+y的最大值是

y>0,

(A)3(B)4(C)6(D)8

答案C

［解析］不等式表示的区域是一个三角形,3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2),目标函数z=x+y

在(6,0)取最大值6。

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区

域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.

8.(2010重庆文)(7)设变量满足约束条件

x>0,

<x-y>0,则z=3x-2y的最大值为

2x-y-2<0,

(A)0(B)2

(C)4(D)6

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线Z=3x-2y过点B时，在y轴上截距最小，z最大

由B(2,2)知Zm”=4

x+3y-3三0,。

2x-y-3W0,则融的最大值为"

{x-y+1-O,〃

(A)9(B)—

7

7

(C)1(D)—

15

解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A,本题主要考察了用平面区域二元次

不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题

10.(2010重庆理数)(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是

9H

34C-

B.2-D.2

答案B

解析：考察均值不等式

2

x+2y

x+2y=8-x•(2y)>8-,整理得(x+2),)2+4(x+2y)-3220

2

即(x+2y-4)(x+2y+8)20,又x+2y>0,/.x+2y>4

y>Q

11.（2010重庆理数）（4）设变量x,y满足约束条件，x-y+l>0,则z=2x+y的最大值

x+y-3<0

为

A.—2B.4C.6D.8

答案C

解析：不等式组表示的平面区域如图所示

当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6

x+y-ll>Q

12.（2010北京理）（7）设不等式组＜3x-y+3>0表示的平面区域为D,若指数函数

5x-3y+9<0

y=优的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是

(A)(1,3](B)⑵3](C)(1,2](D)[3,+oo]

答案：A

设a>/?>c>0,则2/+'+1

13.(2010四川理)(12)-10ac+25c2的最

aba(a-b)

小值是

（力）2")4(C)275（。）5

解析：2a2d--------1---------一10〃c+25c2

aha(a-b)

=(a-5c)2+/-ab+ab+--{-----------

aba(a-b)

=(a-5c)2+tzZ?+—+a(67-Z?)H----------

aba(a-Z?)

20+2+2=4

当且仅当a—5c=0,ab=\,a(a—6)=1时等号成立

万F)

如取a=叵，b=,c=满足条件.

25

答案：B

14.(2010四川理)(7)某加工厂用某原料由甲车间加工出4产品，山乙车间加工出8产品.

甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克力产品，每千克力产品获利40元，

乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克8产品，每千克〃产品获利50元.

甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超

过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为

(力)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

A

(皮甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

、、8()

9甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱7展\

(〃)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

答案：B.....飞、

解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱：''

x+y<70.........................V\\7()A

b；8\*

贝k10x+6y<480

x,yeN

目标函数z=280x+300y

结合图象可得：当x=15,y=55时z最大

本题也可以将答案逐项代入检验.

x+y<3,

15.(2010天津文)(2)设变量x,y满足约束条件《x-y>-l,则目标函数z=4x+2y的最大

J21，

值为

।\|x4-y^3

。卜一2x一

(A)12(B)10(C)8(D)2

【答案】B

【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知,

当目标函数过直线y=l与x+y=3的交点(2,1)时z取得最大值10.

17.(2010全国卷1文)(10)设Q=logs2,/?=In2,c=5二则

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

答案C

【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小

的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.

【解析1】a=log32=-----,b=In2=------，而log,3〉log,e>1,所以a<b,

log23log2e

c=5而石〉2=log24>log23,所以c<a,综上c<a<b.

【解析2】炉log2——7-,Z>=ln2=——-,1clog；<log：<2,—<—<1；

咽log；2log；log；

-1111

片5-=-产V-——,c〈a〈b

V5V42

18.(2010全国卷1文)(3)若变量满足约束条件<x+yNO,则z=x-2y的最大

x—y—2<0,

值为

(A)4(B)3(C)2(D)l

答案B

【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域(如右图)，z==—gz,由图可知，当直线/经过点

时，z最大，且最大值为Zmax=1—2x(-1)=3.

2

19.(2010全国卷1理)(8)设a=log32,乐ln2,片5,则

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

分析：本小题以指数，对数为载体，主要考查指数、对数函数的性质，实数大小的比较以及换底公式等知识.

1]]外22

解：:52<—=log3<log?2=------v------c<a<b.故选C.

2In31

20.(2010全国卷1理)

(3)若变量满足约束条件卜+y>0,则z=x-2y的最

卜-尸240,

大值为

(A)4(B)3(02(D)l

分析:本小题主要考查线性规划中利用约束条件作出可行域

并能求出目标函数的最值问题。

解：作出可行域，当目标函数z=x-2y通过两直线

x+y=0,%-了一2=0的交点(1,-1)时取得最大值，

••・Zg=l-2・(-l)=3.故选B

11

21.(2010四川文)(11)设a>b>0,则/9+一+_^——-的最小值是

aba\a-b)

(7})1(B)2(03(〃)4

答案：D

.11

解析：ClH-------1-------------

aha^a-h)

11

-a2—abz+cibkH-------1--------------

aba(a-b)

^ab+-+a{a-b)+―5—

aba(a—b)

>2+2=4

当且仅当ab=l,a(a—t>)=1时等号成立

如取a—\[2,b—YZ满足条件.

2

22.(2010四川文)(8)某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出3产品.

甲车间加工•箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.

乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克8产品，每千克6产品获利50元.

甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超

过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为

(A)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

(8)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

(O甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

(〃)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

答案：B

解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱

x+yW70

贝”10x+6yW480

x,yeN

目标函数z=280x+300y

结合图象可得：当x=15,y=55时z最大

本题也可以将答案逐项代入检验.

23.（2010山东理）

x-y+2>o,

（10）设变量x、j•满足约束条件，x-5y+10M0,,则目标

x+^-8<0,

为数-3X-4T的最大值和最小值分别为

（A）3,-11（B）-3：-11

（C）1L-3（D）ll,3

【答案】A

【解析】画出平面区域如图所示：

可知当直线z=3xKy平移到点（5,3）时，目标函数z=3x*4y取得最大值3；当直线z=3x-4y

平移到点（3,5）时，目标函数z=3x4y取得最小值-11,故选A.e

【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x4y

的几何意义是解答好本题的关隆."

X>1

24.（2010福建理）8.设不等式组<x-2y+3>0所表示的平面区域是Q,,平面区域是与与a

y>x

关于直线31一4丁一9=0对称,对于Q,中的任意一点A与R中的任意一点B,\AB\的最小

值等于（）

2812

A.—B.4C.—D.2

55

【答案】B

【解析】由题意知，所求的IA8I的最小值，即为区域a中的点到直线3x—4y—9=0的距

离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1,1）至憧线3%-分-9=0的距离最小，故IABI的最小值为

13x1-4x1—91,匕亡斗门

2x--------------------=4,所以选Bo

5

二、填空题

2-x

1.（2010上海文）2.不等式——>0的解集是________________

x+4

【答案】{xl-4<x<2}

解析：考查分式不等式的解法入^>0等价于（x-2）（x+4）<0,所以-4〈x〈2

x+4

x+2y<4,

2.（2010陕西文）14.设x,y满足约束条件<x—yWl,,则目标函数z=3x—y的最大值

x+2>0,

为.

【答案】5

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，

当直线z=3x-y过点C（2,1）时，在y轴上截距最小

此时z取得最大值5

3.（2010辽宁文）（15）已知—l<x+y<4且2<x—y<3,

则z=2x-3y的取值

是.

（答案用区间表示）

【答案】（3,8）

x+y>-1

A+-v<4表示的平面区域，即可求解.

【解析】填（3,8）.利用线性规划，画出不等式组

x-y>2

x-y<3

4.（2010辽宁理）（14）已知—l<x+y<4且2<x—y<3,则z=2x—3y的取值范围

是（答案用区间表示）

【答案】（3,8）

【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。

【解析】画出不等式组4,表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y,当直

2<X—y<3

线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3,1）时，目标函数有最小值z=2X3-3X1=3；当直线经

过x+y=-l与x-y=3的焦点A（1,-2）时,目标函数有最大值z=2X1+3X2=8.

5.（2010安徽文）（15）若a>0力>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成

立的是（写出所有正确命题的编号）.

①aOWl；@yfci+\[by/2,；③ci~+b~2；

④/+八3；⑤

ab

【答案】①，③，⑤

【解析】令。=》=1,排除②②；ill2=（2+/?>2y[abah<1f命题①正确；

a2+b2=（a+b）2-2ab=4-2ab>2,命题③正确；-+-=^-=—>2,命题⑤正

ababab

确。

6.（2010浙江文）（15）若正实数X,Y满足2X+Y+6=XY,则XY的最小值是-

t答案】18

7.（2010山东文）（14）已知且满足2+春=1,则xy的最大值为.

【答案】3

8.（2010北京文）（11）若点p（m,3）到直线4x-3y+l=0的距离为4,且点p在不等

式2x+yV3表示的平面区域内，贝I」m二,

【答案】-3

9.(2010全国卷1文)(13)不等式J'=？>0的解集是_________________,

x~+3x4-2

【答案】{x|-2<x<-l,或x>2\

【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法

【解析】：——>007二——->0«(x-2)(x+2)(x+l)>0,数轴标根

f+3x+2(x+2)(x+l)'八八/

得：卜卜2cx<-1,或x>2}

10.(2010全国卷1理)(13)不等式，2全+1一%w1的解集是,

分析：本小题主要考查无理不等式的解法.

解：由J21+1-X41,：.14盾+1M1+x,两边平方解得04x42,故不等式的解束是{x|0Wx42}.

A<x,

11.(2010湖北文)12.已知：2x-y,式中变量x,y满足的束条件《x+y?l,则z的最大值

x<2

为o

【答案】5

【解析】同理科

12.(2010山东理)

(14)若对任意x>0,----W以恒成立，则点的取值范围是.

%+3x4-1

【答案】a>l

5

所以x+122(当且仅当x=l时取等号)，所以有

【解析】因为x>0,

X

x1/1一】enx的里■+宿斗1如八、1

2-2UJIS/J,

X+3x+l-x+l+32+35'"\+3X+1^'5…亏

X

【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力.属中档

题。

13.(2010安徽理)

11、命题对任何xeR，|x-2|+k-4|>3"的否定是_______.

11存在xeR,使得|x-2|+|x-4|$3

【解析】全称命题的否定式特称命题，全称量词“任何”改为存在重词“存在并把结论否定.

【误区警示】这匏可题的常见错误是没有把全称黛词改为存在量词，或者■对于的否定用“<"了这里

就有注意重词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”

2x-y+2>0

14.(2010安徽理)13、设x,y满足约束条件18x-y-4W0,若目标函数

x>0,y>0

Z=abx+y[a>0/>0)的最大值为8,则a+b的最小值为。

【答案】4

【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

(0,0),(0,2),(g,0),(1,4),易见目标函数在(1,4)取最大值8,

所以8=。匕+4nab=4,所以。+〃22\[ab-4,在。=/?=2时是等号成立。所以a+b

的最小值为4.

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区

域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得=4,要想求。+b

的最小值，显然要利用基本不等式.

yWx,

15.(2010湖北理)12.已知z=2x-y,式中变量x,y满足约束条件<x+y21,,则z的

x<2,

最大值为.

【答案】5

【解析】依题意，画出可行域(如图示),

则对于目标函数y=2x-z,

当直线经过A(2,-1)忖，

z取到最大值，Zmax=5.

16.(2010湖北理)15.设a>0,b>0,称当2为a,b的调和平均数。

a+b

如图，C为线段AB上的点，且AC=a,CB=b,。为AB中点，以AB为直

径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD,AD,BD。过点C作0D的垂线，垂足为

Eo则图中线段0D的长度是a,b的算术平均数，线段的长度是a,b的几何平均数，线

段—的长度是a,b的调和平均数。

【答案】CDDE

【解析】在RtaADB中DC为高，则由射影定理可得CC'ACCB，故C£>=疝，即CD

长度为a,b的几何平均数，将0C=a-i=i,CD=&,。。=*代入

222

ODCE=OC-CD可得CE=±d而故0E=JOC'-CE、="也,所以

a+b2(a+b)

ED=OD-OE=—,故DE的长度为a,b的调和平均数.

a+b

*2，

17.(2010江苏卷)12、设实数x,y满足3Wx/W8,4W——W9,则的最大值

yy

是。

【答案】27

【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。

1*2111,丫21丫,

(—)2e[16,81],—e—=(—)2--e[2,27],下的最大值是27。

)'xy83yyxyy

三、解答题

1.(2010广东理)19.(本小题满分12分)

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物

6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单

位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的

碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，

并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，贝iJz=2.5x+4y。

可行域为

12x+8y>64

6x+6y>42

6x+10y》54

x20,xGN

y>0,yWN

即

3x+2y216

x+y/7

3x+5y227

x20,xGN

y20,yGN

作出可行域如图所示:

经试验发现，当x=4,y=3时:花费最少，为z=2.5x+4y=2.5X4+4X3=22元.

2.（2010广东文）19.（本题满分12分）

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，

6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单

位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的

碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求,

并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F,则F=2.5x+4y,

山题意知：

r12x+8y>64

6x+6y>42

6x+10y>54

[x>0,y>0

画出可行域:

5F

变换目标函数：y=—二x+一

-84

当目标函数过点A,即直线6x+6”42与6x+10y=54的交点（4,3）,

F取得最小.

即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位

的午餐和3个单位的晚餐.

3.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称仝2为a,b的调和平均数。如

a+b

图，C为线段AB上的点，且AC=a,CB=b,0为AB中点，以AB为直径

做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于Do连结0D,AI）,BDo过点C

作0D的垂线，垂足为Eo则图中线段0D的长度是a,b的算术平均数,

线段的长度是a,b的几何平均数，线段—的长度是a,b的调和平均数。

【答案】CDDE

【解析】在RtZ\ADB中DC为高，则由射影定理可得CD。=4CCB,故CC=而，即CD

长度为a,b的几何平均数，将OC=a-*=i,CD=M,。。=史代入

222

ODCE=OC-CD可得CE=^■强故0E=yj0C2-CE2=—,所以

a+h2（。+b）

ED=OD-OE=—,故DE的长度为a,8的调和平均数.

a+b

2009年高考题

第一节简单不等式及其解法

一、选择题

1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是

A.p：a+c>b+d,q：a>b且c>d

B.p：a>l,b>lq：/(x)=ax-b(a>0,且。W1)的图像不过第二象限

C.p:x=lzq：x=x

D.p:a>lzq：/(%)=k)gaX(a>0,月.aWl)在(0,+8)上为增函数

答案A

解析由a>b且c>d=>Q+C>b+d,而由o+c>b+d〃>b且c>d,可举反例。选

Ao

2.（2009安徽卷文）”是“4>>且0>4”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件I）.既不充分也不必要条件

答案A

解析易得a且c>d时必有a+c>）+d.若a+c>>+d时，贝ll可能有a>d且c>>，选

Ao

3.（2009四川卷文）已知a,b,c,d为实数，且c>a.则“a>b”是“a-c>b-d”

的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析显然，充分性不成立.又，若。一，>6—4和。>"都成立，则同向不等式相加得

a>b

即由“a—c>b—d"=>ua>bn

4.（2009天津卷理）0<5<1+。，若关于x的不等式（x-8）2>（ax）2的解集中的整数恰

有3个，则

A,-l<a<0B,0<«<1C.1<a<3D.3<a<6

答案c

5.（2009四川卷理）已知a,b,c,d为实数，且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）

答案B

解析a>ba—c>b-d；-c>b—d=>a>b+c—d>b,故选择B。

解析2：令a=2,匕=l,c=3,d=-5,则a-c=-l<b-d=3-（-5）=8；由

a-c>8-d可得，a>b+（c-d）因为c>d,则c-d>0,所以a>b。故"a>b”

是“a-c>b-d”的必要而不充分条件。

6.（2009重庆卷理）不等式k+31Tx-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值

范围为（）

A.（一8,-1]U（4,+8）B.（-<»,—2]U[5,+°«）

C.[1,2]D.（-oo,l]U[2,+8）

答案A

解析因为一4Wx+3-x-lW4对x+3-》一14/一3。对任意x恒成立，所以

。2-3。“即。2一3。？0,解得a"或aW-l

二、填空题

45x

7.（2009年上海卷理）若行列式1X3中，元素4的代数余子式大于0,

789

则x满足的条件是.

Q

答案x>2

3

Q

解析依题意，得：HL）2X（9X-24）>0,解得：x>-

3

三、解答题

8.（2009江苏卷）（本小题满分16分）

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为。元，如果他卖出该产品的单

价为加元，则他的满意度为/如果他买进该产品的单价为八元，则他的满意度

m+a

为」_.如果•个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为4和人2,则他对这两种交

易的综合满意度为J就.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的

单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与

卖出B的综合满意度为九甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为力乙

3

m

⑴求加和h乙关于mA.mB的表达式；当叫=yB时，求证：%产h乙:

3

（2）设加当、机8分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最

大的综合满意度为多少？

⑶记⑵中最大的综合满意度为%,试问能否适当选取机从、加8的值，使得%I2%和

力乙2%同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

解析本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽

象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。

愠=三，廿J告（均43,12],%e[5,20]）

（1）1%+12%+5+3M3+2。

3

-mR2

3,5m

当啊-m0'J',Mp=B

B3%+12%+5

(mB+20)(%+5)，

5B

3

5

B机J=h乙

3.Qm+20(%+5)(%+20)

一团〃+3Bft

5B

3

（2）当=1加8时，

]1

%i=

(m+20)(m+5)20\八5、1

BBZ(1Id---)(1H---)100(—)2+25—+1

由加6e[5,20]得—ef——]>

mB2()5

故当「一=」一即〃4=20,m.=12时,

BA

mB20

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为巫

5

(3)(方法一)由(2)知：/%=把°

°5

,,I~而m、.VlO的m4-12m8+55

由依武力.会R出=可律--A------------S-，

mAmB2

令<-=x,-^-=y/iJx、ye[-,1],即:(l+4x)(l+y)<|.；

%mB4

同理，由%2%=乎得：(l+x)(l+4y)<j

15

另一方面，x、ye[-,1]l+4x>l+4ye[2,5],l+x、l+ye[j,2],

(l+4x)(l+y)2'|,(l+x)(l+4y)?g,当且仅当x=y=；,即加4=m8时，取等号。

所以不能否适当选取相八机B的值，使得蜀2%和坛同时成立，但等号不同时成

立。

方法二：由⑵知儿=会因为3卜=舄^.力.泉.高

I1220V4

:/-36V100

/式+——+115夕+—+25

Nxy

所以，当如去仔2，生N年2时,有如人哼2.

因此,不能取到啊,叫的值，使得h*Mk和hf同时成立,但等号不同时成立.

第二节基本不等式

一、选择题

1.(2009天津卷理)设4>0,匕>0.若百是3"与3"的等比中项，则的最小值为

ab

1

A.8B.4C.1D.-

4

考点定位本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了

变通能力。

答案c

解析因为3"T"=3,所以a+5=l,

a=5=‘时"="成立，故选择C

2

2.（2009重庆卷文）已知。>