第四章矩阵分析及矩阵函数

第四章矩阵分析及矩阵函数第1页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.1矩阵分析定义4.1.1令是的矩阵序列，假如存在一个的矩阵A，，即当时，与无限制的靠近,则称序列收敛到A,记为:4.1.1基本概念第2页，共125页，2023年，2月20日，星期三矩阵序列收敛个一般序列收敛每一个矩阵表示成,并且.第3页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.1.1矩阵序列收敛于矩阵A的充分必要条件是对所有成立。第4页，共125页，2023年，2月20日，星期三关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。

定理4.1.2令和是和矩阵，并且分别收敛到A和B,那么：第5页，共125页，2023年，2月20日，星期三推论1

令是收敛于A的矩阵序列，分别是矩阵，那么第6页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.1.1.2矩阵级数假如其收敛到,记

则级数,收敛到.定义4.1.2令是矩阵序列，构造部分和序列第7页，共125页，2023年，2月20日，星期三收敛，当且仅当矩阵序列

收敛，即当且仅当任给,存在，任意正整数只要都有定理4.1.3(Cauchy收敛准则)第8页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.1.4若数项级数收敛，则矩阵级数收敛。

特别地，对于方阵，如果级数收敛，则矩阵幂级数收敛.第9页，共125页，2023年，2月20日，星期三例4.1.2定理4.1.5

设幂级数的收敛半径是，则当方阵的范数时，矩阵幂级数收敛。第10页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.1.2矩阵的微分和积分

4.1.2.1函数矩阵及其极限定义4.1.3如果矩阵的每一个元素都是变量的函数，则第11页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.1.4如果对任意，都有，则称矩阵在时极限为。

第12页，共125页，2023年，2月20日，星期三性质1如果,以下性质成立：（1）

若都是矩阵，则第13页，共125页，2023年，2月20日，星期三（2）

若分别是和矩阵，则（3）

设是常数，则

第14页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.1.5

设函数矩阵中所有元素在处连续，则称在处连续，如果所有元素在内每一点连续,称在内连续，如果在内连续，并且所有的在点右连续，在点左连续，则称在上连续.第15页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.1.2.2函数矩阵的微分

定义4.1.6设函数矩阵中所有元素都在点或某区间内可微，则称矩阵在点或某区间内是可微的,若可微，其导数如下：第16页，共125页，2023年，2月20日，星期三同样，的高阶导数可以定义为类似于数量函数的导数记法，可以将上式记成第17页，共125页，2023年，2月20日，星期三性质2设函数矩阵都可微(1)若为常数，则

（2）若与是同型矩阵，则

第18页，共125页，2023年，2月20日，星期三(3)若是矩阵，是矩阵，则特别的，如果或是常数矩阵或,就有第19页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.1.3函数矩阵的积分

定义4.1.7如果矩阵的每个元素都是区间上的可积函数，则定义在上的积分为第20页，共125页，2023年，2月20日，星期三性质3若是上的可积函数矩阵，则

都是矩阵

；分别是和矩阵，并且与无关.

第21页，共125页，2023年，2月20日，星期三分别是和矩阵，并且与无关。

(4)当对所有在上连续时，就称在上连续,且有

当都在上连续时，则第22页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.1.2.4数量函数关于矩阵的微分在场论中，对数量函数,定义梯度如

下：可以理解为函数对向量的导数。

第23页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.1.8设对有偏导数，定义对向量导数为对向量的导数为第24页，共125页，2023年，2月20日，星期三一般地，假如对每个都有偏导数，则定义数量函数对矩阵的导数为

例4.1.5第25页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.2.1矩阵函数的定义及性质4.2矩阵函数定义4.2.1设一元函数能够展开为的幂函数

其中表示该幂级数的收敛半径.第26页，共125页，2023年，2月20日，星期三当n阶矩阵满足时，把收敛的矩阵幂级数的和称为矩阵函数，记为,即第27页，共125页，2023年，2月20日，星期三如下函数:在整个复平面上都是收敛的.

第28页，共125页，2023年，2月20日，星期三于是矩阵幂级数

都是绝对收敛的。

第29页，共125页，2023年，2月20日，星期三因此它们有和并且有分别称以上三式是矩阵的指数函数，余弦函数和正弦函数。第30页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.2.1

对于方阵的函数容易验证以下性质：

第31页，共125页，2023年，2月20日，星期三第32页，共125页，2023年，2月20日，星期三值得注意的是，在微积分中，我们对指数函数有如下性质,但矩阵函数的第（3）条性质中指出，这样一条性质必须有条件保证。否则，一般不成立。

第33页，共125页，2023年，2月20日，星期三例如，令易证互不相等第34页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.2.2矩阵函数的计算

4.2.2.1待定系数法用待定系数法，计算矩阵函数是基于每个矩阵存在最小多项式的前提下进行的，假设A∈的最小多项式是

（4.2.6）第35页，共125页，2023年，2月20日，星期三多项式可以写成，其中的次数低于的次数。由于有，所以。第36页，共125页，2023年，2月20日，星期三另一方面，我们可以将A的最小多项式(4.2.6)写成

(4.2.7)其中是A的互异的特征值第37页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.2.2在A的谱上确定:设A的最小多项式是，如(4.2.6)所示，如果复函数在A的谱上有下述确定的值。（4.2.8）称在A的谱上确定，并称(4.2.8)中的r个数为在A的谱上的值。第38页，共125页，2023年，2月20日，星期三推论1

每个复多项式在任何的谱上确定。

第39页，共125页，2023年，2月20日，星期三例4.2.1例4.2.2例4.2.3例4.2.4定理4.2.2设和是两个复多项式，两者的次数和系数均可以不同,，则的充分必要条件是和在A的谱上的值完全相同。

第40页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.2.2.2利用Jordan标准形计算矩阵函数

实际过程中，可以将无穷级数求和的问题化为多项式求和问题。第41页，共125页，2023年，2月20日，星期三假设矩阵A的最小多项式是

则有第42页，共125页，2023年，2月20日，星期三当时，可降为低于的幂次，矩阵多项式问题幂级数定义的矩阵函数问题计算的关键：计算。第43页，共125页，2023年，2月20日，星期三下面分A是不同情况进行讨论

(1)A是对角矩阵设则第44页，共125页，2023年，2月20日，星期三(2)A是对角形分块矩阵

其中为A的子方阵

第45页，共125页，2023年，2月20日，星期三由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似故对于上述分块矩阵A，有第46页，共125页，2023年，2月20日，星期三(3)A为一般矩阵时的计算方法

存在方阵使得，因此

。若第47页，共125页，2023年，2月20日，星期三则其中是的重特征根

第48页，共125页，2023年，2月20日，星期三则第49页，共125页，2023年，2月20日，星期三且矩阵A的函数可化为A的Jordan块的函数问题；的函数；计算实质上是计算的Jordan块下面来具体计算Jordan块的函数。第50页，共125页，2023年，2月20日，星期三设则于是（4.2.9）第51页，共125页，2023年，2月20日，星期三首先观察

第52页，共125页，2023年，2月20日，星期三第53页，共125页，2023年，2月20日，星期三为了计算，将展开成Taylor级数

（4.2.10）第54页，共125页，2023年，2月20日，星期三由代入(4.2.10)得到

（4.2.11）当时，.于是(4.2.10)可以写成

（4.2.12）第55页，共125页，2023年，2月20日，星期三将(4.2.12)写成矩阵形式

（4.2.12）第56页，共125页，2023年，2月20日，星期三例4.2.5例4.2.6第57页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.3.1线性常系数齐次微分方程的初值问题

关于n个独立的函数的线性常系数微分方程组可以表示成下面(4.3.1)形式。4.3线性常系数微分方程第58页，共125页，2023年，2月20日，星期三（4.3.1）系数是常数，(4.3.1)满足初值条件

第59页，共125页，2023年，2月20日，星期三利用矩阵乘法，把(4.3.1)写成以下形式

（4.3.2）第60页，共125页，2023年，2月20日，星期三其中称(4.3.2)是一阶线性常系数微分方程组的初值问题。第61页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.3.1.1一阶线性常系数齐次微分方程的初值问题

在(4.3.2)中，假设已知的向量，即(4.3.2)变为（4.3.3）称(4.3.3)是一阶线性常系数齐次微分方程组初值问题.

第62页，共125页，2023年，2月20日，星期三下面来考虑(4.3.3)的解首先，将变量在处展成幂级数形式

：其中第63页，共125页，2023年，2月20日，星期三由方程(4.3.3)得到（4.3.4）从而有第64页，共125页，2023年，2月20日，星期三下面我们来证明(4.3.4)确实是(4.3.3)的解当时,式(4.3.4)是(4.3.3)的解。第65页，共125页，2023年，2月20日，星期三（1）(4.3.3)的解是，并且这个解唯一；（2）解的秩与的取值无关。定理4.3.1在初值问题(4.3.3)中：第66页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.3.1.2齐次方程解的讨论在工程上要求，对任意的及初值初值问题(4.3.5)的解具有性质第67页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.3.2对任意的和，初值问题

的解满足的充分必要条件是矩阵的特征值都有负的实部。

第68页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.3.1所有特征值都有负实部的矩阵称为稳定矩阵

。例4.3.2

推论1对任意的和，初值问题(4.3.5)的解满足的充要条件是A是稳定矩阵。

第69页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.3.2一阶线性常系数非齐次微分方程初值问题

考虑，即一阶常系数非齐次微分方程(4.3.2)的解。

第70页，共125页，2023年，2月20日，星期三常系数线性方程

解的问题，假设是它的一个特解，是它的一般解，那么有定理保证是它对应的齐次方程的解，这个解的特性在初值问题(4.3.2)中同样适用。第71页，共125页，2023年，2月20日，星期三易验证即是微分方程的一般解

令（4.3.8）第72页，共125页，2023年，2月20日，星期三为确定特解，用常向量变易法，设，其中是待定向量，将(4.3.8)代入方程(4.3.2)，得到

第73页，共125页，2023年，2月20日，星期三于是有化简后，得第74页，共125页，2023年，2月20日，星期三(4.3.2)的一般解是

（4.3.9）(4.3.2)的初值点变为时，即

（4.3.10）第75页，共125页，2023年，2月20日，星期三(4.3.10)的解为

例4.3.3第76页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.3.3n阶常系数微分方程的解

设为常数，为已知函数，称

为n阶常系数微分方程，当时称为非齐次的，否则称为齐次的.第77页，共125页，2023年，2月20日，星期三下面考虑n阶常系数线性齐次方程的初值问题

（4.3.11）第78页，共125页，2023年，2月20日，星期三令第79页，共125页，2023年，2月20日，星期三从而有第80页，共125页，2023年，2月20日，星期三令第81页，共125页，2023年，2月20日，星期三初值问题(4.3.11)可以写成

（4.3.12）第82页，共125页，2023年，2月20日，星期三其中系数矩阵A称为(4.3.11)方程的友矩阵。

第83页，共125页，2023年，2月20日，星期三由于初值问题(4.3.11)的解是(4.3.12)解的第一个分量，从而(4.3.11)的解是

第84页，共125页，2023年，2月20日，星期三对于n阶常系数线性非齐次方程的初值问题

(4.3.13)第85页，共125页，2023年，2月20日，星期三可以进行类似讨论，得到(4.3.13)的解是方程组的解的第一个分量.第86页，共125页，2023年，2月20日，星期三其中第87页，共125页，2023年，2月20日，星期三第88页，共125页，2023年，2月20日，星期三(4.3.13)初值问题的解是

因此，求初值问题解的关键在于计算矩阵函数。第89页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.3.4微分方程实例

工程系统中得动态系统的状态是系统的最小一组变量（称为状态变量）.就是描述状态变量的函数,如果知道了在时变量的初值,并且还知道对r个输入（或控制）变量,则在时系统的状态就完全确定，系统的输出变量可以是某一个状态变量，它们是描述人们希望从系统中获得的响应。

第90页，共125页，2023年，2月20日，星期三以n个变量为轴组成的空间叫n维状态空间.设称为系统的状态向量设系统的状态方程是状态向量的一阶微分方程第91页，共125页，2023年，2月20日，星期三对线性定常系统其状态方程为

或都是常数矩阵，其中

（4.3.15）第92页，共125页，2023年，2月20日，星期三例4.3.4k图4.3.1第93页，共125页，2023年，2月20日，星期三图4.3.2第94页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.4.1.Wronski行列式与线性无关解

4.1.1.1函数元矩阵的连续

4.4变系数微分方程组设n维实向量其中如果在带形区域

上连续则称在D上连续.

（4.4.1）第95页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.4.1考虑微分方程组

(4.4.2)其中,,均为n维实列向量，和为已知.

第96页，共125页，2023年，2月20日，星期三如果在(4.4.1)的带形区域D上连续，且存在一个常数L，使式中‖·‖是上的任意范数，则对任给的和初值问题(4.4.2)存在连续可微的解，且解唯一.

第97页，共125页，2023年，2月20日，星期三推论1设分别为阶，阶和阶实矩阵它们都在上连续，则对于任意给定的，,微分方程组的初值问题

(4.4.4)存在连续可微解，且解唯一。

第98页，共125页，2023年，2月20日，星期三推论2设n阶实方阵在区间上连续，则对任意指定的初值问题

（4.4.5）的唯一解是.第99页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.4.1.2wronski行列式与线性无关解定义4.4.1.设是定义在区间上的n维向量函数,其中第100页，共125页，2023年，2月20日，星期三如果存在不全为0的r个常数使等式

成立，则称向量函数线性相关，否则称线性无关.第101页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.4.2设有n个定义在区间上的n维向量函数

(4.4.7)由这n个向量函数构成的行列式记为.第102页，共125页，2023年，2月20日，星期三称为这n个向量函数的Wronski行列式

第103页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.4.2

若n个n维向量函数在区间上线性相关，则它们的wronski行列式第104页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.4.2齐次变系数线性微分方程组的解

4.4.2.1齐次变系数线性微分方程解的性质

考虑区间上齐次变系数线性微分方程组

的解，其中是上的连续n阶实方阵.

(4.4.10)第105页，共125页，2023年，2月20日，星期三其中每一个满足方程

于是寻找S的基，就成为解（4.4.10）的关键。(4.4.10)的解空间为第106页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.4.3设n阶实方阵在上连续，如果(4.4.10)的n个解在上线性无关，则它们的Wronski行列式在上恒不为0，即关键

第107页，共125页，2023年，2月20日，星期三推论3设是在上连续的n阶实方阵，是方程(4.4.10)在上的n个解，如果这n个解线性相关，则其行列式恒等于0，如果这n个解线性无关，则其行列式恒不为0。

第108页，共125页，2023年，2月20日，星期三推论4

在推论3的条件下，若对某个使得则这n个解线性无关.第109页，共125页，2023年，2月20日，星期三4.4.2.2状态转移矩阵及其性质

将时的初始向量分别记为时，该问题的解记为和,则可知初始向量为，解为第110页，共125页，2023年，2月20日，星期三另一方面，是n维向量，可以取n个线性无关初始向量为是的一个标准正交基。第111页，共125页，2023年，2月20日，星期三(1)状态转移矩阵的概念设：是区间上n阶连续实方阵，

是n维列向量。第112页，共125页，2023年，2月20日，星期三定义4.4.3以初值问题的解作为第j列所组成的n阶方阵

称为的状态转移矩阵，或对应系统的状态转移矩阵。（4.4.15）（4.4.16）第113页，共125页，2023年，2月20日，星期三定理4.4.4

初值问题

的解可以用状态转移矩阵唯一表示为

（4.4.17）第