第十二章 动量矩定理张秀洲分享

第十二章动量矩定理张秀洲分享第1页，共53页，2023年，2月20日，星期三§12-1质点和质点系的动量矩§12-2动量矩定理§12-3刚体绕定轴的转动微分方程§12-4刚体对轴的转动惯量§12-5质点系相对于质心的动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程

第十二章动量矩定理本章学习内容第2页，共53页，2023年，2月20日，星期三

理解并熟练计算动量矩；熟练掌握对固定点和对质心的动量矩定理；能正确选择和综合应用这些定理求解质点及质点系（主要是刚体系）的动力学问题；掌握刚体转动惯量的计算；能应用刚体定轴转动和平面运动微分方程求解有关问题。本章学习要求第3页，共53页，2023年，2月20日，星期三§12-1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩对点O的动量矩对z轴的动量矩

代数量，从z轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。第十二章动量矩定理第4页，共53页，2023年，2月20日，星期三

单位:kg·m2/s

2．质点系的动量矩

对点的动量矩对轴的动量矩

即

第十二章动量矩定理§12-1质点和质点系的动量矩第5页，共53页，2023年，2月20日，星期三（1）刚体平移

可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。,（2）刚体绕定轴转动转动惯量第十二章动量矩定理§12-1质点和质点系的动量矩第6页，共53页，2023年，2月20日，星期三

§12-2动量矩定理

1．质点的动量矩定理设O为定点，有：其中:

（O为定点）第十二章动量矩定理第7页，共53页，2023年，2月20日，星期三投影式:因此

称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第8页，共53页，2023年，2月20日，星期三得称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。2.质点系的动量矩定理由于

第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第9页，共53页，2023年，2月20日，星期三投影式:内力不能改变质点系的动量矩。第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第10页，共53页，2023年，2月20日，星期三例12-1已知：,小车不计摩擦。求:小车的加速度。解:由,，得第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第11页，共53页，2023年，2月20日，星期三例12-2：已知,,,,,,不计摩擦.求:（1）

（2）O处约束力

（3）绳索张力，第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第12页，共53页，2023年，2月20日，星期三由

,得解：(1)（2）由质心运动定理第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第13页，共53页，2023年，2月20日，星期三

（3）

研究（4）研究第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第14页，共53页，2023年，2月20日，星期三3．动量矩守恒定律若,若,则常量。例：面积速度定理有心力：力作用线始终通过某固定点，该点称力心。由于,有

常矢量则常矢量；第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第15页，共53页，2023年，2月20日，星期三即常量由图,

因此,常量（1）与必在一固定平面内，即点M的运动轨迹是平面曲线。

称面积速度。

面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒。第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第16页，共53页，2023年，2月20日，星期三求：剪断绳后,角时的.第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理例12-4：两小球质量皆为,初始角速度第17页，共53页，2023年，2月20日，星期三时,

时,由,得解：第十二章动量矩定理

§12-2动量矩定理第18页，共53页，2023年，2月20日，星期三

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程主动力:约束力:即:或或转动微分方程第十二章动量矩定理第19页，共53页，2023年，2月20日，星期三例12-5:已知:，求.解:第十二章动量矩定理

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程第20页，共53页，2023年，2月20日，星期三求微小摆动的周期。例12-6：物理摆（复摆），已知，第十二章动量矩定理

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程第21页，共53页，2023年，2月20日，星期三解：微小摆动时，即：通解为

称角振幅，称初相位，由初始条件确定。周期第十二章动量矩定理

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程第22页，共53页，2023年，2月20日，星期三求：制动所需时间。例12-7：已知：，动滑动摩擦系数，第十二章动量矩定理

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程第23页，共53页，2023年，2月20日，星期三解：

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程第十二章动量矩定理第24页，共53页，2023年，2月20日，星期三例12-8：已知求：.解：因，，

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程第十二章动量矩定理得：第25页，共53页，2023年，2月20日，星期三§12-4刚体对轴的转动惯量

单位：kg·m2

1.简单形状物体的转动惯量计算(1)均质细直杆对一端的转动惯量由，得第十二章动量矩定理第26页，共53页，2023年，2月20日，星期三（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3）均质圆板对中心轴的转动惯量式中：

或§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第27页，共53页，2023年，2月20日，星期三2.回转半径（惯性半径）

或3．平行轴定理

式中轴为过质心且与轴平行的轴，为与轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第28页，共53页，2023年，2月20日，星期三证明：因为：有，得§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第29页，共53页，2023年，2月20日，星期三例12-9：均质细直杆，已知.求：对过质心且垂直于杆的轴的转动惯量。要求记住三个转动惯量：（2）均质细直杆对一端的转动惯量（3）均质细直杆对中心轴的转动惯量则

对一端的轴，有：解：§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理（1）均质圆盘对盘心轴的转动惯量第30页，共53页，2023年，2月20日，星期三4．组合法

求：.例12-10：已知杆长为质量为，圆盘半径为，质量为.§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第31页，共53页，2023年，2月20日，星期三解：§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第32页，共53页，2023年，2月20日，星期三

解：其中由，得：例12-11：已知：，

求.§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第33页，共53页，2023年，2月20日，星期三5．实验法例：求对轴的转动惯量。将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.由其中已知,可测得，从而求得。解：§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第34页，共53页，2023年，2月20日，星期三6.查表法均质物体的转动惯量薄壁圆筒细直杆惯性半径转动惯量简图物体的形状§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理体积第35页，共53页，2023年，2月20日，星期三薄壁空心球空心圆柱圆柱§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第36页，共53页，2023年，2月20日，星期三圆环圆锥体实心球§12-4刚体对轴的转动惯量第十二章动量矩定理第37页，共53页，2023年，2月20日，星期三矩形薄板长方体椭圆形薄板第十二章动量矩定理§12-4刚体对轴的转动惯量第38页，共53页，2023年，2月20日，星期三§12-5质点系相对于质心的动量矩定理1．对质心的动量矩有由于得其中：第十二章动量矩定理第39页，共53页，2023年，2月20日，星期三即：无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。对任一点O的动量矩：第十二章动量矩定理§12-5质点系相对于质心的动量矩定理第40页，共53页，2023年，2月20日，星期三2.相对质心的动量矩定理由于即第十二章动量矩定理§12-5质点系相对于质心的动量矩定理第41页，共53页，2023年，2月20日，星期三质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩.得或第十二章动量矩定理§12-5质点系相对于质心的动量矩定理第42页，共53页，2023年，2月20日，星期三或§12-6刚体的平面运动微分方程第十二章动量矩定理第43页，共53页，2023年，2月20日，星期三以上各组均称为刚体平面运动微分方程.应用时一般用投影式：第十二章动量矩定理第十二章动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程第44页，共53页，2023年，2月20日，星期三

例12-12半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M.求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f,问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?第十二章动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程第45页，共53页，2023年，2月20日，星期三解：其中得纯滚动的条件：即第十二章动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程第46页，共53页，2023年，2月20日，星期三

例12-13均质圆轮半径为r质量为m

，

受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求:质心C的运动规律。第十二章动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程第47页，共53页，2023年，2月20日，星期三由于解:第十二章动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程第48页，共53页，2023年，2月20日，星期三其解为式中运动方程为得得由时第十二章动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程第49页，共53页，2023年，2月20日，星期三质点的动量对于某点（或某轴）的矩称为质点对于该点（或该轴）的动量矩。质点系对于某点O的动量矩等于各质点的动量对点O的矩的矢量和，即质点系对于某轴z的动量矩等于各质点的动量对轴z的矩的代数和，即本章小结第50页，共53页，2023年，2月20日，星期三质点动量矩定理（相对于惯性参考系）：若z轴通过点O，则质点系对于点O的动量矩在z轴上的投影等于质点系对于z轴的动