第十一章波动光学下衍射

第十一章波动光学下衍射第1页，共18页，2023年，2月20日，星期三二、惠更斯—菲涅尔原理

波的衍射现象可以应用惠更斯原理作定性说明，但不能解释光的衍射图案中光强的分布。菲涅耳发展了惠更斯原理，比较园满地解释了这个问题。他提出：从同一波阵面上各点所发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，也可相互叠加而产生干涉现象，即“子波相干”，这一原理称为惠更斯---菲涅耳原理。任意波面S上的任意点发出的次级子波，要同该波面S上其它点发出的次级子波相互叠加发生干涉效应，其结果是加强还是减弱，由各子波的分振动所合成的总振动之振幅的大小来决定。利用这一原理成功地说明了光的衍射现象，使光的波动学说更加完善。

第2页，共18页，2023年，2月20日，星期三光的各种衍射ABSaABSaEPABSaEP0P0L1L2f1f2(a)菲涅尔衍射(b)夫琅和费衍射(c)用透镜实现夫琅和费衍射衍射可区分为两种不同类型1)菲涅耳衍射：

特征为入射光和衍射光两者中至少有一个是非平行光。狭缝到光源或狭缝到屏为有限距离的衍射。如图（a）所示。2)夫琅和费衍射：

特征为入射光，衍射光都是平行光。如图（b）所示。(平行光也可利用透镜来实现，如图（c）所示)本课程只讨论夫琅和费衍射。三、衍射的两种类型第3页，共18页，2023年，2月20日，星期三四、夫琅和费单缝衍射单缝衍射实验φφABaL2L1CPP0SE单缝衍射图样IOsinφ右图是单缝衍射实验装置的示意图。

1。菲涅尔半波带法

设单缝的宽度为a，在平行单色光的垂直照射下，位于单缝所在处的波阵面AB上的子波沿各个方向传播。偏离原来光线进行方向为φ（φ称为衍射角）的一束平行光经过透镜后，聚焦在屏幕上P点。AC面上各点到P点的光程都相等，光程差就产生在AB与AC两平面之间，从单缝的A和B两端点发出的子波到P点的光程差这束平行光线的边缘两条光线之间的光程差为：P点条纹的明暗完全决定于光程差BC的值。

第4页，共18页，2023年，2月20日，星期三在单色光入射单缝的衍射中，以光波长的一半λ/2来划分最大光程差BC，我们总可以在屏上找到一点P，使得BC恰好分成若干段长为λ/2的线段，然后过这些点作AC面的平行面，这些平面将波面AB分成数量相等、面积相等、宽度相等的狭带。由于每个狭带上的两个边缘到达P点的光程差恰好为λ/2故称为半波带。显然两个半波带上的对应点到达P点光程差也为λ/2，亦即相位差为π,经过透镜聚焦又不产生光程差，所以到达P点时相位差仍然是π。因此任何两个相邻波带所发出的光线在P点就完全相互抵销！由此可见，BC是半波长的偶数倍时亦即对应于某给定角度φ

，单缝可分成偶数个波带时，所有波带的作用成对地相互抵消，在P点处出现暗条纹；如果BC是半波长的奇数倍，亦即单缝可分成奇数个波带时，相互抵消的结果，只留下一个波带的作用，在P点处将出现明条纹。

第5页，共18页，2023年，2月20日，星期三2。衍射明纹、暗纹的条件明纹条件：暗纹条件：（k=1,2,3…）（k=1,2,3…）

正、负号表示各级明条纹对称地分布于中央明条纹的两侧，k=1，2，3所对应的条纹分别第一级，第二级，第三级……明条纹。这里特别要指出衍射角为0处永远是极大，是亮纹称为中央明纹。

当衍射角φ很小时，φ与透镜的焦距f以及屏幕上与φ的对应点到中央明条纹中心的距离x有如下关系：可求出第一级暗条纹到O点距离：物理上把两个第一级暗纹中心之间的距离定义为中央明条纹宽度：3。条纹宽度第6页，共18页，2023年，2月20日，星期三第k级明纹的宽度是第k+1级暗纹与第k级暗纹之间的距离：显然，除中央明纹外，其他各级明纹的宽度相等，而中央明纹的宽度是其他各级明纹宽度的两倍！对任意φ来说，波面不能分割成整数条半波带，那么经透镜汇聚后，在屏幕上形成的光强介于它相邻明纹和暗纹的光强之间。在单缝衍射中，各级明条纹的光强是不相等的。中央明纹是波面上所有子波传播到该处振幅的总和，故光强最大，而其他各级光强随φ增大、半波带数增多而显著地减弱。主要是由于未成对的一个半波带面积减少的缘故。

衍射光强分布sinφI4。衍射光谱若以白光入射时，在屏上中央明纹中心仍是白光外，其两侧将出一系列狭窄的彩色条纹，同一级明条纹中，最靠近O处的是紫光，最远处是红光，这表明单缝也会产生色散现象，这种由衍射所形成的彩色条纹称为衍射光谱。

第7页，共18页，2023年，2月20日，星期三当a很小时，条纹分布较宽，光的衍射较明显。当a较宽时，条纹变得狭窄而密集。当a

>>λ时条纹更密集，更狭窄。这样只能观察到一条亮线，它就是单缝通过透镜造成单缝的象，这时光可以当作是直线传播。这表明，只有缝宽很小时，才能观察到衍射图象。例3

水银灯发出的波长为5460Å（546nm）的绿色平行光垂直入射于宽0.437mm的单缝，缝后放置一焦距为40cm的透镜，求在透镜焦面上出现的中央明条纹的宽度，第一级亮纹的位置。解

由公式得中央明条纹宽度：第一级亮纹离开中心点的位置第8页，共18页，2023年，2月20日，星期三五、光栅衍射

1。光栅

是在一块玻璃板上，均匀等距离地刻上许多条细线在一厘米内刻痕可以多达一万条以上。设以a表示狭缝的宽度；b表示相邻两条狭缝之间的距离，即刻痕的宽度；d=a+b称为光栅常数。

光栅是由大量等间距、等宽度的狭缝构成。通常，它当白光通过单缝衍射可以得到彩色光谱，如单缝宽度a足够小时，可使彩色光谱变得很宽，但随着a的减少，光强随之变得很弱，甚至无法看见。为了得到足够宽度，足够强度的衍射光谱，而引入光栅。

光栅衍射条纹是单缝衍射和各狭缝的衍射光发生干涉的总效果。一束平面单色光垂直照射光栅，每条缝所产生的衍射条纹完全相同，位置完全重合，因为单缝衍射条纹的分布只取决于衍射角φ，而与单缝本身在垂直方向的位置无关，因此，在单缝衍射暗纹的位置，光栅衍射仍是暗纹。然而，在单缝衍射的明纹处，由于不同缝所发出的光是相干光，相干叠加的结果在原来明纹区域内，有可能出现暗纹，而且光栅上狭缝数目越多，明纹区内出现的暗条纹就越多，明纹区也就被分成更多条狭窄的细明纹，细明纹也就更亮第9页，共18页，2023年，2月20日，星期三2。光栅公式

光栅衍射φφa+bPP0E如果P点不满足单缝衍射的暗纹条件，任意相邻两狭缝的对应点发出的光线，它们之间的光程差(a+b)sinφ满足：(a+b)sinφ

=±kλ

k=0,1,2,…时，所有各个狭缝的对应点发出的光线，到达P点时的相位都相同，干涉结果相互加强，形成明纹，称为主极大。此式称光栅公式。其中整数k是主极大明纹的的级数。显然，光栅上的狭缝数目越多，明纹就越亮。缺级现象：当某个φ角既适合光栅明纹公式，又适用单缝衍射暗纹公式。这时合成的结果为暗纹，这一现象称为缺级

asinφ

=±k′λ，k′=1,2,…单缝衍射暗纹条件：可见，只有为整数时，才发生缺级现象。例如a+b=3a，则第三级、第六级…主极大明纹不出现。第10页，共18页，2023年，2月20日，星期三例4一波长为600nm的平行光垂直照射到平面光栅上，其第一级谱线的衍射角φ=25°，求：①光栅常数；②最多能看到第几级光谱。光栅能把不同频率的光分开-分光。对于给定的光栅，即光栅常数a+b一定的情况下，明纹的衍射角φ与入射光的波长λ有关。对同一级明纹，波长越长衍射越大，可见红光的衍射角大于紫光的衍射角。因此，光栅能把不同频率的光分开。如果我们用白光照射光栅，除中央明纹仍为白色外，其他各级明纹均为彩色光谱，把由衍射光栅所形成的光谱称为衍射光谱。解①按光栅公式(a+b)sinφ=kλ得②根据(a+b)sinφ=kλ，φ增大，k变大，当φ=90°时，k最大。则（只能取整数部分）

因此，最多能看到第二级光谱。

第11页，共18页，2023年，2月20日，星期三§

3光的偏振一、自然光和偏振光1。自然光

光是电磁波。它由两个互相垂直的振动矢量即电场强度E和磁场强度H表征，它们的振动方向与光的传播方向都垂直，因此光波是横波。光的振动方向用电场强度E表征，因此把E称为光矢量。E的振动称为光振动。

如果光源发出的光无论在哪一个方向的振动都不比其他方向占优势。即从一段时间来看，振动在方向上的分布是随机对称的，则这种光称为自然光。任何取向的一个光矢量都可分解为两个相互垂直方向上的分量。由于自然光的对称性，所有取向的光矢量在这两个方向上的分量的时间平均值彼此相等。因此自然光可分解为两个任意垂直方向上的、振幅相等的独立分振动。

自然光Ix=Iy第12页，共18页，2023年，2月20日，星期三2。偏振光光矢量只限于单一方向振动的光称为线偏振光。简称偏振光或完全偏振光。偏振光的振动方向与传播方向组成的平面称为振动面。点表示振动垂直于振动面，竖线表示振动平行于振动面。

完全偏振光部分偏振光3。部分偏振光波线上点(或线)占优势的光称为部分偏振光。Ix

≠Iy第13页，共18页，2023年，2月20日，星期三二、起偏和检偏

从自然光获得偏振光的过程叫做起偏。最简单的方法是让自然光通过一块偏振片。这块偏振片叫起偏器。它只允许通过某个振动方向的光，这个方向叫做偏振片的偏振化方向，与此方向垂直的振动则被偏振片强烈吸收。因此，自然光通过偏振片后变为线偏振光。起偏PP′PP′偏振片也可用于检偏。利用偏振片可以检查入射光是否为偏振光，偏振片称为检偏器。图11-3-5检偏（a）亮场（b）暗场所以，偏振片既是起偏器，也是检偏器。

第14页，共18页，2023年，2月20日，星期三三、马吕斯定律

一束光强为I0的线偏振光，透过检偏器以后，透射光的光强为：式中α是线偏振光的光振动方向与检偏器偏振方向之间的夹角，该式称为马吕斯定律。

I=I0cos2α表明：通过检偏器的偏振光强度与检偏器的偏振化方向有关。天然光(强度为I0)通过偏振片后强度变为当α=0°或180°时，I=I0，透射光最强。当α=90°或270°时，I=0，透射光强最弱。当为其它值时，光强介于0和I0之间。第15页，共18页，2023年，2月20日，星期三例5以强度I0的自然光垂直入射平行放置的两块偏振片，出射光的强度I是原光强I0的1/8。忽略偏振片对于平行其偏振化方向的振动的吸收，求两偏振片偏振化方向的夹角。（若考虑起偏器对光的自然吸收，则情况如何？）又因解:光强为I0的自然光经过起偏器出射的偏振光的强度为I0/2，若两偏振片的夹角为θ，由马吕斯定律得从检片器出射的光强度为即有θ1=60°,θ2=120°,θ3=240°,θ4=300°。

代入得第16页，共18页，2023年，2月20日，星期三四、旋光现象当一线偏振光通过某些透明物质后，其出射光的振动面发生旋转的现象称为旋光现象，该物质称为旋光物质，它又分为左旋物质和右旋物质。旋转的角度称为旋光度，用φ表示，对于透明固体其中，d是光在物质内传播的距离，单位dm，α称为旋光率，单位为度/dm。对于透明液体其中，d是光在物质内传播的距离，单位dm，〔α〕称为比旋率，它决定与物质的分子结构，单位为度·cm3/（g·dm），C为溶液的浓度，单位为g/cm3，也可用百分比（﹪）作为单位。根据这一公式，可以测量液体的浓度