浙江省杭州市下城区九年级(上)期中数学试卷-

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列函数中，属于二次函数的是（）A.y=2x B.y=−2x−1 C.y=x2+2 D.y=x2−1已知反比例函数y=kx的图象如图所示，则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为（）A.

B.

C.

D.

排水管的截面如图，水面宽AB=8，圆心O到水面的距离OC=3，则排水管的半径等于（）A.5

B.6

C.8

D.4

如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A.23cm

B.3cm

C.233cm

D.1cm

给定下列条件可以确定一个圆的是（）A.已知圆心 B.已知半径

C.已知直径 D.不在同一直线上三点一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A.袋子一定有三个白球

B.袋子中白球占小球总数的十分之三

C.再摸三次球，一定有一次是白球

D.再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，-2＜x＜4，其中正确的是（）A.②③

B.①③

C.①③④

D.①②③④

已知k，n均为非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2-4n的最小值为（）A.−40 B.−16 C.−8 D.0如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A. B.

C. D.一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．

（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．

（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．

（4）连结AE、AF，如图（5）所示．

经过以上操作小芳得到了以下结论：

①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆=33：4π，

以上结论正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=40°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是______．

在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标注的数字外完全相同．现从中随机依次取出两个球（不放回），则取出的两个小球标注的数字之和为6的概率是______．将函数y=-12x2+4x-3化为y=a（x-m）2+k的形式，得______，它的图象顶点坐标是______．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，若以点C为旋转6中心，将△ABC旋转θ度到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE上，则θ等于______．

已知圆O的直径为4cm，A是圆上一固定点，弦BC的长为22cm，当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为______．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）已知二次函数的图象经过点A（-1，0）和点B（3，0），且有最小值为-2．

（1）求这个函数的解析式；

（2）函数的开口方向、对称轴；

（3）当y＞0时，x的取值范围．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）抽屉里放有4只白袜子和2只黑袜子．

（1）从中任意摸出1只袜子，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1只袜子，摸出的两只袜子颜色相同的概率是多少．

（2）若第一次摸出不放回，摸出的两只袜子颜色相同的概率是多少．

如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD=8cm，P是直径AB上的任意一点．

（1）求CD的长；

（2）求阴影部分的面积．

如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2．

（1）求OD的长．

（2）求EC的长．

实验中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长度为30米的篱笆围成已知墙长18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边为x米．

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系，以及其自变量的取值范围．

（2）若垂直于墙的一边的长不小于8米，当x为多少米时，这个苗圃的面积最大？求出这个最大值．

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA=PB+PC；

（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA=PC+2PB．

已知函数y=（n+1）xm+mx+1-n（m，n为实数）

（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；

（2）若它是一个二次函数，假设n＞-1，那么：

①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；

②它一定经过哪个点？请说明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、是一次函数，错误；

B、是一次函数，错误；

C、是二次函数，正确；

D、不是整式函数，错误；

故选：C．

根据二次函数的定义选择正确的选项即可．

本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．2.【答案】D

【解析】解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴x=-=＜0，

即对称轴在y轴的左边．

故选：D．

本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．

本题将二次函数与反比例函数综合在一起进行考查，增加了题目的研究性，也是中考中的热点题型．3.【答案】A

【解析】解：连接OA，

∵AB=8，OC⊥AB，

∴AC=AB=4．

∵OC=3，

∴OA===5．

故选：A．

连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OA的长即可．

本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.【答案】A

【解析】解：∵正六边形的任一内角为120°，

∴∠1=30°（如图），

∴a=2cos∠1=，

∴a=2．

故选：A．

根据正六边形的内角度数可得出∠1=30°，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．

本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．5.【答案】D

【解析】解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；

B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；

C、不能确定，因为圆心的位置不确定，故不符合题意；

D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故符合题意；

故选：D．

根据确定圆的条件即可判断；

本题考查确定圆的条件，记住：已知圆心和半径可以确定圆，不在同一直线上的三点可以确定一个圆；6.【答案】D

【解析】解：∵观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在某一33%附近，

∴白球出现的概率为33%，

∴再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次，正确，其他错误，

故选：D．

观察折线统计图发现随着摸球次数的增多白球出现的频率逐渐稳定在某一常数附近，可以用此常数表示白球出现的概率，从而确定正确的选项．

本题考查了利用频率估计概率的知识，观察随着实验次数的增多而逐渐稳定在某个常数附近即可．7.【答案】B

【解析】解：①∵抛物线的对称轴x=-=1，

∴b=-2a，即2a+b=0，故此结论正确；

②∵由图可知a＜0、c＞0，

∴b=-2a＞0，

则abc＜0，故此结论错误；

③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1，3），

∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论正确；

④抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x=1，

则抛物线与x轴的另一交点为（-2，0），

∴当y＜0时，x＜-2或x＞4，此结论错误；

故选：B．

结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．

本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质．8.【答案】C

【解析】解：∵k，n均为非负实数，2k+n=2，

∴n=2-2k，

∴2-2k≥0，

∴0≤k≤1．

∴2k2-4n=2k2-4（2-2k）=2（k+2）2-16

∴当k=0时，代数式有最小值，

∴代数式2k2-4n的最小值为-8．

故选：C．

先根据题意得出n=2-2k，由k，n均为非负实数求出k的取值范围，再代入代数式2k2-4n求出其最小值即可．

本题考查的是二次函数的最值，根据题意把原式化为二次函数的形式是解答此题的关键．9.【答案】A

【解析】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴

当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y==．

当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y==

∴y与x之间的函数关系

由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．

故选：A．

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．

本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．10.【答案】D

【解析】解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，

∴∠BMD=90°，

∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，

∴∠BNF=90°，

∴∠BMD=∠BNF=90°，

∴CD∥EF，故①正确；

根据垂径定理，BM垂直平分EF，

又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，

∴BN=MN，

∴BM、EF互相垂直平分，

∴四边形MEBF是菱形，故②正确；

如图，连接ME，则ME=MB=2MN，

∴∠MEN=30°，

∴∠EMN=90°-30°=60°，

又∵AM=ME（都是半径），

∴∠AEM=∠EAM，

∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，

∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，

同理可求∠AFE=60°，

∴∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，故③正确；

设圆的半径为r，则MN=r，EN=r，

∴EF=2EN=r，AN=r+r=r，

∴S△AEF：S圆=（×r×r）：πr2=3：4π，故④正确；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

故选：D．

根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；连接ME，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；设圆的半径为r，求出MN=r，EN=r，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到④正确．

本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．11.【答案】95°

【解析】解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=45°，

∵∠D=∠C=40°，

∴∠BAD=180°-40°-45°=95°．

故答案为95°．

利用圆周角定理得到∠ABC=90°，∠D=∠C=40°，再利用角平分线定理得到∠D=∠C=40°，然后根据三角形内角和计算∠BAD的度数．

本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．12.【答案】15

【解析】解：根据题意画树状图如下：

，

共有20种等可能的结果，其中取出的两小球标注的数字之和为6的有4种情况，

所以取出的两小球标注的数字之和为6的概率==．

故答案为：．

根据题意先画树状图，得出所有等可能的结果数和取出的两小球标注的数字之和的种情况数，然后根据概率公式进行计算即可．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示一个实验所有可能的结果，再找出其中某事件所占有的结果数，然后利用概率公式求出这个事件的概率．13.【答案】y=−12(x−4)2+5

（4，5）

【解析】解：y=-x2+4x-3=，

∴该函数图象的顶点坐标为（4，5），

故答案为：y=，（4，5）．

根据配方法可以将题目中的解析式化为顶点式，从而可以写出该函数图象的顶点坐标，本题得以解决．

本题考查二次函数的性质、二次函数的顶点式，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将函数解析式化为顶点式，写出相应的顶点坐标．14.【答案】50°

【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠ABC=65°，

∵△ABC旋转θ°到△DEC的位置，使点B恰好落在边DE

上，

∴CB=CE，∠BCE=∠ACD=θ，∠E=∠ABC=65°，

∴∠E=∠CBE=65°，

∴∠BCE=180°-2×65°=50°，

即θ=50°．

故答案为50°

先根据互余计算出∠ABC=65°，再根据旋转的性质得CB=CE，∠BCE=∠ACD=θ，∠E=∠ABC=65°，则根据等腰三角形的性质得∠E=∠CBE=65°，然后在△BCE中根据三角形内角和定理可计算出∠BCE的度数．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．15.【答案】2+2或2或2-2

【解析】解：当BC为底边时，如图1，连接AO延长与BC交于F，

在△ABO与△ACO中，

，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠BAO=∠CAO，

在△AFB与△ACF中，

，

∴△AFB≌△ACF（SAS），

∴BF=CF=，

∴AF⊥BC，

∴AF为△ABC的高，

在直角△BOF中，

OF===，

∴AF=2+；

当BC为腰时，如图2，连接BO并延长与AC交于F

同理可证得：△ABO≌△CBO，

∴∠ABO=∠CBO，

可得△AFB≌△CBF，

∴AF=CF，

∴AF⊥AC，BF为△ABC的高，

∵OB2+OC2=8，BC2=8，

∴△BOC为等腰直角三角形，

∴∠CBO=45°，

∴CF=BF，

设CF=BF=x，

则2x2=8，

解得：x=2，

∴BF=2，

当如图3所示时，BC为底，

∵AF⊥BC，

∴BF=CF=，

设AF=x，则OF=2-x，

∴（2-x）2+（）2=22，

解得：x=2+或x=2

故答案为：2或2，或2

当BC为底边时，如图1，连接AO延长与BC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△ACO，∠BAO=∠CAO，得△AFB≌△ACF，由全等的性质得，BF=CF，由垂径定理得，AF⊥BC，AF为△ABC的高，利用勾股定理可得OF，可得AF的长；

当BC为腰时，如图2，连接BO并延长与AC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△CBO，∠ABO=∠CBO，得△AFB≌△CBF，由全等的性质得，AF=CF，由垂径定理得，AF⊥AC，BF为△ABC的高，由勾股定理逆定理得，△BOC为等腰直角三角形，∠CBO=45°，由等腰三角形的性质得，BF=CF，利用勾股定理可得BF的长；

当如图3所示时，BC为底，利用垂径定理得BF=CF=，利用勾股定理可得AF的长．

本题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理及其逆定理，分类讨论是解答此题的关键．16.【答案】7-1

【解析】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，

∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，

∴∠FMD=30°，

∴FD=MD=，

∴FM=DM×cos30°=，

∴MC==，

∴A′C=MC-MA′=-1．

故答案为：-1．

根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．

此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．17.【答案】解：（1）由题意得：函数的对称轴为x=1，此时y=-2，

则函数的表达式为：y=a（x-1）2-2，

把点A坐标代入上式，解得：a=-12，

则函数的表达式为：y=-12x2+x+32

（2）a=-12＜0，函数开口向上，

对称轴为：x=1；

（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜-1．

【解析】

由题意得：函数的对称轴为x=1，此时y=-2，则函数的表达式为：y=a（x-1）2-2，即可求解．

本题考查的是二次函数基本性质，函数的开口方向、对称轴、x的取值范围都是函数的基本属性，是一道基本题．18.【答案】解：（1）根据题意画图如下：

∵共有36种等可能的结果，摸出的两只袜子颜色相同的有20种情况，

∴摸出的两只袜子颜色相同的概率为2036=59；

（2）画数状图如下：

∵共有30种等可能的结果，摸出的两只袜子颜色相同的有14种情况，

∴摸出的两只袜子颜色相同的概率为1430=715．

【解析】

（1）（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数和摸出的两只袜子颜色相同的情况数，再利用概率公式即可求得答案．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：（1）如图，连接OC、OD．

∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，

∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，

又∵OC=OD，

∴△OCD是等边三角形，

∴∠OCD=∠AOC=60°，OC=CD=6，

∴CD的长=60⋅π⋅8180=8π3cm

（2）∵∠OCD=∠AOC=60°

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△OCD，

∴S阴影=S扇形OCD=60π⋅82360=32π3．

【解析】

（1）连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD=60°，△OCD是等边三角形，由此即可解决问题；

（2）将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可；

本题考查了扇形面积的计算，弧长公式等知识，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．20.【答案】解：（1）连接BE，

设⊙O半径为r，则OA=OD=r，OC=r-2，

∵OD⊥AB，

∴∠ACO=90°，

AC=BC=12AB=4，

在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2=42+（r-2）2，

r=5，

∴OD=r=5；

（2）由（1）得：AE=2r=10，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

由勾股定理得：BE=6，

在Rt△ECB中，EC=BE2+BC2=62+42=213．

【解析】

（1）设⊙O半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，从而求得线段OD的长；

（2）由勾股定理依次求BE和EC的长即可．

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．21.【答案】解：（1）y=30-2x，（6≤x＜15）；

（2）设矩形苗圃的面积为S

S=xy=x（30-2x）=-2（x-7.5）2+112.5，

∵垂直于墙的一边的长不小于8米，

∴8≤x＜15，

∴当x=8时，S有最大值112，

即当垂直于墙的一边的长为8米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112．

【解析】

（1）由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；

（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．

此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．22.【答案】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，如图1，

∵A、B、P、C四点共圆，

∴∠BAC+∠BPC=180°，

∵∠BPC+∠EPC=180°，

∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，

∴△PCE是等边三角形，

∴CE=PC，∠E=60°；

又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，

∴∠BCE=∠ACP，

∵△ABC、△ECP为等边三角形，

∴CE=PC，AC=BC，

在△BEC和△APC中，

CE=PC∠BEC=∠ACPBC=AC，

∴△BEC≌△APC（SAS），

∴PA=BE=PB+PC；

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2，

∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°

∴