高考复习体系-高考母题A-第一论母题-归纳法、极限、导数与复数 一等奖

东北师大附中高三数学（理科）第一轮复习082数学归纳法（2课时）一、考试要求：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．二、知识点归纳：数学归纳法是证明与自然数ｎ有关命题的一种方法．数学归纳法的证明步骤为：证明当n取第一个n0(例如n0=1或n0=2)时结论正确；假设当且时结论正确，证明当时结论也正确；根据（１）和（２）可知当且时，结论正确．用数学归纳法证明命题的两步作用是：第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，两步缺一不可。3．高考对数学归纳法的考察往往是结合不完全归纳法的，重点是有关数列问题的证明和不等式的证明。三、应用举例：用数学归纳法证明：对所以n∈N均成立。例2．已知数列为其前n项和，计算得,,观察上述结果，推测出计算的公式，并用数学归纳法加以证明．例３．用数学归纳法证明：.例4．设是数列的前n项和是否存在关于正整数n的函数，使对于大于1的正整数n都成立当时，比较与例5．设数列满足当时，证明对所有的有（1）；（2）四、巩固练习1．设{}是正数组成的数列，其前n项和为,并且对于自然数n,与2的等差中项等于与2的等比中项。1)写出数列{}的前三项；2)求数列{}的通项公式；3)令，求。2．数列{}的前n项和(n∈N)，且，1)求常数p的值；2)证明：数列{}是等差数列。3．已知数列{}是等差数列，a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列，前n项和为Tn，若,，1)求{}和{}的通项公式；2)判断是否存在最小的自然数使得大于的一切自然数n,总有成立。4．n∈N,求证：5．n∈N，求证：参考答案：例1．证明：i)当n=1时，左式=，右式=，∴左式=右式，等式成立。ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，即，则当n=k+1时，即n=k+1时，等式也成立，由i)ii)可知，等式对n∈N均成立。小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k与n=k+1的两个等式的差别。n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为。因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式。因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系。例2．解：推测.证明：i)略ii)假设n=k(k∈N)时等式成立，即，则即n=k+1时，等式成立。由i),ii)可知，对一切n∈N，等式均成立。小结：这是一个探索性问题，需要观察（归纳），从而发现规律，得出结论，进而用数学归纳法。例3．证明：i)当n=2时，左式=，右式=，∵，∴，即n=2时，原不等式成立。ii)假设n=k(k≥2,k∈Z)时，不等式成立，即,则n=k+1时，左边=右边=，要证左边>右边，只要证，只要证，只要证4k2+8k+4>4k2+8k+3只要证4>3.而上式显然成立，所以原不等式成立，即n=k+1时，左式>右式。由i),ii)可知，原不等式对n≥2，n∈N均成立。小结：用数学归纳法证明不等式时，应分析与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法。如上题，关键是证明不等式。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。例4．证明：i)n=2时，左式=,右式=，∵，∴左式>右式，不等式成立，n=3时，左式=,右式=，左式-右式=，左式>右式，不等式成立。ii)假设n=k(k∈N,k≥3)时不等式成立，即即n=k+1时，不等式也成立。由i,ii)可知，n>1,n∈N时，都有。小结：注意f(n)的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为。可以通过第一步验证中加强对f(n)的理解，本题中i)验证了n=2,3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）。因而f(2n)的表达式应为f(2n)=1。因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法。例5．解：（Ⅰ）由 由由此猜想的一个通项公式：（Ⅱ）（i）用数学归纳法证明：①当，不等式成立. ②假设当时不等式成立，即，那么也就是说，当 根据①和②，对于所有 （ii）由（i），对 于是巩固练习解：1)由题意，>0,n∈N.令n=1时，，得a1=2.令n=2时，，解得a2=6.令n=3时，，解得a3=10.2）由此猜想=4n-2(n∈N).证明：i)略ii)假设n=k(k∈N).时结论成立，即ak=4k-2,而，又∵ak=4k-2,Sk+1=Sk+ak+1,∴,∴,∴ak+1=2+4k=4(k+1)-2即n=k+1时，结论也成立。由i),ii)可知，对一切n∈N，an=4n-2.3)令cn=bn-1,由，得从而=∴。小结：本题考察了Sn与an之间的关系；另外在归纳假设这一步论证中，应利用去求Sk，而不是利用求和Sk=a1+a2+……+ak。此外，若本题没有归纳法的要求，还可用如下方法。，∴可求a1=2,又Sn+1=,∴an+1=Sn+1-Sn=,整理，得(an+1+an)(an+1-an-4)=0∵an+1+an>0,∴an+1-an=4(n∈N)∴{an}是首项为2，公差为4的等差数列，故an=4n-2.2．解：1)令n=1,S1=1·pa1,即a1=pa1,若p=1,则Sn=nan,令n=2，有S2=2a2,a1+a2=2a2,∴a1=a2与已知矛盾！∴p≠1，从而a1=0,再令n=2,在S2=2pa2,a1+a2=2pa2,∵a1=0.∴(2p-1)a2=0,而a2≠a1,∴a2≠0,从而p=.2)证明：只要证明：存在d，使得对任意n∈N都有an=a1+(n-1)d，取d=a2-a1.而a1=0,∴d=a2,i)n=1时，a1=a1+(1-1)d,等式成立，n=2时，左式=a2,右式=a1+(2-1)d=a1+d=a1+a2-a1=a2等式成立。ii)假设n=k(k≥2,k∈N)时，ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,n=k+1时，Sk=,,∴,即,∴(k-1)ak+1=kak=k(k-1)d∵k≥2,∴k-1>0,∴ak+1=kd=a1+(k+1-1)d,∴n=k+1时，命题成立。由i),ii)可知an=a1+(n-1)d恒成立,{an}为等差数列。小结：本题是一道综合题，注意等差数列的概念。3．解：i)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由已知得方程组得消元，得12q2-20q+7=0.解