第六章机器人动力学

第六章机器人动力学第1页，共22页，2023年，2月20日，星期三6.1

连杆的速度和加速度分析由前面的知识可知将上式两边对时间求导，得或其中第2页，共22页，2023年，2月20日，星期三一、

刚体的速度和加速度将前面的线速度关系两边对时间求导，得线加速度关系根据{A}和{B}不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行简化，简化的结果参见书P74。第3页，共22页，2023年，2月20日，星期三因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系{C}，则角速度和角加速度关系分别为：

注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量，如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置）四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。第4页，共22页，2023年，2月20日，星期三二、旋转关节的连杆运动传递线速度和角速度传递关系为：线加速度和角加速度传递关系为：第5页，共22页，2023年，2月20日，星期三6.2连杆静力学分析当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0）反向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：第6页，共22页，2023年，2月20日，星期三对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：第7页，共22页，2023年，2月20日，星期三6.3.1

转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律和若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为6.3Newton-Euler递推动力学方程第8页，共22页，2023年，2月20日，星期三式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运动时的质量，称为转动惯量

。将它们代入前面的方程，得：令，则有：第9页，共22页，2023年，2月20日，星期三例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量I。解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为dm=ρdx。该微段产生的转动惯量为。因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：第10页，共22页，2023年，2月20日，星期三例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则第11页，共22页，2023年，2月20日，星期三6.3.2

Newton-Euler递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度，惯性张量与作用力矩n之间满足欧拉方程：一、牛顿-欧拉方程第12页，共22页，2023年，2月20日，星期三二、惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张量定义为３×３的对称矩阵：式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。

惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为主惯性矩。第13页，共22页，2023年，2月20日，星期三例：如图所示的1自由度机械手。假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z轴为垂直纸面的方向。解：式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量得到：zmg第14页，共22页，2023年，2月20日，星期三6.4

Lagrange动力学对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。

或

利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为：表示动能，表示势能。第15页，共22页，2023年，2月20日，星期三例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：第16页，共22页，2023年，2月20日，星期三解：连杆1，2的动能分别为：机械手总的动能为连杆1，2的势能分别为机械手总的位能（势能）为第17页，共22页，2023年，2月20日，星期三计算各偏导数将以上结果代入Lagrange方程得第18页，共22页，2023年，2月20日，星期三附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：总势能为代入Lagrange方程得，与前面的结果一致。这里I=IZ=IC+mL2C解：总动能

（θ为广义坐标）zmg第19页，共22页，2023年，2月20日，星期三１.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎样？２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连杆末端L处，结果会怎样？z问题：第20页，共22页，2023年，2月20日，星期三6.5关节空间和操作空间动力学

关节空间动力学方程：

操作空间动力学方程：它反映了操作力F与末端加速度之间的函