第六节线性微分方程解的结构

第六节线性微分方程解的结构第1页，共23页，2023年，2月20日，星期三一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,

例质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系.设时刻t物体位移为x=x(t).1.弹性恢复力物体所受的力有:成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.2.阻力第2页，共23页，2023年，2月20日，星期三据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:第3页，共23页，2023年，2月20日，星期三二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程;二阶线性非齐次微分方程.n

阶线性微分方程的一般形式为

n阶线性齐次微分方程;

n阶线性非齐次微分方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y第4页，共23页，2023年，2月20日，星期三二、线性齐次微分方程的解的结构定理1问题:例：设y1为(1)的解,则y2=2y1是(1)的解,但是,y=C1y1+C2y2不为(1)的通解.(解得叠加原理)

为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.第5页，共23页，2023年，2月20日，星期三证代入方程左边,得第6页，共23页，2023年，2月20日，星期三定义是定义在区间I上的

n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如：

在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如：若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数第7页，共23页，2023年，2月20日，星期三线性相关存在不全为0的使线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:第8页，共23页，2023年，2月20日，星期三例如推论是n阶线性齐次微分方程

的n个线性无关解,

则方程的通解为第9页，共23页，2023年，2月20日，星期三三、线性非齐次微分方程解的结构

是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3则是非齐次方程的通解.证将代入方程①左端,得②①第10页，共23页，2023年，2月20日，星期三是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为因而②是通解.第11页，共23页，2023年，2月20日，星期三例2设

是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用

表示方程的通解.第12页，共23页，2023年，2月20日，星期三例3已知y=x及y=sinx为某二阶线性齐次方程的解,求该方程.解第13页，共23页，2023年，2月20日，星期三例4解(1)由题设可得：解此方程组，得第14页，共23页，2023年，2月20日，星期三(2)原方程为由解的结构定理得方程的通解为第15页，共23页，2023年，2月20日，星期三(非齐次方程之解的叠加原理)第16页，共23页，2023年，2月20日，星期三n阶线性微分方程二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:第17页，共23页，2023年，2月20日，星期三四、小结主要内容2、二阶线性微分方程解的结构定理1、函数的线性相关与线性无关；第18页，共23页，2023年，2月20日，星期三思考题解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数所求通解为第19页，共23页，2023年，2月20日，星期三补充内容可观察出一个特解第20页，共23页，2023年，2月2