2022年全国高中数学联赛几何专题(平面几何解析几何)

2022年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）数学竞赛中的平面几何一、引言1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，中学几何的拓展．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．高中竞赛大纲:几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．二、基本内容全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A里，则集合A称为是凸的.口定义3设M1,M2,,Mn是多边形，如果MM1M2Mn并且当ij时，Mi与Mj没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2,,Mn口定义4如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M.定理1两点之间直线距离最短.口推论三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．定理2三角形的内角之等于180.凸n边形（n3）的口个内角和等于（n2）外角和为180180；（每一个顶点处只计算一个外角）.口702022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用证明如图1,过C作CE//AB，则有ECAA，（两直线平行，内错角相等）得ABCACB（结合律）□ECBB（等量代换）180.（两直线平行，同旁内角互补图1推论三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和．定理3三角形中大边对大角、小边对小角．证明（1）如图2，在ABC中，已知ABAC，可在AB上截取ADAC，则在等腰ACD中有12.（等腰三角形的性质定理）口又在BCD中，2B,（外角定理）更有C12B.（传递性）说明由上面的证明知ABACBC,ABACBC,ABACBC,这样的分断式命题，其逆命题必定成立.证明如下：图2（2）反之，在ABC中，若CB,这时AB,AC有且只有三种关系ABAC,ABAC，ABAC.若ABAC,由上证得CB,与已知CB矛盾.口若ABAC,由等腰三角形性质定理得CB,与已知CB矛盾.所以ABAC.口定理4在ABC与A1B1C1中，若ABA1B1,ACAC11,则AA1BCB1C1.定理5凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是：口ABCCDA180(或BADDCB180).口证明当四边形ABCD内接于圆时，由圆周角定理有口ABCCDA1111ADCABCADCABC180.2222同理可证BADDCB180.反之，当ABCCDA180时，首先过不共线的三点A,B,C作O,若点D不在O上，则有两种可能：(1)D在O的外部(如图3(1)).记AD与O相交于S,连CS,在CDS中有口ASCCDA.又由上证，有ABCASC180，口得180ABCCDAABCASC180,矛盾.口712022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用图3(2)D在0的内部(如图3(2)).记AD的延长线与O相交于S,连CS,在CDS中有口ASCCDA.又由上证，有ABCASC180，口得180ABCCDAABCASC180,矛盾.定理6凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是ABCDBCAD.证明当凸四边形ABCD外切于圆时，设各边的切点分别为P,Q,R,S(如图4)，根据圆外一点到圆的两切线长相等，有APAS,PBBQ,CRQCDRDS.相加APPBCRDRASBQQCDS,得ABCDBCAD.图4反之，若ABCDBCAD,我们引B,C的平分线，因为BC360,所以，两条角平分线必定相交于四边形内部一点，记为N,则N到三边AB,BC,CD的距离相等，可以以N为圆心作口N与AB,BC,CD同时相切，这时AD与N的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．(1)若AD与N相离(如图5(1)).过A作切线与CD相交于D,在ADD中，有口//DDADAD.①口〃但由上证，有ABCDBCAD,又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，口////DD/ADAD/,与①矛盾.口图5722022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用(2)若AD与N相交(如图5(2)).过A作切线与CD的延长线相交于D,在ADD中，有①口//DDADAD.〃但由上证，有ABCDBCAD，口〃又由已知，有ABCDBCAD相减得CDCDADAD，口〃即DDADAD,与①矛盾.口综上得AD与N的相切，即凸四边形ABCD外切于圆.口定理7(相交弦定理)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．定理8(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．定义5从一点A作O的割线交。于B,C,则点A到两交点B,C的线段长度之积ABAC称为点A对O的褰.对于两个已知圆有等褰的点的轨迹，称为两圆的根轴(或等褰轴).口定理9若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．定理10(三角形面积公式)在ABC中，记a,b,c为三边长，p//1(abc)为半周长，R是2外接圆半径，「为内切圆半径，ha是边BC上的高，ra是与边BC及AB,AC的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC的面积S为：口(1)S111ahabhbchc；222111(2)SabinCacinBbcinA；222(3)Sp(pa)(pb)(pc)；(4)Sabc2R2inAinBinC；4R(5)Srp；1ra(bca)；21(7)SR2(in2Ain2Bin2C)．2定理11在RtABC中，有(6)S(1)abc,(勾股定理的逆定理也成立)(2)r2221c(abc),R．22732022年全国高中数学联赛集训暨2022年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用定理12（角平分线定理）设AD是ABC中A的平分线，则.口ABBD.ACDC此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法.证明1（相似法）如图6，延长BA到E，使AEAC，连CE，则BAD1A（已知）21AECACE（外角定理）2AEC，（等腰三角形的两个底角相等）有AD//CE，口BDABAB得.（平行线截割定理）图6DCAEAC11ABADinABCSABD2AB2证明2（面积法）.DCSACD1ACADin1AAC22定理13（正弦定理、余弦定理）在ABC中，有（1）abcoBccoC,口bacoAccoC，cacoAbcoB．abC2R；（2）inAinBinC222（3）abc2bccoA，b2a2c22accoB，c2a2b22abcoC．（4）inAinBinC2inBinCcoA．222abC2R；inAinBinC证明1（1）当ABC为直角三角形时，命题显然成立.（2）当ABC为锐角三角形时，