高中数学平面几何对称问题

对称(duìchèn)问题

高一数学组第一页，共26页。1课题(kètí)引入教材(jiàocái)P10111第二页，共26页。2对称(duìchèn)问题中心对称(zhōnɡxīnduìchēnɡ)问题点关于(guānyú)点的对称线关于点的对称轴对称问题点关于线的对称线关于线的对称第三页，共26页。3例1.点A(5,8)，B(4，1)，试求A点关于(guānyú)B点的对称点C的坐标。〔一〕点关于(guānyú)点对称一.中心对称(关于(guānyú)点的对称)第四页，共26页。4练习(liànxí):求点P(2,5)关于(guānyú)原点的对称点.求点P(2,5)关于(guānyú)Q(-3,-7)的对称点.第五页，共26页。5点关于(guānyú)点的对称注：解题要点：中点公式(gōngshì)的运用第六页，共26页。6例2、求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称(duìchèn)直线方程.P(2,–1)xyOy=3x–4分析一:将直线的对称(duìchèn)转化为直线上的点的对称(duìchèn).还可以(kěyǐ)有什么方法？(二〕直线关于点的对称第七页，共26页。7直线(zhíxiàn)关于点对称法一：l2上的任意(rènyì)一点的对称点在l1上f(x,y)=0M(x,y)P(m,n)M′

(2m-x,2n-y)f(2m-x,2n-y)=0法二：l1//l2且P到两直线(zhíxiàn)等距。第八页，共26页。8练习(liànxí)求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.第九页，共26页。9二.轴对称(即关于(guānyú)直线的对称)例3.求点A(-7,1)关于直线(zhíxiàn)l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.解(法一)设B(m,n〕由点关于(guānyú)直线对称的定义知:

线段AB⊥l即;=-1①线段AB被直线l平分,即线段AB的中点在直线l上,故有2--5=0②(一)点关于直线的对称:联立①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)第十页，共26页。10〔法二〕∵直线(zhíxiàn)AB⊥l,直线(zhíxiàn)AB过点〔-7，1〕∴直线AB的方程为y-1=-（x+7）即x+2y+5=0由解得即AB的中点(zhōnɡdiǎn)为〔1，-3〕，又A〔-7，1〕由中点(zhōnɡdiǎn)坐标公式得B的坐标为〔9，-7〕.小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:第十一页，共26页。11点关于一般直线(zhíxiàn)的对称练习(liànxí)：求A〔3,-2〕关于直线2x-y-1=0的对称点坐标。第十二页，共26页。12点关于(guānyú)特殊直线的对称第十三页，共26页。13例4.试求直线(zhíxiàn)l1:x-y-2=0关于直线(zhíxiàn)l2:3x-y+3=0对称的直线(zhíxiàn)l的方程。解题要点(yàodiǎn)：由线关于线对称转化为点关于点对称思考：假设(jiǎshè)l1//l2,如何求l1关于l2的对称直线方程？C1lC2M(x,y)M＇(x1,y1)l1l2l1'〔二〕直线关于直线的对称第十四页，共26页。14直线(zhíxiàn)关于特殊直线(zhíxiàn)的对称练习(liànxí)：教材P10111第十五页，共26页。15几种特殊(tèshū)的对称〔当堂口答〕：点P(x,y)关于以下(yǐxià)点或线的对称点分别为：关于(guānyú)原点:__________;关于(guānyú)x轴:__________;关于(guānyú)y轴:__________;关于(guānyú)直线y=x:______;关于(guānyú)直线y=-x:______;关于(guānyú)直线x=a:_______.(-x,-y)(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)第十六页，共26页。16设直线(zhíxiàn)那么关于轴对称的直线(zhíxiàn)是＿＿＿＿＿＿＿关于轴对称的直线(zhíxiàn)是＿＿＿＿＿＿＿＿关于对称的直线(zhíxiàn)是＿＿＿＿＿＿＿关于对称的直线(zhíxiàn)是＿＿＿＿＿＿补：关于(guānyú)原点:____________;第十七页，共26页。17例：一条(yītiáo)光线经过点P〔2，3〕，射到直线x+y+1=0上，反射后，穿过点Q〔1，1〕，求光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1)R(-4,-3)应用一：解决物理光学方面(fāngmiàn)的问题第十八页，共26页。18练习：一条光线经过P〔-1,2〕，经直线l:x+y-1=0反射后经过点Q〔1,1〕，〔1〕求入射光线所在的直线方程(fāngchéng)；〔2〕求这条光线从P到Q的长度。第十九页，共26页。19例：已知△ABC的顶点A（4,－1）,B（－4,－5）,角B的内角平分线BE所在直线的方程为，求BC边所在直线方程。B(-4,-5)A(4,-1)M〔0,3〕xyOE应用二：解决(jiějué)三角形中的角平分线问题第二十页，共26页。20应用三：解决距离(jùlí)最值有关问题例.两点A(2,15),B(-3,5),在直线l:3x-4y+4=0上找一点(yīdiǎn)P,使得:(1)|PA|+|PB|最小,并求出其最小值;(2)||PA|-|PB||最大,并求出其最大值.第二十一页，共26页。21涉及定直线(zhíxiàn)l上一点P与两定点A，B的距离和〔或差〕的最值问题1.假设A，B两点在直线的同侧：〔1〕设点B关于(guānyú)直线的对称点为点C,那么直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；〔2〕直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。2.假设(jiǎshè)A,B两点在直线的异侧:(1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小;(2)设点B关于直线的对称点为点C,那么直线AC与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大.第二十二页，共26页。22例：已知x,y满足x+y=0，求的最小值。M′(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=－xP第二十三页，共26页。23〔1〕点A(2,0),B(-2,-2),在直线(zhíxiàn)l:x+y-3=0上求一点P使|PA|+|PB|最小变形:在l上求一点(yīdiǎn)Q使得||QA|-|QB||最大.〔2〕点A(4,1),B(0,4),在直线(zhíxiàn)l:3x-y-1=0上求一点P使|PA|+|PB|最小.变形:在直线l上求一点Q使得||QA|-