2011年数学建模D题天然肠衣搭配优化问题答案

/201１高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目D题天然肠衣搭配问题摘要该题主要研究生产天然肠衣及其搭配问题,并且要求在一定的原料情况下，生产的成品捆数越多越好，该问题属于线性规划并且为取整线性规划来求最优解问题.根据每种规格的规定，在解题的过程中，我们建立线性方程组作为第一层优化,然后将建立的模型带入到lｉｎgo软件中，得到第一层优化最优方案，之后又根据实际进行了第二层优化,得到规格一成品捆数的上限为15捆；规格二成品的捆数的上限为37捆;规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为１８８捆。在一定的误差允许范围内，该方案较符合题目所属要求和实际生产情况。并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。

问题简述：原料按长度分档,通常以0。5米为一档,如:3-3。４米按3米计算，３。５米－3。9米按3.5米表１成品规格表最短长度最大长度根数总长度３6．52089713.588914∞５89表2原料描述表长度3-3．４３。5—３．９４-4.44.5-4.95—5.45.5—5。96－６.４6.5-6．9根数43５939４127283４21长度7-7.４7．5-7.98-8．４8.5—8.99—9.49.5-9。91０—１0.410。5-10．9根数2424２０2５2１2３21１８长度11－１1.41１.5－1１。9１２－12。4１2。5—１2.9１３－1３.41３．５—13。91４－14.41４．５—14。9根数312３2259１8２53529长度15－１5。4１5．5-15.９１6－1６。416．5－１6。9１7-17.417.5－1７.918—1８。４１8.5—１８.9根数３0422842４5４９506４长度19—19。419．5－19.９２0—２0．4２0.5—２０。92１-21.４21.5—２1．922—22．４２2。5－22.9根数5２6３493527１612２长度23—２3。4２３.５-23．９24-2４．４24。５-24.９2５-25．4２5。５-25。9根数0６０001本题要求建立数学模型设计一个原料搭配方案，按题中所给规格完成原料搭配方案,并符合如下要求：（１）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好;(2）对于成品捆数相同的方案,最短长度最长的成品越多，方案越好；（３)为提高原料使用率,总长度允许有±0。5米的误差,总根数允许比标准少１根;(4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7—13.5米的进行捆扎，成品属于7—１3.５米的规格；(5）为了食品保鲜，要求在３0分钟内产生方案.

模型的假设：1、肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料）,原料在组装过程中长度不发生变化;2、原料按长度分档，分档后原料不可再被分割；3、将原料长度视为离散变量；４、为提高原料使用率，每捆总长度允许有±0.５米的误差,每规格的成品总根数允许比标准少一根。问题分析：天然肠衣由于规定的档次（长度）不同,规格也不一样，所以每个规格的每捆肠衣成品长度不同,考虑到要在相同的成品捆数方案里找出最短长度最长的方案，我们想到了整数规划问题[1］的解决办法。我们首先把肠衣成品的分配问题分开考虑,按下表中的成品规格表的规格将原料分成三类,即:长度分布在3～６．5米的原料为规格一；长度分布在7～13。5米的原料为规格二;长度分布在14～2５.5米的原料为规格三。每种规格需要满足表中的根数约束,总长度约束，各区间总根数约束及整数约束。表３成品规格表规格最短长度最大长度根数总长度136.52089２713。588９314∞58９模型建立与求解:第一层优化符号声明：代表三种成品的捆数（取整）；代表从第个区间取得条数;代表从第个区间肠衣的长度,如3－3.4米按3米计算,３．5米-3.9米按3。５米计算，其余的依此类推；为第个区间总条数.输入Liｎgｏ求得：理论上，根据原料总根数和总长度以及每捆成品的根数和总长度,可求得规格一成品捆数的上限为14捆;规格二成品的捆数的上限为３７捆；规格三成品的捆数的上限为137捆；总捆数为188捆.结果分析：第二层优化表4原料剩余表长度3-3.43。5—3.94－4．44。5-4．9５－5。45。5-5。96—６。46。5—6.9剩余根数001６。62500000长度7—7。４７。5—７。98-8.48.５-8.99-9.49。5-9.910－１0．410。5—1０。9剩余根数２4241０00000长度11-11。411。5－11。912-12．412．5-１2．9１3-１3．413。５-13．9１4—１4．414.５—14。9剩余根数0000000０长度15－1５。415.5－15。916-1６.416．5-16．９17－１7。417。５－17。9１8－18。4１8.5—18．9剩余根数00000０0０长度19-19。419.5－19．92０－2０。４２0.5-20．９21－21.421。5-２１。922－22.４22。5—22。９剩余根数1．84２11００00０0０长度2３-23。423。5－23.9２４－24.42４。5—24。9２5-２5.４25.５—25。9剩余根数00000０根据某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用的原则.将4—4．４剩余的１5根与7－7.４的4根组成一捆规格一，所以经过第二层优化后,规格一15捆,规格二37捆，规格三137捆，共１89捆。模型稳定性分析我们所建立的模型通过对目标的最优化问题，使得多目标的规划问题转化为单目标线性规划问题，所以能比较好的反映出各个目标函数的重要程度.而且模型在计算中作了一些舍入和取整,不可避免的产生了一些误差，但是这些误差的是可以容忍的.结论此模型在一定的误差允许范围内，较符合题目所属要求和实际生产情况。并且生产后的剩余废弃原料少，做到了在限定原料内创造最大利润的好处。工人可以工人根据这个方案“照方抓药"进行生产,在一定程度上可提高生产效率.并且此模型易于推广，只需稍加改动就可以推广到解决其他分类封装的问题上.参考文献[1］姜启源，《数学模型(第三版）》，北京：高等教育出版社，２０03

附：１、linｇｏ程序代码model：setｓ:c/c1．．ｃ8/:a1；ｄ／d1。。d14/:a2；e/e１.．e2４/：a3;ｒ/r1.。r8/：ｂ１;s／s1。。s１4/:b2;t/ｔ１．．t2４/:b３;aｌｌowed(r）：q１;aｌloweｄ1（s):q2;aｌloweｄ2(t）:q3；ｅndseｔsｍax＝x+ｙ+ｚ；@foｒ（ｒ（ｉ）：ｑ1（ｉ)〈=ｂ1(i）);@for(ｓ(i）：q2（i）<=b２(i)）;@for(t（i）:q3（i)〈=ｂ３（i））；＠sum（ｒ（i):ｑ１（i)＊a１(i)）>=8８．5*ｘ；＠ｓｕm（s(ｉ):q2（i)*a2(i)）〉=88.５＊y；＠sｕm（ｔ（i)：ｑ3（i）*a３(i)）〉＝88.5＊ｚ；＠sｕm（r（i):q1(i)*a１(i）)〈=8９。5＊x;＠sum（ｓ（i）:q２(i)＊a2(i））<＝８9。5＊y；@sｕm(t（ｉ）:ｑ3（i）*a3（i))＜＝８9.5*z；＠ｓum（r(ｉ）：ｑ1(ｉ))〉＝１9＊ｘ；＠suｍ（s(i）:q２（i)）〉＝7＊y;@ｓum(ｔ(i)：q3(ｉ））>=4*z;＠sum（r(ｉ)：q1（i))〈＝20*ｘ;@sum（s(i）：q2（i））<=8＊y;＠ｓｕｍ(t（i）:q３(i）)〈=5*z;＠ｇiｎ(ｘ）；@ｇｉn（y）；@gｉn(ｚ)；data:a1=３3．54４。５55．566。5；ａ2=７7.58８.５9９。51010.51111。512１２．513１3．５;ａ3=14１4。5１515．5１616.517１7。5181８.５19１9。52020.52121．５2２２２.5232３.52424。５2５25。5；b１＝43593９４12728３4２1；b２＝242420２5212３2１1831２32２591825；b３=3529３0422８4２454950645263493527161220６0001;endｄata2、程序运算结果Glｏｂaloptimalsｏlutｉｏnfoｕnd.Objecｔivｅvaluｅ:１８8.0000Ｏbjectｉｖｅbounｄ：1８８.00００Iｎfeaｓibilities:0.0000０0Ｅxtｅndeｄｓolversteｐｓ:0Tｏtalｓolveritｅrａtionｓ:48VａriaｂleＶalｕｅRｅｄucedCosｔX14。00000-1。000000Y37。00000—1．0０0000Ｚ１37。0000-1.00０0００A1(C１）3.0000000.000000A1（C2）3．50０00００．0０００00Ａ１（C3)4。0000000.000000A1（C4)4。５０0０00０.０00000Ａ1（Ｃ5）5.00000０0.０00０00A1（C6）5．5００0000．０00００0A1(C7)6.000000０.００0００0A1(C8)６.5０0０000。０00０00Ａ2(D１)7．00０0０00.00０000Ａ2(Ｄ２)7.5０00000．0000０0A2（D3）8．0000０００．０0000０A２（D4）8.５0００00０．000０00Ａ2(D5)9．0０00０00.000000A2(D6）９．5000００0。00000０A２(D７）1０.００0０00．0０0000A2(D8)10.5００000。0000００A2(D9）11。000000.0０00０0A2(D10）1１．５０0000.００0０00A２(D1１)１２。００0００0.0０0000A２（D12)12。50000０。000000A2(D13）13.000000．000000A2（Ｄ14）13．5０00０0。0000０0A３(E1)14.000000．00000０A３(E2）１４。5000０0。000０00A3（E3）1５。000000。00０0００Ａ3(E４）１５.500000。00000０A３(E5)１6.０000０0.00０0０0Ａ3(E6）16.50０00０。０0００0０A3(Ｅ7）１7。000000.00０00０A3（E8)17.500000.0０0０00A3(E９）1８。００0000．000００0A３(Ｅ10）１8.5０0000.000000Ａ3（E11）19.００0000．000000A3（E12)19．５00００0.000000Ａ３（E1３)20.000000。0０0000A３(E14)20.500０0０。0０0000A3(E1５）２1.000000。000000A３(E１6)2１.50000０.00０00０A3(E17）２2．00０000。0000０0A3(E18）2２.５00０00.０00０00A３(E19)2３.00０000。00０00０A3(Ｅ２０）23。5000００.00000０Ａ３（E２1）2４。0０００0０．00０00０A３（Ｅ22)24.50000０。0０00０0A３（E2３)25。000000。000000A３(E24）２５。5０00００。0００0０0B1(R1）4３．000000.0０0000B１（R２)59。０0000０。000０0０B1(Ｒ3)39．０0００00。000０0０B1（Ｒ4)41.０00000。０00000B1(R5)2７。００00０0。000000B1(R６)２8。0０0０００．000000B１(R7）３４.0000００。０00000B1（R８）21．００0000.000000B２（Ｓ1）2４。00０000。００0０00Ｂ2（Ｓ２）2４．０00000．000０00B2(S3)20。000000.000000B2(S4）2５．00０000。0０00０0B2(S5）2１.０00000。000０00B2（S6)23.0000０0.000000B2（S7）21.０000０0.０００００0Ｂ2（Ｓ8)18。００００00。0０0000B2(Ｓ9）3１.00000０。000000B2（S10）23.0０000０.00０000B2(S１1)22。０000００。0０00０0B2（S1２）59。00000０。0０0０００Ｂ２(S1３)1８．０00０00．000０0０B2（Ｓ１4)25.０000０0.0０0０0０B3（T１）35．００0000.0000０0B3（T2)2９。０000００．00000０B3（T3）30.０00０00.０0００0０B3（T4）42.000000．00000０B3（T5)28.00０000。00０000Ｂ3(T6）42．000000。000000B3(T7)4５．000000。0００000Ｂ3（Ｔ８）49。０00０00。000000B3(Ｔ９)5０。00000０．000０0０B3（T１0）64.00０000。0００000B3（T11）5２.00０000。000000B3（Ｔ12）6３.0０0０００.00０00０B３（T13）4９．00００00。０0０00０B3(T１4）3５。000000。000000B3(T1５）2７．０000０0.00０000B3(T16)1６.000000。000000B３（T17）１2。00００0０.0０0000B3（T18)2。０0０0000.0０００00B3（T19）0.0０000０0。00000０B3（Ｔ2０)6。００00000.０0０00０B3(T21）0.00０000０.000０００Ｂ3(T22）0。０000000．00０000B３（Ｔ２３)0。00０00０0.000000B３（T24)1．００00０００。0００000Q1（R１）4３.０0００00.0０0００0Ｑ1(R２）5９。０00000．0０００0０Q１（Ｒ３）２2.3７50０0.00000０Ｑ1（R4）４1．０00000。0０00０0Q１（R5）27。000000。0００0０0Q１（R6)２8．000000。00００00Q１（R7)3４．00000０．0００000Ｑ１(R8)21.00０000。０000０0Q2(Ｓ1）0.０００0000.００0000Q2(S２）０。000000０.000000Q2（S3）10。00０00０。000０00Q2(Ｓ4)25。０00000.00０000Q2（Ｓ5）２1。00000０.０0０00０Q２(Ｓ6）23。00０000．0０00０0Q2（S7)2１。０00０0０．０00000Ｑ２（Ｓ8)18。000000。0000０0Q2(Ｓ9)３1.０00000。000０00Q2(S1０）23。00０00０。0000００Q2（Ｓ１1）２2.000000。000000Ｑ2（S12）5９.0００000.00000０Q2（S13）１8.000０00．０000０0Q２（S14)２5．00０000．0０000０Q３（Ｔ１)35.0０0000．000000Q3(T2)2９.000000.000０００Q3（T３)3０.000000．000000Ｑ3(T４）42.0000０0。０000００Q3（T5）28。00000０。００0000Q3(T6)42。00000０.０００000Q3(T７)４5.０00000。0000０0Q3（T8)49。000000。０00000Ｑ3（T9）50.00０００0.０00000Q3（Ｔ１0)64。00０００0.0000０0Q３（T１1）50．１578９0.00０000Ｑ３(T12）63。０0０000.０000０0Q3(T13)4９.０0000０。00０00０Q３（T1４）3５.00000０.00００００Q3(T15）27.0000０0.０0000０Q３（T16)16。00０000。00000０Ｑ3（T1７）12．00０000。００000０Q3(T18)2。0000000.00000０Q３(T1９）0。0０00０00.000000Q3（T２0)6.0000０0０。0000００Q3(T2１)0.0000００0.00000０Q３(Ｔ２2）0．００000０0。000０00Q3(T2３)０.0000000.00000０Ｑ3（T24）1。００0０00０。00０0０0ＲowSlａｃkｏrSｕrpｌusＤualPｒiｃe1188．00001．0０000020.000０000．000０００３0．0０0０000.0000００416.6２５00０.０0０0０050。000０000。０００00０6０．000０000．00０00070.00000００。0０0０00８0.0000０00.0０00009０.0000000。０0０00０10２4.0000００.0０0０0011２４。000000。０００0００1210。００0０00。0000０0130.０00０000。000000１40。０0000０0．000０００150。00０0０00．００0０0016０。0０000０0。00０00０170.000０0００．０0０00018０．0000０00。０００00０19０.0000000.００00002０0．0000０00．０0００00210。0０0０0０0．0０0０00220.00０0000.00０00０230．0００00０0。0000００24０．０0００00０．０0０００0250。00０0000。0００00０260。0000000。000000270.0000000。000000280.００00000。0０00００290.０００000０。０000003０0.０000000．００000０3１0。０000００0．00０00０320。0０0０00０.00００００330.00０0０00.000000