第二章第四节函数的奇偶性及周期性

第二章第四节函数的奇偶性及周期性第1页，共53页，2023年，2月20日，星期三

[备考方向要明了]考

什

么理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性.第2页，共53页，2023年，2月20日，星期三怎

么

考1.函数的奇偶性是高考考查的热点．2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、

利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重

点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调性等其他知

识点交汇命题.第3页，共53页，2023年，2月20日，星期三第4页，共53页，2023年，2月20日，星期三一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点第5页，共53页，2023年，2月20日，星期三二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．f(x＋T)＝

f(x)2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期．存在一个最小最小正数第6页，共53页，2023年，2月20日，星期三第7页，共53页，2023年，2月20日，星期三第8页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：C第9页，共53页，2023年，2月20日，星期三第10页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：B第11页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：B3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为 (

)A．－1 B．0C．1 D．2解析：因f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)．∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.第12页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：(2)(3)解析：由奇偶函数的定义知：(1)为偶函数；(2)(3)为奇函数；(4)既不是偶函数，也不是奇函数．第13页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：

－95．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：观察可知，y＝x3cosx为奇函数，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝10.则f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.第14页，共53页，2023年，2月20日，星期三第15页，共53页，2023年，2月20日，星期三奇、偶函数的有关性质(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；第16页，共53页，2023年，2月20日，星期三(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．第17页，共53页，2023年，2月20日，星期三第18页，共53页，2023年，2月20日，星期三[精析考题][例1]

(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(

)A．|f(x)|－g(x)是奇函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数 D．f(x)＋|g(x)|是偶函数第19页，共53页，2023年，2月20日，星期三[答案]

D[自主解答]

设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．第20页，共53页，2023年，2月20日，星期三[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·台州一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 (

)A．y＝2|x|

B．y＝x2－xC．y＝2x D．y＝x3第21页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：B解析：y＝2|x|是偶函数，y＝2x是奇函数，y＝x3是奇函数，y＝x2－x既不是奇函数也不是偶函数．第22页，共53页，2023年，2月20日，星期三2．(2012·丽水模拟)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则 (

)A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数第23页，共53页，2023年，2月20日，星期三解析：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．答案：B第24页，共53页，2023年，2月20日，星期三第25页，共53页，2023年，2月20日，星期三第26页，共53页，2023年，2月20日，星期三[冲关锦囊]利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为

奇函数或偶函数的必要条件．(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.第27页，共53页，2023年，2月20日，星期三第28页，共53页，2023年，2月20日，星期三[自主解答]法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.第29页，共53页，2023年，2月20日，星期三[答案]

A法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.第30页，共53页，2023年，2月20日，星期三第31页，共53页，2023年，2月20日，星期三[答案]

B第32页，共53页，2023年，2月20日，星期三本例的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f(－n)、f(1－n)、f(n－1)与f(n＋1)．解：因为f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)f(1－n)＝f(n－1)．又因为函数y＝f(x)在(0，＋∞)为减函数，且0<n－1<n<n＋1，∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)．∴f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)＝f(1－n)．第33页，共53页，2023年，2月20日，星期三答案：0解析：当x<0时，则－x>0，∴f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.第34页，共53页，2023年，2月20日，星期三5．(2012·皖南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是________．第35页，共53页，2023年，2月20日，星期三解析：因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1.答案：(－3,1)第36页，共53页，2023年，2月20日，星期三[冲关锦囊]函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．第37页，共53页，2023年，2月20日，星期三(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.第38页，共53页，2023年，2月20日，星期三第39页，共53页，2023年，2月20日，星期三[答案]

A第40页，共53页，2023年，2月20日，星期三6．(2012·宝鸡模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(

)A．6 B．7C．8 D．9[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)第41页，共53页，2023年，2月20日，星期三解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，所以f(0)＝0，又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝0，f(5)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．答案：B第42页，共53页，2023年，2月20日，星期三7．(2011·南昌第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，且f(－1)＝2，则(3)＝________，f(2011)＝________.第43页，共53页，2023年，2月20日，星期三解析：依题意得f(－3＋6)＝f(－3)＋2f(3)，即有f(3)＝f(3)＋2f(3)，所以f(3)＝0，f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是以6为周期的函数．注意到2011＝6×335＋1，因此有f(2011)＝f(1)＝f(－1)＝2.答案：0

2第44页，共53页，2023年，2月20日，星期三8．(2011·临沂一模)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，则f(x)的周期为________．答案：4第45页，共53页，2023年，2月20日，星期三[冲关锦囊]第46页，共53页，2023年，2月20日，星期三