青海省平安县第一高级中学2023年数学高二下期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（）A． B．C． D．2．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（）A． B． C． D．3．函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B． C． D．4．已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程是（）A． B．或C． D．或5．已知随机变量X的分布列如下表所示则的值等于A．1 B．2 C．3 D．46．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A． B． C． D．7．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．8．在数列中，，则等于（）A．9 B．10 C．27 D．819．已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A． B． C． D．11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩12．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①②二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.14．已知，则_________.15．如图，把数列中的所有项按照从小到大，从左到右的顺序写成如图所示的数表，且第行有个数.若第行从左边起的第个数记为，则2019这个数可记为______.16．“”的否定是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和满足,.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面平面.（1）证明：（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.（1）共有多少种不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？20．（12分）函数(为实数).(1)若，求证：函数在上是增函数；(2)求函数在上的最小值及相应的的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若函数在上的最小值为，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】故选2、B【解析】

根据展开式中二项式系数最大的项是，由此求出它的系数．【详解】的展开式中，二项式系数最大的项是其系数为-1．

故选B.．【点睛】本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．3、C【解析】

函数的单调性确定的符号，即可求解，得到答案．【详解】由函数的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当时，函数单调递增，所以导数的符号是正，负，正，正，只有选项C符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由的图象看函数的单调性，得出导函数的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4、B【解析】

根据题意，有，根据斜率公式求出的值，进而联立组成方程组求出，的值，将其代入双曲线的标准方程即可得出结果.【详解】解：根据题意双曲线的焦距为，则双曲线的一个焦点为，则①，双曲线的两条渐近线的夹角为，一条渐近线的斜率为或则或②，联立①、②可得或.则双曲线的标准方程是或.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线的求法，属于中档题.5、A【解析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【详解】由题得，所以所以.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，，.6、C【解析】

计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为．【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.7、A【解析】

构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】解：设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.8、C【解析】

利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，在数列中，，即可得数列表示首项，公比的等比数列，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9、B【解析】

由已知，函数在区间的图象如图所示，直线y（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.结合图象可知，当直线介于直线和直线之间时，符合条件，故选.考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.10、B【解析】

由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln2)，则|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)．11、D【解析】

先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.12、B【解析】

两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④，故选B．考点：变量间的相关关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意可得有两个不等实根，作出，，，的图象，结合导数求得极值，考虑极小值与的关系，计算可得所求范围．【详解】函数恰有2个零点，

可得有两个不等实根，

由的导数为，

当时，，当或时，，当时，，

可得处取得极大值，取得极小值，

且过，，作出，，，的图象，

以及直线，如图，此时与有两个交点,只需满足，即，又，所以，当时，在处取得极小值，取得极大值a，如图，

只需满足，解得，又，所以时，与有两个交点，当时，显然与有两个交点，满足题意，综上可得a的范围是，故答案为：.

【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，考查导数的运用：求单调性和极值，考查图象变换，属于难题．14、【解析】

根据二项式定理，，推导出，由，能求出．【详解】解：，，，由，解．故答案为1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查组合数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．15、【解析】

前行用掉个自然数，由可判断2019所在行，即可确定其位置.【详解】因为前行用掉个自然数，而，

即2019在11行中，又第11行的第1个数为，

则2019为第11行的第个数，即第996个数，

即，，

故答案为：．【点睛】本题主要考查了归纳推理，等比数列求和，属于中档题．16、【解析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.的否定为，的否定为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

根据公式解出即可．写出，再分组求和．【详解】（1）当时，；当时，，综上.（2）由（1）知【点睛】本题考查数列通项的求法及分组求法求前n项和．属于基础题．18、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）中点为，连接和，证明平面，即可证明；（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【详解】（1）设中点为，连接和，如图所示，在中，，为中点，所以，又四边形为菱形，，所以是等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）知，、、两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以；设平面的法向量，则，令，则，，所以；因为二面角是锐角，所以，即二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定、由线面垂直求线线垂直和利用空间向量求二面角，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）从这件产品中任意抽出件，是组合问题，利用组合数的定义可得出结果；（2）抽出的件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用组合计数原理和分步计数原理可得出结果；（3）在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，用间接法求解．【详解】（1）从这件产品中任意抽出件，共有种不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有种不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法种数，可以在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，因此，共有种不同的抽法.【点睛】本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．20、（1）函数在上是增函数；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）当时，在（0，+∞）上恒成立，故函数在（1，+∞）上是增函数；（2）求导)，当x∈[1，e]时，．分①，②，③，三种情况得到函数f（x）在[1，e]上是单调性，进而得到[f（x）]min；（3）由题意可化简得到，令，利用导数判断其单调性求出最小值为．试题解析：(1)当时，，其定义域为，，当时，恒成立，故函数在上是增函数.(2)，当时，，①若，在上有(仅当，时，)，故函数在上是增函数，此时；②若，由，得，当时，有，此时在区间上是减函数；当时，有，此时，在区间上是增函数，故；③若，在上有(仅当，时，)，故函数在上是减函数，此时综上可知，当时，的最小值为1，相应的的值为1；当时，的最小值为，相应的值为；当时，的最小值为，相应的的值为.(3)不等式可化为，因为，所以，且等号不能同时取，所以，即，所以，令，则，当时，，，从而(仅当时取等号)，所以在上为增函数，所以的最小值为，所以实数的取值范围为.点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.21、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，则为直线与平面所成的角，为，∴，而平面，∴又，为的中点，∴，平面，则平面，而平面∴，又，分别为，的中点，则，正方形中，，∴，又平面，，∴直线平面；（2）解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，得；设平面的法向量为，则，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.