一题多模多磨一题 论文

一题多模，多磨一题摘要：教学应加强从课本知识点出发，对数学知识的提炼和加工，抽象，以课本结论、常识、实践等为基础，进行思维发散和理论推论并总结，建立解决一般性问题的数学模型，是运用数学知识解决问题的核心。教学中，引导学生经历探究、发现、类比、抽象发现问题的本质，从而解决问题。数学模型的运用可看作是一种定势思维，问题抽象的过程是多种数学思维综合的结果，教学过程中，多磨模型，引导学生感悟数学思想，掌握相应的知识技能，提升数学问题的分析能力、解决问题的能力，使用触类旁通的发散思想做到转陌生为熟悉，化未知为已知，提高知识的运用意识和创新意识。关键词：数学模型，思维发散，教学思想初中数学的几何学习和研究，应当从点、线、面、角、面积等方面去开始，最终回归到数学的运用和思维能力的提升上。以新课标为指导，以课本及常见抽象数学现象为基础，引导学生探究和发现、归纳、总结结论，是数学教学的重要方式之一。八年级人教版教材全等三角形章节中提到：全等的三种变换基本方式即平移、旋转、翻折。问题的引入，将△ABC绕A点旋转，B'ααCC'B'ααCC'得到△A’B’C’，请同学们寻找其中相等的边角关系。学生容易知道旋转即全等，BABA全等三角形的对应边，对应角相等。逆向思维，两个共顶点的等腰△ABB’和△ACC’,会有怎样的情况产生?阶段一，探究模型的确定。已知:AB=AB',AC=AC',∠B'AB=∠C'AC，直线BC和B’C’交于M点， CBB'DMEαC'α证明：△ABC≌△AB'C'三个基本结论:(1)BC=B'C'△ABC≌△A’B’C’(2)∠BMB'=a(或180°-a)(3)MA平分∠BMC'分析：易证明△ABC≌△A’B’C’（SAS），教学中恰当引入，引导学生观察对比，本质是旋转的两个三角形，也就是“横看成岭侧成峰”的角度思维，回归问题本质。第(2)问∠BMB'=a(或180°-a)的证明方法，用“8字型”四边形ABMB’导角即可解决，∠ABM+∠a=∠AB’M+∠a。第(3)问：角平分线的证明思路，“角平分线的点到角两边的距离相等”是常见的解题方法，不妨过A作AD⊥BC，AF⊥B’C’,垂足分别为D和F，因为△ABC≌△A’B’C’，可知：SVABC=SVABC'，1·BC·AD1

=·BC'·AF，22∴AD=AF即MA为角平分线。至此，得出一般性结论，共顶点的等腰三角形模型的三个基本结论。阶段二：一般性到特殊性的延伸。共顶BB'CMC'BCAMB'C'点的等腰直角三角形、共顶点的等边A三角形、共顶点的120°等腰三角形等。阶段三：理论应用。2016年、2020安徽中考数学第23题，都是这个模型及其变形，这里不再赘述了。阶段四：从旋转全等到旋转相似的思维延伸及理论探究，本文中不作分析探究。 通过上述模型的探究过程，教会学生研究和应模型的常规方法，后面的用到的模型以小组为单位，合作交流并总结。下面一道例题，我围绕着常见的数学模型提出了24问，通过应用基本的数学模型解决问题，教会学生类比、转换、应用、构造等数学技能和思维方式。如图所示：点B是线段AC上不与端点重合的一点，以AB、BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE和CD，AE交BD、CD分别于G、F，CD交AE分别于H、F。设AB＝k,BC＝1有以下结论：（1）△ABE≌△DBC（2）AE＝CD（3）∠AFD＝60°（4）FB平分∠AFC（5）△ABG≌△DBF（6）△CBH≌△EBG（7）AF＝FD＋FB（8）FC＝FE＋FB（9）△BHG为等边△且AG=DH，EG=HC（10）GH∥AC（11）FB＝FH＋FG（12）费马点问题：△DBE内一点P，求证：PD＋PB＋PE的最小值为线段AE的长（13）S△CEF：S△CBF：S△ABF：S△ADF＝1:k:k2:k3；S△EFH：S△BFH：S△BFG：S△DFG＝1:k:k2:k3（14）FE=HE=FB=GB=FC=BC=1FBHBFDGDFAABk（15）BF2＝FEFD（17）EC2＝FEAE（16）BH2＝HFHD（18）BD2＝DFDC（19）四点共圆模型：四边形ADFB、四边形BGFH、四边形EFBC为共圆四边形（20）△FEB∽△FBD∽△FCA（21）△FGB∽△FHE；△FHB∽△FGD；△FEC∽△FBA；△FBC∽△FDA（22）EA＝CH+AG （23）用含有k的代数式表示AE（24）当F为CD中点时，则k的值为多少？(k>1)模型一：共顶点的等腰三角形模型。学生已经掌握了这个模型的本质和模型结论，引导学生审题后注意两个等边三角形这一重要信息，观察三角形位置后，得出模型的套用。等边△ADB和等边△ECB形成模型，思路确定后不难得出△ABE≌△DBC，问题(1)-(4)即可解决。证明(6),如图：∵△ABE≌△DBC,ADF2E1C∴∠1=∠2∵∠DBE=180°-∠ABD-∠CBE=60°GH在△CBH和△EBG中BìÐ=Ð2ïíBC=BEïÐî CBE=ÐEBG=60°第（6）问∴△CBH≌△EBG（ASA） D对于问题（5）的解法是一种技能的迁移和类比，学生可以自行完成。GFHEM A分析（7）：线段“和或差”的处理一般方法，共线的思路去处理。BC不妨构造“共顶点”的等边△DFM和△DBA，阴影部分的两个三角形全等，从而AF=AM+MF=FB+FD得证。第(8)问，引导学生采用类比迁移的数学技巧去解决问题。分析（9）：由(6)知△CBH≌△EBG，∴BH=BG且∠GBH=60°第（7）问DFHEG60°ABC∴等边△GBH，这样就形成了两个模型一。等边△GBH和等边△ABD，等边△GBH和等边△EBC从而AG=DH，EG=HC，第(11)问：仿照第(7)题的解法，构造模型即可。学生自行探究。 第（9）问分析（12）费马点问题：△DBE内一点P，求证：PD＋PB＋PE的最小值为线段AE的长。易知△DBE内存在费马点P，不难发现，∠DFB=∠EFB=∠DFE=120°，∴费马点是F点，PD＋PB＋PE=FD＋FB＋FE=AE模型二：角平分线模型（参照第7题图）AE角平分线的另一个性质，八年级课后习题。BDGFC已知，AD为△ABC的角平分线。求证：ABAC BD

=CD证明：作DE^ABDF^ACAG^CB∴DE=DFSDABD=1·ABDE=AB S,ACSDABD=1·BD·AG=212DB\AB=DBSDACD·AC·DFDACD1·DC·AGDCACDC22\SDABD=AB=DBSDACDACDCDG1F4EM分析(13):模型一可知∠1=∠2=∠3=∠4=60°，23HN易知：△FEB∽△FBD∽△FCA

作CM⊥AE，CN⊥FB，垂足分别是M，N

角平分线性质可知：CM=CN1·EF·CMSDFEC=2=EF=FC=BC=1SDFBC1·BF·CNFBFAABk2从而：S△CEF：S△CBF：S△ABF：S△ADF＝1:k:k2:k3；第(13)问那么S△EFH：S△BFH：S△BFG：S△DFG＝1:k:k2:k3也可运用模型二迎刃而解。对于第(14)问FE=HE=FB=GB=FC=BC=1也是“模型二”的直接应用，学生FBHBFDGDFAABkC可以独立完成。B模型三：母子相似型（或称：子母相似型）1在△ABC中，若∠1=∠2，则可知△ABD∽△ACBAD2∴AB2=AD∙AC

分析：（16）BH2＝HFHD证明：∵∠3=∠DBH=60°，∠BHF=∠DHBADG1F4EC∴△HBF∽△HDB∴HB2=FH∙DH23H同理：第(17)、(18)题，也是相同的证明方法，B学生独立完成。第（15）题BF2＝FEFD的解答需要学生认真审题，是旋转相似，而非子母相似，写成比例式BF=DF第(15)-(18)问EFBF后，可知只要证明∴△EBF∽△BDF即可。模型四：对角互补+角平分线模型已知∠ABC=2a，∠ABC+∠ADC=180°，且D为∠ABC的角平分线上的一个定点，即BD为定长。则有以下常用结论：(1)AB+BC=2BDSin∠a(2)S四边形ABCD=定值由前面的表述可知四边形ABFD，四边形BCEF，四边形GBHF都满足这个模型。从而第（7）AF＝FD＋FB可以用相同的证明方法，不难发现FD＋FB＝2AFSin60°=AF同理：（8）FC＝FE＋FB（11）FB＝FH＋FG模型五：四点共圆容易知道：四边形ADFB、四边形BGFH、四边形EFBC为共圆四边形模型应用1：解决（7）AF＝FD＋FB（8）FC＝FE＋FB（11）FB＝FH＋FG证明(7),由托勒密定理知：在圆内接凸四边形ABFD中，有ADFB+FDAB=AFDB∵AD=AB=BD∴AF＝FD＋FB同理：（8）FC＝FE＋FB（11）FB＝FH＋FG模型应用2：如图四边形BGFH为圆内接四边形，∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3，∠DFG=∠BFH=60°，∴△FHB∽△FGD即旋转相似。同理：△FGB∽△FHE旋转相似。第（20）△FEB∽△FBD∽△FCA第（21）△FGB∽△FHE；△FHB∽△FGD；△FEC∽△FBA；△FBC∽△FDA的证明也可以采用四点共圆等方式导角证明，让学生小组讨论交流，尽量学会用不同的思路解决同一个问题，提升学生发散思维的能力。模型六：平行A相似、平行8相似、反A相似、反8相似容易证明：AD//EB，BD//CE，这样平行相似的题目可以编写让学生完成。而反A相似、反8相似与四点共圆密切相关，也可以编写类似题目让学生关联，形成知识的迁移。模型七：求线段长类和各种组合类（23）用含有k的代数式表示AE作EK⊥BC，Rt△AEK中，由勾股定理求出AE=k21，其余线段的++1求法可以让学生在课后完成。（24）当F为CD中点时，则k的值为多少？(k>1)分析：F为CD中点，此时△GFD≌△EFC∴DG=EC=1，∵BG∥CE∴BG=AB\k-1=k\k=5+1ECAC1k+12此外，