2023年山东省东营市利津一中高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm2．的展开式中的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．303．函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，则（）A． B． C． D．5．已知的展开式中没有项，，则的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．86．已知集合，或，则（）A． B．C． D．7．已知，且.则展开式中的系数为（）A．12 B．-12 C．4 D．-48．魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为A．16 B． C． D．9．已知椭圆的左右焦点分别，，焦距为4，若以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为（）A． B．C． D．10．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为，且彼此相互独立，若X为4名同学通过测试的人数，则D（X）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知，，且，则向量在方向上的正射影的数量为A．1 B．C． D．12．若直线的倾斜角为，则（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数fx=x⋅lnx，且0<x1<x2，给出下列命题：①fx1-f14．已知直线的一个法向量，则直线的倾斜角是_________（结果用反三角函数表示）；15．在的二项展开式中，项的系数为_____（结果用数值表示）．16．3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．18．（12分）已知正项数列中，且（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.19．（12分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数.20．（12分）已知函数(为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的值；（2）求的单调区间.21．（12分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.22．（10分）甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为，乙每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响.（Ⅰ）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；（Ⅱ）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为，求的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题．2、D【解析】

根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得的系数.【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有的为，故展开式中的系数为，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.3、D【解析】

首先求函数，再求函数的单调递增区间，区间是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求的取值范围.【详解】,令解得，若在上单调递增，,解得：时，.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.4、A【解析】

根据分段函数解析式，结合指数幂与对数的运算，即可化简求解.【详解】函数则，所以，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的求值，指数幂与对数式的运算应用，属于基础题.5、C【解析】

将条件转化为的展开式中不含常数项，不含项，不含项，然后写出的展开式的通项，即可分析出答案.【详解】因为的展开式中没有项，所以的展开式中不含常数项，不含项，不含项的展开式的通项为：所以当取时，方程无解检验可得故选：C【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.6、C【解析】

首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.【详解】根据题意得，等价于，解得，于是，故答案为C.【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.7、D【解析】

求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．【详解】∵，且，则展开式，故含的系数为，故选D．【点睛】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8、C【解析】

由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，正方体的内切球的体积，又由已知，．故选C．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．9、A【解析】

已知，又以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，从而有，于是可得，从而得椭圆方程。【详解】∵以原点为圆心，为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，∴这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，∴，又即，∴，∴椭圆方程为。故选：A。【点睛】本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定关系。10、A【解析】

由题意知X～B（4，），根据二项分布的方差公式进行求解即可．【详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X～B（4，），则X的方差D（X）＝4（1）＝1，故选A．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X～B（4，）是解决本题的关键．11、D【解析】

由与、可得出，向量在方向上的正射影的数量=【详解】向量在方向上的正射影的数量=【点睛】本题考查两向量垂直，其数量积等于0.向量在方向上的正射影的数量=.12、C【解析】分析:根据画出的直线得直线的倾斜角.详解：直线x=1的倾斜角为故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查特殊直线的倾斜角，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)任意一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、②③【解析】

根据每一个问题构造相应的函数，利用导数研究函数的单调性，进而判断命题正误.【详解】∵f当0<x<1e时，f'(x)<0，当x>1e时，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，则g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)单调递增，当x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③当lnx>-1时，则x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，则∴x∈(0,1e2)时，h'设x1,x2∈(0,∴x【点睛】证明函数不等式问题，经常与函数性质中的单调性有关.解决问题的关键在于构造什么样函数？14、【解析】

由法向量与方向向量垂直，求出方向向量，得直线的斜率，从而得倾斜角。【详解】直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为，其斜率为，∴倾斜角为。故答案为：。【点睛】本题考查求直线的倾斜角，由方向向量与法向量的垂直关系可求得直线斜率，从而求得倾斜角，注意倾斜角范围是，而反正切函数值域是。15、1【解析】

通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用的指数为2，求出展开式中的系数．【详解】解：展开式的通项为．令得到展开式中的系数是．故答案为：1．【点睛】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．16、10080【解析】

分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；为第二个安排医生和护士种结果；为第三个安排医生和护士种结果，根据分步计数原理可得，故答案为.点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）先求函数定义域，由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的单调性可得lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；【详解】（1）由题设，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）证明：当x∈（1，+∞）时，，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）＝0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求函数单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．18、（1）；；（2）见解析.【解析】

（1）逐个计算计算出的值，再通过观察可猜。（2）先检验n=1满足，再假设时（*）式成立，即，下证即可证明。【详解】（1）令得化简得，解得或.令得化简得，解得或令得化简得，解得或猜想（*）.①当时，，（*）式成立；②假设时（*）式成立，即，那么当时，化简得所以当时，（*）式也成立.综上：由①②得当时，【点睛】本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学归纳法。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，详见解析.【解析】

（Ⅰ）由已知得，求得，，由点斜式方程可得解.（Ⅱ）由已知得，分类讨论，，，四种情况下的零点个数.【详解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，又，∴切线方程为.（Ⅱ）∵，当时，，即在上为增函数，∵，，∴在上有一个零点.当时，，∵，，∴在上有一个零点.当时，在上为增函数，上为减函数，∵，，此时在上有一个零点.当时，易知在上为增函数，上为减函数，∵，，又有，当，即时，在上有一个零，当时，在上有两个零.综上所述，当时，函数在上有一个零；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查了用导数求过曲线上一点的切线方程和讨论函数零点个数问题，考查了分类讨论的思想，属于难题.20、（1）1；（2）单调递增区间为，单调递减区间为【解析】试题分析：(1)利用导函数与函数切线的关系得到关于实数k的方程，解方程可得k=1；(2)结合(1)的结论对函数的解析式进行求导可得，研究分子部分，令，结合函数h(x)的性质可得：的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是.试题解析：（1）由题意得又，故(2)由（1）知，设，则即在上是减函数，由知，当时，，从而当时，，从而综上可知，的单调递增区间是（0，1）单调递减区间是21、(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.(2)【解析】

(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为．．①若，则当或时，，单调递增；当时，，单调递