人教课标实验A版-选修4-1-第二讲直线和圆的位置关系-五与圆有关的比例线段名师获奖

2．5和圆有关的比例线段

例1已知：如图7-193，⊙O1和⊙O2不是同心圆，⊙O和这两个圆分别相交于点A，B及C，D．直线AB，CD相交于点T．从T分别向⊙O1，⊙O2上引切线TP，TQ，P和Q为切点．求证：TP=TQ．证明由切割线定理及其推论得TP2=TA·TB=TC·TD=TQ2，所以

TP=TQ．例2已知：如图7-194，△ABC内接于圆，PA切圆于A与BC的延长线相交于点P，AD平分∠BAC．若PC=a，CD=b，DB=c．求证：方程ax2+2bx-b+c=0有两个相等的实根．分析方程ax2+2bx-b+c=0有两个相等实根的充要条件是b2-a(-b+c)=0即b2+ab-ac=0．因此从已知条件推导出以上等式，问题就解决了．从图看到a，b，c是圆的割线PCB上的线段的长．从而推想到本问题可能与切割线定理有关．这就要考虑切线PA．由已知条件及弦切角定理有∠PDA=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠PAC=∠PAD，从而

PA=PD=a+b．由切割线定理得PA2=PC·PB，即

(a+b)2=a(a+b+c)．化简得

b2+ab-ac=0．从而所给方程有两个相等的实根．证明读者自己完成．例3已知：如图7-195，在△ABC中，AD是∠A的平分线．求证：AD2＝AB·AC-BD·DC．分析一仿第七章§1．5例3的想法，先通过相似三角形考虑等号右端的AB·AC等于什么，再考虑BD·DC等于什么．然后这样得到的两个等式左右各相减，看是否AB·AC-BD·DC等于AD2．在图7-195（a）中没有相似三角形可以利用，因此需要加辅助线．如图7-195（a），以C为端点作射线CE，使∠ACE=∠ADB，并且CE与AD的延长线相交于点E．显然△ADB∽△ACE．由此得AB·AC=AD·AE．而AD，BD，DC各是△ADB和△CDE的边，并且这两个三角形相似．由此得BD·DC=AD·DE．把得到的两个等式左右各相减，就得到要证明的等式．

分析二如果利用△ABC的外接圆便得到本例的更简单的证明．证明步骤与由分析一得到的证明步骤大体相同．证明如图7-195（b），作出△ABC的外接圆，设AD的延长线交外接圆于点E，连结线段CE，则由于∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，所以△ABD∽△AEC，由此得AB·AC=AD·AE，即

AB·AC=AD(AD+DE)，或

AB·AC=AD2+AD·DE．由相交弦定理有AD·DE=BD·DC，所以有AD2=AB·AC-BD·DC．点评利用本例及几何一第五章§2例1可以解决以下问题：已知三角形三边的长，求一角的平分线的长．例如△ABC的BC=10，AB=9，AC=6，求∠A的平分线AD的长．由几何一第五章§2例1可知BD∶DC=AB∶AC=9∶6=3∶2，而BC=10，从而BD=6，DC=4．由本例可知AD2＝AB·AC-BD·DC=9×6-6×4=30．例4已知：如图7-196，圆的弦AB，CD，EF两两相交于点M，N，P，并且AM=DN=FP，CM=EN=BP．求证：△MNP是等边三角形．分析由于在圆内出现了三组相交弦，这就自然考虑到用相交弦定理来证明这个问题．为了方便，设AM=DN=FP=a，CM=EN=BP=b，M