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文档简介

任意角的三角函数·同角三角函数的基本关系·例题

例2-1-10

对于α∈R，下列式子恒成立的是

[

]．A．cos2α+sin2α=1C．1+tan2α=sec2αD．cot2α+csc2α=1解

A只有当α是第一，四象限角时，B才成立，淘汰B．当注

同角三角函数的八个基本公式，是在α取能使等式两边都有意义的值时，等式才成立．除正、余弦的定义域是全体实数外，要特别注意正切、余切、正割、余割的定义域，当α取这些函数定义域以外的值时，函数无意义，公式当然也就不成立．例2-1-11

如果α是第二象限的角，下列各等式中，成立的是

[

]．A.解

B注

用同角三角函数的八个公式求某个三角函数值时，仅当开平方运算才需要由α角所在的象限确定根号前的符号．而用商数关系、倒数关系时不需要讨论符号．例2-1-12

求证下列恒等式：(1)tanx+cotx=secx·cscx=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶所以，原等式成立．左边=右边，所以原等式成立．(3)因为1-sin2x=cos2x，即(1-sinx)(1+sinx)=cos2x，两边同除以cosx(1-sinx)，得所以，原等式成立．注

三角恒等式的证明，可以从恒等式的一边开始，证得它等于另一边(如本例(1))；也可以分别证明左、右两边都等于同一个式子(如本例(2))；或者由已知的恒等式出发，推得需要证明的恒等式(如本例(3))．例2-1-13

证明下列恒等式：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵所以，原式成立．所以，原式成立．注

“切、割化弦”是证明三角恒等式或化简三角表达式的重要技巧．通过它常把式子中的正切、余切、正割、余割用基本公式中的商数关系或倒数关系化为正弦、余弦，归一到正、余弦后再用平方关系或代数运算将式子化简．(3)已知cosα=m(m≠0，m≠±1)，求secα+cscα；(3)因为m≠0，m≠±1，即cosα≠0，cosα≠±1，所以角α的终边不可能在坐标轴上．于是，有以下两种情况：当α是第一、二象限角时，则得当α是三、四象限角时，同法可得到注

已知α角的一个三角函数值，用平方关系求α角的另一个三角函数值时，要由α角所在的象限来确定根号前的符号(如本例(2))．如果α角的象限不确定，要对α角所在的象限进行分类讨论(如本例(3))．分类的标准当然可以按α角在一、二、三四象限及各坐标轴上逐一列举；但由于α角在某两个象限的某个三角函数值的符号是相同的，所以可以把这两个符号相同的象限归在一起．同时注意别遗漏了α角终边在坐标轴上的情形．左边=右边，原等式成立．注

在三角恒等式的证明过程中，根据恒等变形的需要，“1”可扮演不少角色．如本例中的1=sin2α+cos2α．还有sec2α-tan2α=1，csc2α-cotg2α=1，cscα·sinα=1，secα·cosα=1sin90°=1，cos0°=1，tan45°=1，cot45°=1，…均可恰当应用．例2-1-16

(1)已知sinα+cosα=m，求sinα·cosα；解

(1)由已知等

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