离散傅里叶变换(DFT)

3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)目前一页\总数六十八页\编于十六点一.引言3.1离散傅里叶变换的定义

我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换(DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理中也起着核心作用。目前二页\总数六十八页\编于十六点二.四种信号傅里叶表示(1)周期为T的连续时间周期信号FS时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱(2)连续时间非周期信号FT时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱目前三页\总数六十八页\编于十六点(3)离散非周期信号DTFT时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱(4)周期为N的离散周期信号时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱DFS目前四页\总数六十八页\编于十六点四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期

离散非周期

()FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS

？切实理解四种FT之间的对应关系目前五页\总数六十八页\编于十六点三.离散付里叶级数(DFS)

为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。周期序列

因为周期序列不满足条件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。(1)DFS定义正变换：反变换：一般记：目前六页\总数六十八页\编于十六点(2)周期序列的离散傅里叶级数推导由可以展成傅里叶级数：？将上式两边乘以，并对n在一个周期N上求和得根据正交定理令k=m目前七页\总数六十八页\编于十六点令依同样方法可推出：

所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列周期序列的离散傅立叶级数表明：可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为，幅度为，其中表示其频谱分布规律目前八页\总数六十八页\编于十六点(3)周期序列的傅里叶变换表示

因为周期序列不满足条件：。因此它的DTFT不存在。但是，通过引入奇异函数δ其DTFT可以用公式表示。目前九页\总数六十八页\编于十六点四.离散付里叶变换

周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列,这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列）具体而言，即：目前十页\总数六十八页\编于十六点(1)周期序列的主值区间与主值序列

对于周期序列，定义其第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算7目前十一页\总数六十八页\编于十六点......n0N-1定义从n=0到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。N-1nx(n)0目前十二页\总数六十八页\编于十六点(2)从DFS到离散傅里叶变换

如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数表示为：

从上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限序列的离散傅氏变换(DFT)的定义。有限长序列隐含着周期性。DFT目前十三页\总数六十八页\编于十六点(3)离散傅里叶变换的矩阵方程目前十四页\总数六十八页\编于十六点例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。设变换区间N=8，则解：DFT定义式为：设变换区间N=16，则目前十五页\总数六十八页\编于十六点比较上面二式可得关系式:(4)DFT和Z变换的关系序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样序列x(n)的N点DFT是x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样目前十六页\总数六十八页\编于十六点图3.1.1X(k)与X(z),X(ejω)的关系目前十七页\总数六十八页\编于十六点3.2离散傅里叶变换的基本性质一.基本概念1.序列的圆周移位序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：周期延拓取主值序列左移m位

圆周移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区。循环移位过程：circshift(a,[0,-1])目前十八页\总数六十八页\编于十六点图3.2.1循环移位过程示意图目前十九页\总数六十八页\编于十六点2.序列的圆周卷积设和是两个具有相同长度N的有限长序列(若不等，对序列补零使其为N点，)，定义圆周卷积：圆周卷积过程：周期延拓移位反转相乘相加取主值序列目前二十页\总数六十八页\编于十六点循环矩阵圆周卷积的矩阵表示：循环右移目前二十一页\总数六十八页\编于十六点圆周卷积与线性卷积比较：

有限长序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1则线性卷积为：N(N≥max(N1,N2))点圆周卷积为：交换求和次序目前二十二页\总数六十八页\编于十六点

序列的N点圆周卷积是序列线性卷积(以N为周期)周期延拓序列的主值序列。故，当N≥[N1+N2-1]时，线性卷积与圆周卷积相同。圆周卷积线性卷积是针对DFT引出的一种表示方法信号通过LTI系统时，输出等于输入与系统单位脉冲响应的卷积两序列长度必须等，不等时按要求补零两序列长度可相等，也可不等卷积结果长度与两信号长度相等，皆为N卷积结果长度N=N1+N2-1目前二十三页\总数六十八页\编于十六点图3.4.2线性卷积与圆周卷积目前二十四页\总数六十八页\编于十六点目前二十五页\总数六十八页\编于十六点3.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列分别定义为：当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到：图3.2.3共轭对称与共轭反对称序列示意图目前二十六页\总数六十八页\编于十六点

任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：将上式中的n换成N-n，并取复共轭得：(1)式减(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：目前二十七页\总数六十八页\编于十六点二.线性性质

设x1(n)，x2(n)是长度为N的有限长序列。它们的N点DFT分别为：

若，则y(n)的N点DFT为：三.时域圆周移位定理证明：目前二十八页\总数六十八页\编于十六点令n+m=n′周期为N四.频域圆周移位定理目前二十九页\总数六十八页\编于十六点设和是两个具有相同长度N的有限长序列，五.时域圆周卷积定理证明：交换求和次序令n-m=n′目前三十页\总数六十八页\编于十六点周期为N六.频域循环卷积定理目前三十一页\总数六十八页\编于十六点七.复共轭序列的DFT若x(n)是实序列,则X(k)是有限长共轭对称序列;反之亦然时域x(n)取共轭,对应于频域X(k)取有限长共轭对称频域X(k)取共轭,对应于时域x(n)取有限长共轭对称若X(k)是实序列,则x(n)是有限长共轭对称序列;反之亦然两种情况为对偶关系目前三十二页\总数六十八页\编于十六点八.DFT的共轭对称性则：

如果x(n)的DFT为X(k),则x(n)的实部和虚部(包括j)的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j目前三十三页\总数六十八页\编于十六点设x(n)为实序列，X(k)=DFT[x(n)]。则有:(2)若x(n)=x(N-n)，则

X(k)=X(N-k)(3)若x(n)=-x(N-n)，则

X(k)=-X(N-k)

对实序列进行DFT时，利用以上性质可减少运算量，提高运算效率。九、Parseval定理证明：交换求和次序(1)

X(k)=X*(N-k)目前三十四页\总数六十八页\编于十六点则：

表明：一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的目前三十五页\总数六十八页\编于十六点3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)目前三十六页\总数六十八页\编于十六点3.3频率域采样一.引言时域：满足“时域采样定理”的采样频域：？(1)能否由频域离散采样X(k)恢复序列x(n)？(2)能否由频域抽样X(k)恢复原频率函数或X(z)？(3)若能恢复其条件是什么？与时域采样相类比，我们提出以下几个问题？(4)如何推导内插恢复公式?

若要回答这些问题，首先让我们回想下时域样定理确定采样频率的方法？目前三十七页\总数六十八页\编于十六点(1)计算时域采样信号的频谱(2)分析时域采样信号频谱与原信号频谱关系（以采样频率周期延拓）(3)从而确定采样频率与被采样信号频谱这间关系，得到时域采样定理

时域采样从频域分析，频域采样是不是可以从时域分析呢时域采样对应频域周期延拓，频域采样是不是对应时域周期延拓呢？？二.频域采样后能不失真恢复原序列的条件？设的长度为（没有限制）频域采样欲恢复原信号，即频域采样序列的离散付立叶逆变换:目前三十八页\总数六十八页\编于十六点由该式可知：是原序列的周期延拓，然后取主值结论：若序列长度为M，频域采样点数（或DFT的长度）为N，且M<N，则频域采样后可不失真地恢复原序列；但若M>N，会产生时域混叠频域采样后不能不失真地恢复原序列目前三十九页\总数六十八页\编于十六点利用频域采样X(k)表示X(z)设序列长度为N，由傅里叶变换对得三.内插公式为X(k)表示X(z)的内插公式称为内插函数目前四十页\总数六十八页\编于十六点3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)目前四十一页\总数六十八页\编于十六点3.4DFT的应用举例一.引言DFT的应用使数字信号处理可以在频域进行，由于DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。然而，各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或者以DFT作为连续FT的近似为基础。目前四十二页\总数六十八页\编于十六点二、用DFT计算线性卷积(1)DFT计算循环卷积可用上式计算循环卷积。从另一方面看：所以，可按下面的计算框图从频域计算循环卷积图3.4.1用DFT计算循环卷积目前四十三页\总数六十八页\编于十六点

很多情况下需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算。而DFT只能直接用来计算循环卷积，什么时候循环卷积与线性卷积相等呢？

循环卷积与线性卷积相等条件：L≥

M+N-1。所以，如果取L=

M+N-1，则可用DFT（FFT）计算线性卷积。计算框图如下：图3.4.3用DFT计算线性卷积框图(2)DFT计算线性卷积目前四十四页\总数六十八页\编于十六点(2)长序列的分段卷积

没有全部进入，如何实现卷积，全部进入再卷积，又如何保证实时实现？

数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：？

较短（FIR：长度在20～50之间），可能很长，也不适宜直接卷积。另外：解决方法：分段卷积目前四十五页\总数六十八页\编于十六点

设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长。将x(n)均匀分段，每段长度取M，则:重叠相加法是两个长度接近且分别为和的序列的线性卷积，可很有效地求其L点的DFT.分段卷积重叠分段卷积相加目前四十六页\总数六十八页\编于十六点图3.4.4重叠相加法卷积示意图目前四十七页\总数六十八页\编于十六点三、用DFT对信号进行谱分析1.用DFT对连续信号进行谱分析●若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽。若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。●按采样定理采样时，以上两种情况的采样序列均应无限长，不满足DFT条件。●

所以，对频谱很宽的信号一般用预滤波法滤除幅度较小的高频成分。对持续时间很长的信号只好截取有限点进行DFT。●

所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的，近似程序与信号带宽、采样频率和截取长度有关。●

实际上从工程角度，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。目前四十八页\总数六十八页\编于十六点

假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。以下分析连续信号频谱特性的DFT近似。设xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc。其傅立叶变换为：共采样N点，则Tp=NT。并对表示Xa(jf)的积分作零阶近似(t=nT,dt=T)得：对X(jf)在区间[0,fs]上等间隔采样N点,采样间隔为F。目前四十九页\总数六十八页\编于十六点令则f=kF带入式：得：同理，由可推出连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T来近似。栅栏效应：DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换,其频谱将不再是连续函数。只能看到N个离散采样点的谱特性。目前五十页\总数六十八页\编于十六点目前五十一页\总数六十八页\编于十六点

由以上分析可以看出利用DFT对连续信号进行谱分析，最主要的两个问题就是：1、谱分析范围；2、频率分辨率。(1)谱分析范围指信号的最高频率fc，受采样定理限制。fc<

fs/2(2)频率分辨率（物理分辨率，计算分辨率）指将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力，用频率采样间隔F描述。F=fs/N（矩形窗情况）(3)谱分析参数确定N不变，要提高频率分辨率，必须降低fs，会导致谱分析范围减小。同时T增大，因NT=Tp，故Tp增大。fs不变，要提高频率分辨率，必须增加N。因NT=Tp，T=1/fs，故Tp必须增加。因此，若要增加频率分辨率必须增加信号记录时间Tp更深入的理解可参阅胡广书编著教材《数字信号处理理论、算法和实践》第二版相应章节。目前五十二页\总数六十八页\编于十六点频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；也可定义为将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；希望：窗函数的“宽度”越小越好窗口在时域无穷大，在频域无穷小时域加窗后，窗口由时域窗长决定。在频域，窗口由主瓣宽度决定，主瓣宽度决定频率分辨率（物理分辨率）。距离小于主瓣宽度的两个频率无法区分开。目前五十三页\总数六十八页\编于十六点例：试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。在本例中，最小的即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于500，从DFT的角度看，若令N=512，则：目前五十四页\总数六十八页\编于十六点下图，N分别等于256和512，可见，N=256时无法分辨三个谱峰。目前五十五页\总数六十八页\编于十六点例3.4.1对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点N和最小的记录时间是多少?解：谱分辨率增加一倍，F=5Hz目前五十六页\总数六十八页\编于十六点2.用DFT对序列进行谱分析

序列x(n)的N点DFT是x(n)的DTFT在[0,2π]上的N点等间隔采样。因此序列的傅立叶变换可利用DFT来计算。DFT是由周期序列DFS取主值区间得到的一种变换。因此，DFT可用于周期序列的谱结构分析。DFT进行谱分析的步骤：DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。目前五十七页\总数六十八页\编于十六点周期延拓周期延拓采样t=nT卷积截短采样取一个周期周期延拓取一个周期FTDTFTDFTDFSDTFTDFT实现连续信号谱分析的过程3.用DFT进行谱分析的误差问题(1)混叠现象(2)栅栏效应(3)截断效应周期延拓目前五十八页\总数六十八页\编于十六点(1)混叠现象●实际应用中，通常取fs=(3~5)fh种。对fs确定情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率fs

/2的频率成分，以免发生频谱混叠现象。●如果采样频率fs小于连续信号最高频率fh，会在ω=π处发生频谱混叠现象，对于模拟频率，即在fs

/2附近发生频谱混叠现象。●用DFT对连续信号进行谱分析，首先要按采样定理对其采样。目前五十九页\总数六十八页\编于十六点(2)栅栏效应N点DFT是在频率区间[0，2π]上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间频谱函数值是不知道的。用DFT计算频谱,就如通过一个栅栏观看信号的频谱情况，仅得到栅栏缝隙中看到的频谱函数值。由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。可以采用在原序列尾部补零的方法改变DFT变换区间长度，使原来漏掉的频谱分量被检测出来。补零的方法能使栅栏效应得到改善（计算分辨率提高），但不能改变频率分辨率（物理分辨率），即原来无法分开的两个频率，并不能通过补零而分开。目前六十页\总数六十八页\编于十六点(3)截断效应●序列可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时必须截短成有限长序列。●截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差别对谱分析的影响主要有：①泄漏，原来谱分量为零的地方出现了谱分量②谱间干扰，由于窗旁瓣的存在，引起不同频率分量间的干扰。