华师大版九年级下第27章圆2与圆有关的位置关系2直线与圆的位置关系

《直线与圆的位置关系》同步练习一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3cm，AB＝4cm，若以点C为圆心，以2cm为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交2.已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离d＝2sin30°++|﹣2|，则直线l与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定3.已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（）＜x≤1 ≤x＜ ＜x≤ ＞4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（） 5.在平面直角坐标系中，经过点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三者都有可能6.如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（） 或8cm7.如图，已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），⊙C的圆心坐标为（﹣3，0），半径为3，若D是⊙O上一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（）+ B.+ C.+ D.+8.如图，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（） 9.在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，r为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点，则r的值是（） 或4 或510.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是（）＝ ≤R≤4 ＜R＜3或R＞4 ＜R≤4或R＝二、填空题11.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB距离4，直线AB与⊙O的位置关系是。12.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是。13.如图，点A的坐标是（a，0）（a＜0），点C是以OA为直径的⊙B上一动点，点A关于点C的对称点为P。当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，则a的值等于。14.如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB。则△PAB面积的最小值是。15.如图：M、N分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点O三点的圆和直线y＝x交于点P，连接MN，设直线y＝x交MN于点G.若PG：PN＝3：4，△PGN的周长为12，则△PON的周长是。三、解答题16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是弧BE的中点。（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AB＝10，DC+DE＝6，求AE的长。17.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE。（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝，BC＝4，求⊙O的半径。18.如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F。（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积。19.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB＝60°。点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动：与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当P运动到C点时，P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts（1）当P异于A，C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，⊙P与边BC公共点的个数有几种可能的情况？并求出相应的t所取的值。20.已知△ABC的边AB是⊙O的弦。（1）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，且DM⊥AC于M，请判断直线DM与⊙O的位置关系，并给出证明；（2）如图2，AC交⊙O于点E，若E恰好是的中点，点E到AB的距离是8，且AB长为24，求⊙O的半径长。

参考答案一、选择题1.【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意可求CD的长度，根据直线和圆的位置关系的判定方法可求解。【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB于点D∵∠C＝90°，CB＝3cm，AB＝4cm，∴AC＝＝∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD∴CD＝∵＜2∴AB与⊙C相交故选：C。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练利用直线与圆的位置关系的判定方法是本题的关键。2.【分析】先求出d的值，再根据直线与圆的位置关系的内容得出即可。【解答】解：∵d＝2sin30°++|﹣2|＝2×+3+2＝6＞5，∴直线l与圆的位置关系是相离，故选：C。【点评】本题考查了二次根式的性质、特殊角的三角函数值和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键。3.【分析】先化成圆和直线AC相切的情况，求此时x的值，即可得出选项。【解答】解：当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，∵∠A＝45°，∠ODA＝90°，OD＝1，∴AD＝OD＝1，由勾股定理得：AO＝，即此时x＝，所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x，故选：C。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键。4.【分析】由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，利用勾股定理即可求得AB的长，又由⊙A、⊙B没有公共点，可得⊙A与⊙B外离或内含，然后利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系求得答案。【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵⊙A、⊙B没有公共点，∴⊙A与⊙B外离或内含，∵⊙B的半径为1，∴若外离，则⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1＝4，若内含，则⊙A半径r的取值范围为r＞1+5＝6，∴⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6。故选：D。【点评】此题考查了圆与圆的位置关系以及勾股定理。此题难度不大，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键。5.【分析】设直线经过的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择。【解答】解：设直线经过的点为A，∵点A的坐标为（4sin45°，2cos30°），∴OA＝，∵圆的半径为2，∴OA＞2，∴点A在圆外，∴直线和圆相交，相切、相离都有可能，故选：D。【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键。6.【分析】根据垂径定理得到BH＝AB＝×8＝4，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上OH。【解答】解：连接OB，∵AB⊥OC，∴AH＝BH，∴BH＝AB＝×8＝4，在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，∴OH＝＝3，又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5﹣3＝2（cm）；当向上平移时，直线l平移的距离＝5+3＝8（cm）。故选：D。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理。7.【分析】由题意可得当AD和⊙C相切时，△ABE的面积最大，画出此时的图形，然后由已知条件和三角形的相似，可以求得此时的△ABE面积的最大值。【解答】解：由题意可得，当AD与⊙C相切时，△ABE的面积最大，此时点D在D1的位置，如下图所示，连接CD1，则∠CD1A＝90°，∴△CD1A∽△OE1A，∴＝∵OA＝3，AC＝6，CD1＝3，∴AD1＝＝3，∴OE1＝，∴＝×（3+）×3＝，故选：B。【点评】本题考查切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的相似、最值，解题的关键是明确题意画出相应的图形，求出相应的图形的面积。8.【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F。当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题。【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F。∵C（1，0），直线AB的解析式为y＝x+3，∴直线CH的解析式为y＝﹣x+，由解得，∴H（﹣，），∴CH＝＝3，∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，∴EH＝3﹣1＝2，当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值＝×5×2＝5，故选：A。【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考选择题中的压轴题。9.【分析】利用圆与坐标轴的位置关系，分两种情形分别求解即可；【解答】解：①如图，当圆心在（3，﹣4）且与x轴相切时，r＝4，此时⊙O′与坐标轴有且只有3个公共点。②当圆心在（3，﹣4）且经过原点时，r＝5。此时⊙O′与坐标轴有且只有3个公共点。故选：D。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断。若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d＝r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点。10.【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案。【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4。如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝R，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC∴CD＝R＝，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3＜R≤4，故选：D。【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解。二、填空题11.【分析】根据直线AB和⊙O相交⇔d＜r进行判断。【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线AB距离4，5＞4，∴线AB与⊙O的位置关系是相交，故答案为：相交。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r。12.【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；【解答】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE。在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，∵⊙P与边BC相切于点E，∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，∴AC⊥PE，∴AC∥PF，∴＝，∴＝，∴x＝，AP＝；如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE。。S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，PE＝，观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、B、C三点。，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP＝，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5。故答案为：＜AP＜或AP＝5。【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，属于中考常考题型。13.【分析】如图，连接BC，OD，设直线y＝﹣x﹣1交x轴于点E（﹣3，0），交y轴于点F（0，﹣1），首先证明OD＝2BC＝﹣a，推出点D的运动轨迹是以O为圆心﹣a为半径的圆，当⊙O与直线y＝﹣x﹣1相切时，点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG。想办法求出OG即可。【解答】解：如图，连接BC，OD，设直线y＝﹣x﹣1交x轴于点E（﹣3，0），交y轴于点F（0，﹣1），∵AC＝CD，AB＝OB，∴OD＝2BC＝﹣a，∴点D的运动轨迹是以O为圆心﹣a为半径的圆，当⊙O与直线y＝﹣x﹣1相切时，点P组成的图形与直线y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG。在Rt△EOF中，∵OG⊥EF，EF＝＝，•OE•OF＝•EF•OG，∴OG＝，∴a＝﹣，故答案为：﹣。【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，轨迹等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。14.【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，可得CM＝4，可知圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是4﹣2＝2，由此即可解决问题。【解答】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，由题意：A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝20，∴CM＝4，∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是4﹣2＝2，∴△PAB面积的最小值是×5×2＝5，故答案为5。【点评】本题考查一次函数的应用、三角形的面积，相似三角形的判定和性质、点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离以及最小结论，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题。15.【分析】根据圆周角定理得到∠MPN＝90°，推出∠MOP＝∠NOP＝45°，得到PM＝PN，设PG＝3x，PN＝4x，得到PM＝4x，根据勾股定理得到MN＝4x，根据相似三角形的性质得到PO＝x，NG＝2x+x或NG＝2x﹣x，根据三角形的周长公式列方程3x+4x+2x+x＝12或3x+4x+2x﹣x＝12，求得x＝或x＝，当x＝时，当x＝时，根据三角形的周长公式得到结论。【解答】解：∵∠MON＝90°，∴MN是直径，∴∠MPN＝90°，∵直线y＝x是∠MON的平分线，∴∠MOP＝∠NOP＝45°，∴＝，∴PM＝PN，∵PG：PN＝3：4，∴设PG＝3x，PN＝4x，∴PM＝4x，∴MN＝4x，∵∠PNM＝∠PON＝45°，∠NPG＝∠OPN，∴△PGN∽△PNO，∴，∴＝，∴PO＝x，∴OG＝PO﹣PG＝x，∵∠OMN＝∠NPO，∴△OMG∽△NPG，∴，∴＝，∴NG＝2x+x或NG＝2x﹣x，∵△PGN的周长为12，∴3x+4x+2x+x＝12或3x+4x+2x﹣x＝12，解得：x＝或x＝，∴当x＝时，PO＝×，PN＝4×，GN＝（2+1）×，∵△PGN∽△PNO，∴＝＝，∴ON＝×（2+1）×，∴△PON的周长＝PO+PN+ON＝×+4×+×（2+1）×＝16，同理当x＝时，△PON的周长＝16。综上所述，△PON的周长是16。故答案为：16。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数图形上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。三、解答题16.【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠DAC＝∠OCA，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，则OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接EC，作CF⊥AB于F。由Rt△CDE≌Rt△CFB，推出DE＝BF，推出CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，可得（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，求出x即可解决问题。【解答】（1）证明：连接OC。∵C是的中点，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线。（2）如图，连接EC，作CF⊥AB于F。∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，∵＝，∴CE＝BC，∴Rt△CDE≌Rt△CFB（HL），∴DE＝BF，∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，解得x＝2或9（舍弃），∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6。【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；（2）的关键是证明Rt△CDE≌Rt△CFB；17.【分析】（1）连接OE，求出∠DCE＝∠AEO＝∠DAC，求出∠CEO＝90°，根据切线的判定求出即可；（2）解直角三角形求出AB＝2，根据勾股定理求出AC，同理求出DE、CE，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可。【解答】（1）直线CE与⊙O相切，证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠DAC＝∠AEO，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠AEO＝∠ACB＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEO+∠DEC＝90°，∴∠OEC＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EC，∵OE为半径，∴直线CE与⊙O相切；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ACB中，AB＝BC×tan∠ACB＝4×＝2，由勾股定理得：AC＝＝2，∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，在Rt△DCE中，CD＝AB＝2，DE＝DC×tan∠DCE＝2×＝1，由勾股定理得：DE＝＝，设⊙O的半径为R，在Rt△COE中，CO2＝CE2+OE2，（2﹣R）2＝R2+（）2，解得：R＝，即⊙O的半径是。【点评】本题考查了矩形的性质、切线的判定、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键。18.【分析】（Ⅰ）连接OD，如图1，理由圆周角定理得到∠AOD＝90°，则OD⊥AB，再理由平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF＝，CF＝，所以CD＝2CF＝，AF＝，接着证明AF为△CDE的中位线得到DE＝2AF＝3，然后根据三角形面积公式求解。【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切。、理由如下：连接OD，如图1，∵∠AOD＝2∠ACD＝2×45°＝90°，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（Ⅱ）连接OC，如图2∵点F是CD的中点，∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴△CDE的面积＝×3×＝。【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r。也考查了圆周角定理和垂径定理。19.【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB。利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ＝∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM＝PC＝﹣t，然后根据PM＝PQ＝AQ＝t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；如图3，⊙P过点B，此时PQ＝PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；如图4，⊙P过点C，此时PC＝PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值，由此即可判断；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠DAB，又∵∠DAB＝60°（已知），∴∠BAC＝∠BCA＝30°；如图1，连接BD交AC于O。∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC，∴OB＝AB＝1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴